人教中考數學《平行四邊形的綜合》專項訓練

.請.請一、平行四邊形真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.如圖1,四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點（點G與C、D不重合），以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連接BG，DE.（1）①猜想圖1中線段BG、線段DE的長度關系及所在直線的位置關系，不必證明②將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針方向旋轉任意角度a得到如圖2情形你通過觀察、測量等方法判斷①中得到的結論是否仍然成立，并證明你的判斷.4DAD圉11圖2e（2）將原題中正方形改為矩形（如圖3、4）,且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（aHb,k>0）,第（1）題①中得到的結論哪些成立，哪些不成立？若成立，以圖4為例簡要說明理由.4D衛(wèi)°1（3）在第（2）題圖4中，連接DG、BE，且a=3，b=2，k=〒，求BE2+DG2的值.【答案】（1）①BG丄DE,BG=DE；②BG丄DE，證明見解析；（2）BG丄DE,證明見解析；（3）16.25.【解析】分析：（1）①根據正方形的性質，顯然三角形BCG順時針旋轉90°即可得到三角形DCE,從而判斷兩條直線之間的關系；②結合正方形的性質，根據SAS仍然能夠判定ABCG^△DCE，從而證明結論；（2）根據兩條對應邊的比相等，且夾角相等可以判定上述兩個三角形相似，從而可以得到1）中的位置關系仍然成立；（3）連接BE、DG.根據勾股定理即可把BE2+DG2轉換為兩個矩形的長、寬平方和.詳解：（1）①BG丄DE,BG=DE；②T四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，BC=DC,CG=CE,ZBCD=ZECG=90°,ZBCG=ZDCE,

△BCG竺△DCE,BG=DE,ZCBG=ZCDE,又:ZCBG+ZBHC=90°,.ZCDE+ZDHG=90°,???.BG丄DE.(2)TAB=a,BC=b,CE=ka,CG=kb,.BC_CG_b~DC~~C^~~a，又:ZBCG=ZDCE,.△BCG-△DCE,.ZCBG=ZCDE,又:ZCBG+ZBHC=90°,.ZCDE+ZDHG=90°,.BG丄DE.(3)連接BE、DG.根據題意,得AB=3,BC=2,CE=1.5,CG=1TBG丄DE,ZBCD=ZECG=90°DAA尸G3ESCc.BEDAA尸G3ESCc.BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25.點睛：此題綜合運用了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質以及勾股定理.2.已知，在矩形ABCD中，AB=a,BC=b，動點M從點A出發(fā)沿邊AD向點D運動.予Mr>*弐忌n如圖1,當b=2a，點M運動到邊AD的中點時，請證明ZBMC=90°；如圖2,當b>2a時，點M在運動的過程中，是否存在ZBMC=90°,若存在，請給與證明；若不存在，請說明理由；如圖3,當bV2a時，(2)中的結論是否仍然成立？請說明理由.【答案】(1)見解析；(2)存在，理由見解析;

(3)不成立．理由如下見解析.【解析】試題分析：(1)由b=2a，點M是AD的中點，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四邊形ABCD是矩形，即可求得/AMB=ZDMC=45°,則可求得/BMC=90°；由/BMC=90°，易證得△ABM-△DMC，設AM=x，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得方程：X2-bx+a2=0,由b>2a,a>0,b>0,即可判定厶>0,即可確定方程有兩個不相等的實數根，且兩根均大于零，符合題意；由(2)，當bV2a,a>0,b>0,判定方程X2-bx+a2=0的根的情況，即可求得答案．試題解析：(1)Tb=2a，點M是AD的中點，AB=AM=MD=DC=a,又???在矩形ABCD中，ZA=ZD=90°,ZAMB=ZDMC=45°,.ZBMC=90°．(2)存在，理由：若ZBMC=90°,則ZAMB+ZDMC=90°,又:ZAMB+ZABM=90°,.ZABM=ZDMC，又:ZA=ZD=90°,△ABM-△DMC,.AM_ABCD~DM，xa設AM=x，則一_,ab一x整理得：x2-bx+a2=0，Tb>2a，a>0，b>0，.△=b2-4a2>0，.方程有兩個不相等的實數根，且兩根均大于零，符合題意，???當b>2a時，存在ZBMC=90°,(3)不成立．理由：若ZBMC=90°,由(2)可知x2-bx+a2=0，tbV2a,a>0,b>0,?△=b2-4a2<0,.方程沒有實數根，???當b<2a時，不存在ZBMC=90°,即(2)中的結論不成立.考點：1、相似三角形的判定與性質；2、根的判別式；3、矩形的性質3.如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，使點B落到到B'的位置，AB'與CD交于點E.(1)求證：△AED^△CEB'【解析】【分析】由折疊的性質知，代一心—，?：：，冷一一-V：一「*」，則由AAE得到A4ED蘭也CEB'；由八可得;；,又由！,’'，即可求得"的長，然后在嘰的中，利用勾股定理即可求得的長，再過點'作-■于“，由角平分線的性質，可得/，；',易證得四邊形是矩形，繼而可求得答案.【詳解】(1廠‘四邊形為矩形，■■■CBr-BC-ADLB-山一￡0—90°（2）-上：V"人:.EB'-DE-3vAB'=4B=B■■■AE-AB'?EE—&-2一5在Rt色且DE中AD=J/1F-DE?=4過點'作挙丄于，v￡BrAC=￡BAC^^^.AE,??PK^PG:PHICDAB//CD■■PH1AB''IP、尺共線，-zKHD-lHKA-90°■?四邊形曲欣是矩形,■■HK-AD-外

