高考數(shù)學(xué)之三角函數(shù)知識點總結(jié)材料

實用標(biāo)準(zhǔn)文檔實用標(biāo)準(zhǔn)文檔文案大全文案大全三角函數(shù)一、基礎(chǔ)知識定義1角，一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向為逆時針方向，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向， 則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義2角度制，把一周角360等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2?；《?。若圓心角的弧長為L,則其弧度數(shù)的絕對值|a|二人,r其中r是圓的半徑。定義3三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角”的頂點放在原點， 始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個不同于原點的點 P,設(shè)它的坐標(biāo)為(x,y),到原點的距離為r,則正弦函數(shù)sina=Y,余弦函數(shù)cosa=_x,正切函數(shù)tana=上，余切函數(shù)cota=—,TOC\o"1-5"\h\zr r x y定理1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，sin cos倒數(shù)關(guān)系：tan“=^^，商數(shù)關(guān)系：tana=sn—,cot c°J；cot cos sin乘積關(guān)系：tanaxcosa=sina,cotaXsina=cosa;平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1,tan2a+1=sec2a,cot2a+1=csc2a.定理2誘導(dǎo)公式(I)sin(a+%)=-sina,cos(兀+a)=-cosa,tan(71+a)=tana;(n)sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana;(in)sin(兀-a尸sina,cos(兀-a尸-cosa,tan=(兀-a)=-tana; (W)sin一 =cosa,cos一=sina(奇變偶不變，符號看象限)。定理3正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=sinx(xCR)的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k-,2k — 上為增函數(shù)，在區(qū)間2k-,2k - 上為減函數(shù)，最小正周期2 2 2為2.奇偶數(shù).有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2kx+^時，y取最大值1,當(dāng)且僅當(dāng)x=3k-1■時，y取最小值-1。對稱性：直線x=k+金均為其對稱軸，點(k,0)均為其對稱中心，值域為［-1,1］。這里kCZ定理4余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=cosx(xCR)的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間［2kTt,2k兀+兀］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［2kTt-Tt,2kTt］上單調(diào)遞增。最小正周期為2兀。奇偶性：偶函數(shù)。對稱性：直線x=k兀均為其對稱軸，點 k-,0均為其對稱中心。有界性：當(dāng)且2僅當(dāng)x=2k兀時，y取最大值1；當(dāng)且僅當(dāng)x=2kTt-兀時，y取最小值-1。值域為［-1,1］。這里里Z.定理5正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù) y=tanx(xk%+一)在開區(qū)間(kn—,卜兀+—)上為增函數(shù)，最小正周期為兀，值域為(-00,+oo)，點(kn,0),(ku+—,0)均為其

圖象iy丁b-1——~~n——4dy、 3某/UJlYMwrlu\ 1 / ■定義域RRxxk—,k2值域1,11,1R最值當(dāng)x2k—k 時，2ymax1;當(dāng)x2k2k 時，ymin 1.當(dāng)x2kk 時，ymax1;當(dāng)x2kk 時，ymin 1.既無最大值也無最小值周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在2k-,2k —2 2k 上是增函數(shù)；在32k -,2k —2 2k上是減函數(shù).在2k ,2kk 上是增函數(shù)；在2k,2kk 上是減函數(shù).在k一,k一2 2k 上是增函數(shù).對稱性對稱中心k,0k對稱軸xk—k2對稱中心k—,0k2對稱軸xkk，一.、k對稱中心—,0k2無對稱軸定理6定理7兩角和與差的基本關(guān)系式：和差化積與積化和差公式cos(asin(atan(a3)=COsaCOs3)=sinacosp、(tan3sinasin5cosasintan)P)=(1tan.tan)sina+sinB=2sin cos,22sina-sin3=2sin cos,22cosa+cos3=2cos cos cosa-cos3=-2sin一.…1一，sinacos3=—[sin(2cosasin3=—[sin(2cosacos3=—[cos(2 sin TOC\o"1-5"\h\z2 2a+ 3 )+sin( a - 3 )],a+ 3 )-sin( a - 3 )],a+ 3 )+cos( a - 3 )],sinasin3=——[cos(a+3)-sina2定理8倍角公式：sin2a=2sinacosa,in2a,cos2a=cos2a-sin2a=2cosin2a,tan2a2tan2(1tan)定理半角公式:sin一2(1cos),cos一2(1costan2a2tan2(1tan)定理半角公式:sin一2(1cos),cos一2(1cos)

