江蘇省金陵中學(xué)、海安中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題_第1頁
江蘇省金陵中學(xué)、海安中學(xué)2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期10月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題_第2頁
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金陵中學(xué)、海安中學(xué)2023屆高三10月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合,,,則()A. B. C. D.2.為虛數(shù)單位,則滿足的方程是()A. B. C. D.3.的展開式中的系數(shù)為()A.28 B.-28 C.56 D.-564.設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足,則()A. B. C. D.5.已知數(shù)列,若:數(shù)列是等比數(shù)列;:,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.關(guān)于函數(shù)其中,給出下列四個(gè)結(jié)論:甲:6是該函數(shù)的零點(diǎn); 乙:4是該函數(shù)的零點(diǎn);丙:該函數(shù)的零點(diǎn)之積為0; 丁:方程有兩個(gè)不等的實(shí)根若上述四個(gè)結(jié)論中有且只有一個(gè)結(jié)論錯(cuò)誤,則該錯(cuò)誤的結(jié)論是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.設(shè)常數(shù)使方程在區(qū)間上恰有五個(gè)解,則()A. B. C. D.8.設(shè),表示不超過的最大整數(shù),若存在實(shí)數(shù),使得,,…,同時(shí)成立,則正整數(shù)的最大值是()A.4 B.5 C.6 D.7二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù),則()A.的最大值為3 B.的最小正周期為C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減10.已知實(shí)數(shù),,滿足且,則下列不等式關(guān)系一定正確的是()A. B. C. D.11.已知與均為單位向量,其夾角為,則()A. B.C.若,則 D.若,則12.連接正方體每個(gè)面的中心構(gòu)成一個(gè)正八面體.甲隨機(jī)選擇此正八面體的三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成三角形,乙隨機(jī)選擇此正八面體三個(gè)面的中心構(gòu)成三角形,且甲、乙的選擇互不影響,則()A.甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形的概率為B.甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形的概率為C.乙選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成正三角形的概率為D.甲選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形與乙選擇的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形相似的概率為三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知函數(shù),不論為何值,曲線均存在一條固定的切線,則這條切線的方程是.14.已知函數(shù),若存在,,使得在區(qū)間的最小值為-11且最大值為1,則符合條件的一組,的值為.15.在數(shù)列中,,,數(shù)列滿足,.若,,,則數(shù)列的前2022項(xiàng)和為.16.已知橢圓:的右焦點(diǎn)為,經(jīng)過原點(diǎn)且斜率的直線與橢圓交于,兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為.若,則橢圓的離心率的取值范圍是.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,前項(xiàng)和為,且滿足,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.(12分)在檢測(cè)中為減少檢測(cè)次數(shù),我們常采取“合1檢測(cè)法”,即將個(gè)人的樣本合并檢測(cè),若為陰性,則該小組所有樣本均未感染病毒;若為陽性,則改需對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測(cè).現(xiàn)有人,已知其中有2人感染病毒.(1)若,并采取“10合1檢測(cè)法”,求共檢測(cè)15次的概率;(2)設(shè)采取“5合1檢測(cè)法”的總檢測(cè)次數(shù)為,采取“10合1檢測(cè)法”的總檢測(cè)次數(shù)為,若僅考慮總檢測(cè)次數(shù)的期望值,當(dāng)為多少時(shí),采取“10合1檢測(cè)法”更適宜?請(qǐng)說明理由.19.(12分)在中,內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,,為邊上一點(diǎn),若.(1)證明:(i)平分;(ii);(2)若,求的最大值.20.