■■■PG+PH^PK+PH-UK:-4【點睛】此題考查了折疊的性質、矩形的性質、角平分線的性質、等腰三角形的判定與性質以及勾股定理等知識.此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用.4.在平面直角坐標系中，四邊形AOBC是矩形，點0（0,0）,點A（5,0）,點B（0,3）.以點A為中心，順時針旋轉矩形AOBC,得到矩形ADEF,點0,B,C的對應點分別為D,E,F.（1）如圖①，當點D落在BC邊上時，求點D的坐標；（2）如圖②，當點D落在線段BE上時，AD與BC交于點H.求證△ADB^△AOB；求點H的坐標.（3）記K為矩形AOBC對角線的交點，S為KDE的面積，求S的取值范圍（直接寫出結果即可）.仆E【答案】（1）D（1,3）；（2）①詳見解析；@H（y，3）；（3）30-3辰心30+3屈4__4■【解析】【分析】（1）如圖①，在RtAACD中求出CD即可解決問題；（2）①根據HL證明即可；②，設AH=BH=m，則HC=BC-BH=5-m，在RtAAHC中，根據AH2=HC2+AC2，構建方程求出m即可解決問題；（3）如圖③中，當點D在線段BK上時，△DEK的面積最小，當點D在BA的延長線上時，△DZEZK的面積最大，求出面積的最小值以及最大值即可解決問題；【詳解】（1）如圖①中，55圖①???A(5,0),B(0,3),0A=5,OB=3,T四邊形AOBC是矩形，AC=OB=3,OA=BC=5,ZOBC=AC=90°,T矩形ADEF是由矩形AOBC旋轉得到，.AD=AO=5,在Rt5ADC中，CD=QAD2AC2=4,.BD=BC-CD=1,.D(1,3)．2)①如圖②中,由四邊形ADEF是矩形，得到ZADE=90°,T點D在線段BE上,.ZADB=90°,由(1)可知，AD=AO,又AB=AB,ZAOB=90°,RtHADB^RtHAOB(HL).②如圖②中，由△ADB^△AOB，得至l」ZBAD=ZBAO,又在矩形AOBC中，OAIIBC,.ZCBA=ZOAB,.ZBAD=ZCBA,BH=AH,設AH=BH=m，貝HC=BC-BH=5-m,在Rt^AHC中,TAH2=HC2+AC2,.m2=32+(5-m)2,17.m=—,BH=1717二H(—,3).11(3)如圖③中，當點D在線段BK上時，△DEK的面積最小，最小值=二?DE?DK=-x3xJ3?、30-3^4)=—TOC\o"1-5"\h\z24EB0A圖③尸’EB0A圖③尸’、當點D在BA的延長線上時，△DEK的面積最大，最大面積=-xD'E'xKD^-x3x/^34、30+3打4(5+)=一24綜上所述:①30+邁.44【點睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質、旋轉變換等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數構建方程解決問題．5.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,以線段AB為邊向外作等邊厶ABD，點E是線段AB的中點，連接CE并延長交線段AD于點F.DBFEACDBFEAC(1)求證：四邊形BCFD為平行四邊形；(2)若AB=6，求平行四邊形ADBC的面積.【答案】(1)見解析；(2)S平行四邊形C一2—?解析】

分析】11(1)在RtAABC中，E為AB的中點，則CE=下AB,BE=3AB,得到上BCE=ZEBC=60°.由△AEF竺△BEC,得上AFE=ZBCE=60°.又上D=60°，得上AFE=ZD=60度.所以FCIIBD,又因為上BAD=ZABC=60°，所以ADIIBC,即FD//BC，則四邊形BCFD是平行四邊形.(2)在RtAABC中，求出BC,AC即可解決問題；【詳解】解：(1)證明：在厶ABC中，ZACB=90°,ZCAB=30°,AZABC=60°，在等邊厶ABD中，ZBAD=60°,AZBAD=ZABC=60°,VE為AB的中點，AAE=BE,又：ZAEF=ZBEC,11A△AEF^△BEC,在厶ABC中，ZACB=90°,E為AB的中點，ACE=AB,BE=AB,22ACE=AE,AZEAC=ZECA=30°,AZBCE=ZEBC=60°,又:△AEF竺△BEC,AZAFE=ZBCE=60°,又：ZD=60°,AZAFE=ZD=60°,AFCIIBD,又VZBAD=ZABC=60°,AADIIBC,即FDIIBC,A四邊形BCFD是平行四邊形；(2)解：在RfABC中,VZBAC=30°，AB=6,ABC=AF=3,AC=3翦,AS平行四邊形平行四邊形ADBCbcfd=3x33=3,SAacf=2x3x33=一平行四邊形ADBC【點睛】本題考查平行四邊形的判定和性質、直角三角形斜邊中線定理、等邊三角形的性質、解直角三角形、勾股定理等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.6.已知AD是厶ABC的中線P是線段AD上的一點(不與點A、D重合)，連接PB、PC,E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點，AD與EF交于點M；劉S2如圖1,當AB=AC時，求證：四邊形EGHF是矩形；如圖2,當點P與點M重合時，在不添加任何輔助線的條件下，寫出所有與△BPE面積相等的三角形(不包括厶BPE本身).【答案】(1)見解析；(2)△APE、△APF、△CPF、△PGH.【解析】【分析】