I 2tan(1cos)sin(1cos)定理10,(1cos)(1cos)sin萬能公式：sin2tan一2cos,2tan一211tan2i, 2tan一2tan2tan一2定理111tan2一2輔助角公式：如果a,b是實數(shù)且2?2a+b0,b(a,b)的一個角為3,則sin3=, —2 2ab,cos3則取始邊在ax軸正半軸，終邊經(jīng)過點-a2 ,b2對任意的角aasin定理12正弦定理：在任意△ABC中有—a-sinAasin定理12正弦定理：在任意△ABC中有—a-sinAsinBsinC2R,其中a,b,c分別是定理13定理14角A,B,C的對邊，R為^AB，卜接圓半徑。余弦定理：在任意^ABO43有a2=b2+c2-2bcosA,其中a,b,c分別是角A,B,C的對邊。圖象之間的關(guān)系：y=sinx的圖象經(jīng)上下平移得y=sinx+k的圖象；經(jīng)左右平移得++bcosa=d(a2b2)sin(a+3).y=sin(x+)的圖象(相位變換)；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹鳎玫窖?$吊x( 0)的圖象(周期變換)；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象(振幅變換)；y=Asin(x+)( >0)的圖象(周期變換)；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，

得到y(tǒng)=Asinx的圖象(振幅變換)；y=Asin( x+)( , >0)(|A|叫作振幅)的圖象向右定義4函數(shù)y=sinxx函數(shù)定義4函數(shù)y=sinxx函數(shù)y=cosx（xe[0,兀]）一，一 的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)， 記作y=arcsinx(xC[-1,1]),22的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作 y=arccosx(xe[-1,1]).函數(shù)y=tanxx —,— 的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。 記作y=arctanx(xe[-8,+oo]).y=cosx(x22C[0, %])的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作 y=arccotx(x€[-巴+oo]).定理15三角方程的解集，如果aC(-1,1)，方程sinx=a的解集是｛x|x=n兀+(-1)narcsina,nCZ｝。方程 cosx=a 的解集是｛x| x=2kx arccosa, k€ Z｝.如果aCR,方程 tanx=a 的解集是｛x|x=k兀+arctana,kCZ｝。恒等式：arcsina+arccosa=一；arctana+arccota二一.定理16若x0,—,則sinx<x<tanx.2二、方法與例題.結(jié)合圖象解題。例1求方程sinx=lg|x|的解的個數(shù)。【解】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù) y=sinx與y=lg|x|的圖象(見圖)，由圖象可知兩者有6個交點，故方程有6個解。x3.1(浙江卷7)在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)ycos(———)(x[0,2])的圖象和直線2 21y—的交點個數(shù)是2(A)0 (B)1 (C)2 (D)4最小正周期的確定。例2求函數(shù)y=sin(2cos|x|)的最小正周期?！窘狻渴紫龋《?兀是函數(shù)的周期(事實上，因為 cos(-x)=cosx,所以co|x|=cosx)；其次，當(dāng)且僅當(dāng)x=kTt+一時，y=0(因為|2cosx|w2<兀),所以若最小正周期為 則T0=m7t,m€N+,又sin(2cos0)=sin2sin(2cos兀),所以丁。二2兀。1.(07江蘇卷)下列函數(shù)中，周期為一的是2xA.ysin一1.(07江蘇卷)下列函數(shù)中，周期為一的是2xA.ysin一2xB.ysin2xC.ycos-42.（08江蘇）fxcosx—的最小正周期為一，其中6 5（）D.ycos4x0,則=x.TOC\o"1-5"\h\z(04全國)函數(shù)y|sin&|的最小正周期是( ).2(1)(04北京)函數(shù)f(x)sinxcosx的最小正周期是 .(04江蘇)函數(shù)y2cos2x1(xR)的最小正周期為( )