(12分)在一張紙上有一個(gè)圓:,定點(diǎn),折疊紙片使圓上某一點(diǎn)好與點(diǎn)重合,這樣每次折疊都會(huì)留下一條直線折痕,設(shè)折痕與直線的交點(diǎn)為.(1)求證:為定值,并求出點(diǎn)的軌跡方程;(2)設(shè),為曲線上一點(diǎn),為圓上一點(diǎn)(,均不在軸上).直線,的斜率分別記為,,且,求證:直線過定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).21.(12分)已知底面為菱形的直四棱柱,被平面所截幾何體如圖所示,若,,.(1)求點(diǎn)到平面的距離;(2)求銳二面角的余弦值.22.(12分)已知函數(shù),,.(1)若在存在極小值點(diǎn),求的取值范圍;(2)若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn),,(),求證:(i);(ii).金中、海安2023屆高三年級(jí)10月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、單選題1-5:CDBAA 6-8:BCA8.【答案】A【解析】,,,,(,,,)當(dāng)時(shí),可以找到使其在區(qū)間上,當(dāng)時(shí),無法找到使其在區(qū)間上,即正整數(shù)的最大值為4,故選A.二、多選題9.【答案】BC【解析】,A錯(cuò),,B對(duì),,C對(duì),,D錯(cuò),,故函數(shù)單調(diào)增.10.【答案】AC【解析】由題意得或,A對(duì),,B錯(cuò),時(shí)與選項(xiàng)矛盾,C對(duì),,D錯(cuò),,,時(shí),,與選項(xiàng)矛盾.11.【答案】ABD【解析】A對(duì),,B對(duì),,C錯(cuò),,D對(duì),.12.【答案】ACD【解析】甲總有種情況,乙總有種情況.A對(duì),甲為正三角形則在上下頂點(diǎn)選一且中間四個(gè)頂點(diǎn)選二,即8種;B錯(cuò),甲為等腰直角三角形則分三種情況:中間選三個(gè)點(diǎn)即4種;上下都選加中間一點(diǎn),即4種,上下選一中間選二即4種,共12種;C對(duì),乙為正三角形即一方(上方或下方)四個(gè)中心選一,且另一方選擇兩個(gè)相對(duì)的中心,即8種;D對(duì),相似則都為正三角形或等腰直角三角形,即都為正三角形時(shí)由A,C得概率為,都為等腰直角三角形時(shí),乙的情況共有24種,結(jié)合B得概率為,即總概率為.三、填空題13.【答案】【解析】要滿足題意,則取,即切點(diǎn)為,所以切線方程為.14.【答案】【解析】,為簡(jiǎn)單,則令,即讓函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,此時(shí)要滿足題意則,解得.15.【答案】【解析】由已知得,,所以,即前2022項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和為:;又由已知得,,所以,即奇數(shù)項(xiàng)為公比為-1的等比數(shù)列,即,即前2022項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)和為1;綜上所述,前2022項(xiàng)和為.16.【答案】【解析】設(shè)(不妨設(shè),),則,同理,所以由點(diǎn)在橢圓上得,結(jié)合上述條件可得:,化簡(jiǎn)得,即,解得,所以.四、解答題17.【解析】(1),即;(2)由已知得,所以.18.【解析】(1)現(xiàn)共有50人,由題意先平均分為5組,檢測(cè)5次,因?yàn)楣矙z測(cè)15次,所以兩個(gè)感染者必定分在同一組中,所以共檢測(cè)15次的概率有兩種算法,第一種是分組分配思想,第二種是算一組已經(jīng)有一名感染者的情況下,選中另一名感染者,即兩種算法結(jié)果為和,結(jié)果均為;(2)當(dāng)感染者在同一組時(shí),,,此時(shí),,當(dāng)感染者不在同一組時(shí),,,此時(shí),,所以,,由題意,答:當(dāng)時(shí),采取10合1檢測(cè)法更適宜.19.【解析】(1)(i)在三角形中,由正弦定理得,在三角形中,由正弦定理得,因?yàn)榕c互補(bǔ),所以,由題意得,所以,即,所以平分得證;(ii)因?yàn)?,所以,由余弦定理得,化?jiǎn)得,由(i)得,代入上式有:,即得證;(2)由已知得,所以是直角三角形,即,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,所以的最大值為.20.【解析】(1)由題意得,所以,即的軌跡是以,為焦點(diǎn),實(shí)軸長(zhǎng)為2的雙曲線,即:;(2)由已知得:,:,聯(lián)立直線方程與雙曲線方程,由韋達(dá)定理得,所以,即,所以,聯(lián)立直線方程與圓方程,由韋達(dá)定理得,所以,即,因?yàn)?,即,所以,若直線所過定點(diǎn),則由對(duì)稱性得定點(diǎn)在軸上,設(shè)定點(diǎn),由三點(diǎn)共線得,即,所以直線過定點(diǎn).21.【解析】(1)設(shè),由已知易得,,,,且面,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則,即,即;(2)以為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,過平行于的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知得,,,,即,,,設(shè)面法向量

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