(09年廣東文)函數(shù)y2C0S2(X—)1是 ()4A.最小正周期為 的奇函數(shù) B.最小正周期為 的偶函數(shù)C. 最小正周期為_的奇函數(shù) D.最小正周期為_的偶函數(shù)6.(浙江卷2)函數(shù)y(sinxcosx)(09上海)函數(shù)y2cos2(09上海)函數(shù)y2cos2xsin2x的最小值是 .3.三角最值問題。例3已知函數(shù)y=sinx+J1cos2x,求函數(shù)的最大值與最小值。2 3【斛法一】 令sinx=V2cos,v1cosx72sin —0—4 4則有y=.2cos.2sin2sin(—).4… 3因為一0 — 所以一 一 ，4 4 2 4所以0sin(—)w1,4~, 3 所以當(dāng)一，即x=2k兀-—(kCZ)時，ymin=0,當(dāng)—,IPx=2k兀+5(kCZ)時，ymax=2.【解法二】 因為y=sinx+J1cos2xy12(sin2x1cos2x),=2(因為(a+b)&2(a2+b2)),且|sinx|414寸1cos2x,所以0wsinx+V1cos2x<2,所以當(dāng)v1cos2x=sinx,即x=2k兀+—(keZ)時，ymax=2,2當(dāng)V1cos2x=-sinx,即x=2kjt—-(kCZ)時，ymn=0。2注：三角函數(shù)的有界性、|sinx|w1、|cosx|w1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。.將函數(shù)ysinx的最小正值是j3cosx的圖像向右平移了n個單位，所得圖像關(guān)于y軸對稱，則nA.Ub.」.將函數(shù)ysinx的最小正值是j3cosx的圖像向右平移了n個單位，所得圖像關(guān)于y軸對稱，則nA.Ub.」6 3D.一2.若動直線xa與函數(shù)f(x)sinx和g(x)cosx的圖像分別交于M,N兩點，則MN的最大值為( )5.函數(shù)A.1c.,3f(x)sin2xV3sinxcosx在上的最大值是4.換元法的使用。因為所以B1B. 2C.D.1+,3sinxcosxy1sinxcosx設(shè)t=s5.函數(shù)A.1c.,3f(x)sin2xV3sinxcosx在上的最大值是4.換元法的使用。因為所以B1B. 2C.D.1+,3sinxcosxy1sinxcosx設(shè)t=sinx+cosx=,2sin(x)1,

42t,2.2 .又因為t=1+2sinxcosx,所以所以?…t2

sinxcosx=—221因為所以函數(shù)值域為y的值域。、2…sinx22——cosx2..2sin(xx21-1.-1「?215.圖象變換：y=sinx(xC@與y=Asin(x+)(A, >0).由y=sinx的圖象向左平移 個單位，然后保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A倍，然后- 再保持縱坐標(biāo)不變， 橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?一，得到y(tǒng)=Asin ( x+ )的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標(biāo)不變， 縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍，再保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊灰?，，?―，、『， …一,，最后向左平移一個單位，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象。例5已知f(x)=sin(x+)( >0,0<忘兀)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點M——,0對稱，且在區(qū)間 0,-上是單倜函數(shù)，求和的值。TOC\o"1-5"\h\z2【解】由f(x)是偶函數(shù)，所以f(-x)=f(x),所以sin(+)=sin(- x+),所以cossinx=0,對任意xCR成立。又0Ww兀，解得=—,3 3因為f(x)圖象關(guān)于M——,0對稱，所以f(一 x)f(-x)=0o4 4一,一3取x=0,得f(-4、一.3)=0,所以sin一4— 0.2一3所以—4-(k€Z),即=|(2k+1)(kCZ).又>0,取k=0時,此時f(x一,一3取x=0,得f(-4、一.3)=0,所以sin一4— 0.2一3所以—4-(k€Z),即=|(2k+1)(kCZ).又>0,取k=0時,此時f(x)=sin(2x+—)在［0,萬］上是減函數(shù);取k=1時,=2,此時f(x)=sin(2x+一)在［0,一］上是減函數(shù);10 ,>一,此時f(x)=sin(x+—)在［0,-］上不是單調(diào)函數(shù),2一2,綜上， =一或2。31.(09山東)將函數(shù)ysin2x的圖象向左平移—個單位，再向上平移1個單位，所得圖象的4函數(shù)解析式是.(1)(07山東)要得到函數(shù)ysinx的圖象，只需將函數(shù) ycosx-的圖象向平移個單位(2)(全國一8)為得到函數(shù)ycos2x—的圖像，只需將函數(shù)ysin2x的圖像3平移個單位(3)為了得到函數(shù)ysin(2x%■)的圖象，可以將函數(shù)ycos2x的圖象向平移個單位長度.將函數(shù)y=審軸對稱，則mA.6B.3cosx—sinx的最小正值是c.23的圖象向左平移 m(m>0)個單位，所得到的圖象關(guān)于 y(D)D.".(湖北)將函數(shù)y3sin(x)的圖象F按向量(一,3)平移得到圖象F,若F的一條對3稱軸是直線x—,則4的一個可能取值是()A.&12B.512C.11D.111212.三角公式的應(yīng)用。€€——2一 5例6已知sin(a-3)=—13求sin2a,cos23的值。sin(a+3)=---，且a-313【解】因為a-3e—,,所以cos(a-3)=-v；1sin2(1213一, 3又因為a+3e一,2 ,所以cos(a+2所以sin2a=sin[(3)=—,3)=1sin2(1213a+3)+(a-3)]=sin(a+3)cos(a-3)+cos(a+3)sin(a169cos23=cos[(a+3)-(a-3)]=cos(a+3)cos(a-3)+sin(a+3)sin(a-3)=-1.例7求證：tan20+4cos70.【解】tan20+4cos70=sin20+4sin20cos20sin204sin20cos20sin202sin40cos20sin20sin40sin40cos202sin30cos10sin40cos20cos20sin80sin40

cos20求值2sin60cos20cos203.1、(1)(07全國I)是第四象限角,(2)（09北京文）若sin4-,tan5(3)（09全國卷n文）已知△ABC中,cotA(4)是第三象限角,sin(coscos注)=

22、（1）（07陜西）已知sin逅則5_?一4sin4cos（2）（04全國文）設(shè)(0,-)2貝U-2cos(-)=4（3）（06福建）已知%),sin3.(1)(07 福建)sin150cos75ocos15osin105o=(2) (06陜西)cos430cos77osin430cos167o=(3)sin163osin223osin253osin313o4.已知cos( —)2A.工25B.35162 __2貝Usincos的值為2525255.已知sin0=121 ,。e（一—,0),貝Ucos(0——）的值為1324A.一返7、.2B.r17.2C.D,3262626266.若0 2,sin褥cos,則的取值范圍是：()(D)(C)(D).若cosa2sina 。5,則tana二(A)(B)2(C)(D) (A)(B)2(C)(D) 2單調(diào)性1.(04函數(shù)y2sin(—62x)(x[0,])為A.[0,3]1.(04函數(shù)y2sin(—62x)(x[0,])為A.[0,3]B.[屋]C.D.5

[-62.2.sinxB.C.D.33.函數(shù)f(x)sinx3cosx(x[ ,0])的單調(diào)遞增區(qū)間A.[[p0][90]4.（07天津卷）設(shè)函數(shù)f(x)sinx-(x3R),貝Uf(x),、 27 A.在區(qū)間—上是增函數(shù)36.在區(qū)間,—上是減函數(shù)2C.在區(qū)間一，一上是增函數(shù)34， 、 5 ，一，，，D.在區(qū)間一，5—上是減函數(shù)365.函數(shù)y2cos2xA（丁u）B.。二44 26.若函數(shù)f（x）同時具有以下兩個性質(zhì):f（ _x），則4（）3C.（一,——） D44①f（x）是偶函數(shù)，②對任意實數(shù).(-,)2x,都有f(_4f（x）的解析式可以A.f(x)=cosx四.五.對稱性B.f(x)=cos(2x—)C.f(x)=sin(4x—)D.f(x)=cos6x1.（08安徽）函數(shù)ysin（2x—）圖像的對稱軸方程可能是

3A.x一6B.x— C.x—12 6D.x—12（07福建）ysin2x一函數(shù) 3TOC\o"1-5"\h\z… 兀 ?,A.關(guān)于點一Q對稱3C.關(guān)于點-,0對稱D.關(guān)于直線x」對稱4 343（09全國）如果函數(shù)y3cos（2x ）的圖像關(guān)于點（——0）中心對稱，那么 的最小值3為（ ）(A) - (B) -七.圖象4(A) - (B) -七.圖象4.(2006年四川卷)()(A)ysinx一6(C)yCOS4x一3- (D) -下列函數(shù)中，圖象的(B)ysin2x—6yCOs2x一65.（2009江蘇卷）函數(shù)yAsin（x在閉區(qū)間5.（2009江蘇卷）函數(shù)yAsin（x在閉區(qū)間［,0］上的圖象如圖所示，則7.（2010?天津）下圖是函數(shù)y=Asin（cox+6)(xCR)在區(qū)間一A，^6^上)(A,,為常數(shù)，A0, 0)的圖象，為了得到這個函數(shù)的圖象，只要將y=sinx(xCR)的圖象上所有的點TOC\o"1-5"\h\z( )兀 1A.向左平移不■個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的 5,縱坐標(biāo)不變3 2, . ..TT B.向左平移-y個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2倍，縱坐標(biāo)不變1C.向左平移去個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的 1，縱坐標(biāo)不變6 2兀D.向左平移—個單位長度，再把所得各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的 2倍，縱坐標(biāo)不變兀 兀(2010?全國n)為了得到函數(shù)y=sin2x-y的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x+—的圖象( )A.向左平移-4-個長度單位 B.向右平移。個長度單位C.向左平移-y個長度單位 D.向右平移"2■個長度單位兀(2010?重慶)已知函數(shù)y=sin(wx+6)co>0,|||<萬的部分圖象如圖所示，則C.3=2,({)=— D.3=2,6=6八.解三角形.(2009年廣東卷文)已知ABC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c若acJ6J2且A75o,則bAC.(2009湖南卷文)在銳角ABC中，BC1,B2A,則—AC的值等于二,AC的cosATOC\o"1-5"\h\z取值范圍為 ^3.(09福建)已知銳角ABC的面積為3J3,BC4,CA3,則角3.(09福建)已知銳角5.已知△ABC中，sinA:sinB:sinC4:5:7,則cosC的值為5 47.在AABC中，cosB一,cosC一.\o"CurrentDocument"13 5(I)求sinA的值；33(n)設(shè)△ABC的面積SAABC33,求BC的長.2九..綜合.(04年天津)定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)， 若f(x)的最小正周期5,且當(dāng)x［0,一］時，f(x)sinx,則f(——)的值為2 3? (04年廣東)函數(shù)f(x)f(x sin2(x—)sin2(x—) 是()A.周期為 的偶函數(shù) B.周期為的奇函數(shù)C.周期為2的偶函數(shù) D..周期為2的奇函數(shù).( 09四川)已知函數(shù)f(x)sin(x-)(xR),下面結(jié)論錯誤的是2 ..()A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2B.函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,-］上是增函數(shù)2C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=0對稱D.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)4.(07安徽卷)函數(shù)f(x)3sin(2x—)的圖象為C,如下結(jié)論中正確的是32一①圖象C關(guān)于直線x11對稱； ②圖象C關(guān)于點(J,0)對稱；35 ③函數(shù)f(x)在區(qū)間(一,——)內(nèi)是增函數(shù)；1212④由y3sin2x的圖象向右平移一個單位長度可以得到圖象 C.35.(08廣東卷)已知函數(shù)f(x)(1cos2x)sin2x,xR,則f(x)是A5.(08廣東卷)已知函數(shù)f(x)(1cos2x)sin2x,xR,則f(x)是A、最小正周期為 的奇函數(shù)C、最小正周期為 的偶函數(shù).在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)點個數(shù)是C(A)0 (B)1B 、最小正周期為—的奇函數(shù)2D 、最小正周期為—的偶函數(shù)2x3 1ycos(———)(x[0,2])的圖象和直線y一的交2 2 2(C)2 (D)4.若“是第三象限角，且()A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角cos<0.已知函數(shù)f(x)2sin(x )對任意x都有f(一x)6()A、2或0B、 2或2C、0D、 2或0f(—x),則f(―)等于十.解答題11.(05福建文)已知一x0,sinxcosx一.2 5(i)求sinxcosx的值；2sin2x2sinx…擊(n)求 的值.1tanx2(06福建文)已知函數(shù)f(x)sin2xJ3sinxcosx2cos2x,xR.(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(II)函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)ysin2x(xR)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到?(2006年遼寧卷)已知函數(shù) f(x)sin2x2sinxcosx3cos2x,xR.求:(I)函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值的自變量 x的集合；函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.1 3(07福建又)在△ABC中，tanA—,tanB一.4 5(I)求角C的大?。?n)若AB邊的長為J17,求BC邊的長.(08福建文)已知向量m(sinA,cosA),n(1,2),且mgn0.(I)求t