11(1)由三角形中位線定理得出EGIIAP,EFIIBC,EF=帀BC,GHIBC,GH=-BC,推出EFIIGH,EF=GH,證得四邊形EGHF是平行四邊形，證得EF丄AP,推出EF丄EG，即可得出結論；(2)由厶APE與厶BPE的底AE=BE，又等高，得出S^APE=S^BpE，由厶APE與厶APF的底EP=FP，又等高，得出SaaPe=S“Pf，由△APF與厶CPF的底AF=CF，又等高，得出S"pf=SaCPF，證得△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半，推出1詳解】1)證明.EGIIAP,沐PGH=2'△AEF=S詳解】1)證明.EGIIAP,TE、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點11EFIIBC,EF=BC,GHIIBC,GH=—BC,

22綜上所述，與△BPE面積相等的三角形為：△APE、△APF、△CPF、△PGH.EFIGH,?四邊形EGHF是平行四邊形,EF=GH,-AB=ACEFIGH,?四邊形EGHF是平行四邊形,EF=GH,-AB=AC,.AD丄BC,.EF丄AP,EGIAP,?EF丄EG,?平行四邊形EGHF是矩形;(2)TPE>△APB的中線，.△APE與厶BPE的底AE=BE,又等高,S=S,△APE△BPEAP是厶AEF的中線，△APE與厶APF的底?EP=FP,又等高,S=S，APE△APFS=S，APF△BPEPF是厶APC的中線，△APF與厶CPF的底AF=CF,又等高,S=S，APF△CPFS=S，CPF△BPEEFIGHIBC，E、F、G、H分別是AB、AC、PB、PC的中點，△AEF底邊EF上的高等于△ABC底邊BC上高的一半，△PGH底邊GH上的高等于△PBC底邊BC上高的一半,???△PGH底邊GH上的高等于△AEF底邊EF上高的一半,TGH=EF,?'△pgh=2S"ef=Saapf，【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、平行四邊形的判定、三角形中位線定理、平行線的性質三角形面積的計算等知識，熟練掌握三角形中位線定理是解決問題的關鍵.7.（問題情境）在厶ABC中，AB=AC，點P為BC所在直線上的任一點，過點P作PD丄AB，PE丄AC，垂足分別為D、E,過點C作CF丄AB，垂足為F.當P在BC邊上時（如圖1）,求證：PD+PE=CF.證明思路是：如圖2,連接AP，由△ABP與厶ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF.（不要證明）（變式探究）（1）當點P在CB延長線上時，其余條件不變（如圖3）,試探索PD、PE、CF之間的數量關系并說明理由；請運用上述解答中所積累的經驗和方法完成下列兩題：（結論運用）（2）如圖4,將長方形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C'處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG丄BE、PH丄BC,垂足分別為G、H,若AD=16,CF=6,求PG+PH的值.4（遷移拓展）（3）在直角坐標系中，直線J：y=-3x+8與直線l2：y=-2x+8相父于點A,直線I】、l2與x軸分別交于點B、點C.點P是直線l2上一個動點，若點P到直線-的距離為2.求點P的坐標.A圖①圖②A圖①圖②【答案】【變式探究】證明見解析【結論運用】8【遷移拓展】（-1，6），（1，10）【解析】【變式探究】連接AP,同理利用厶ABP與厶ACP面積之差等于△ABC的面積可以證得；【結論運用】過點E作EQ丄BC，垂足為Q,根據勾股定理和矩形的性質解答即可；【遷移拓展】分兩種情況，利用結論，求得點P到x軸的距離，再利用待定系數法可求出P的坐標.【詳解】變式探究:連接AP,如圖3：TPD丄AB，PE丄AC，CF丄AB,且S=S-S，△ABC△ACP△ABP111AB?CF=AC?PE-AB?PD.222TAB=AC,CF=PD-PE；結論運用:過點E作EQ丄BC，垂足為Q,如圖④,T四邊形ABCD是長方形，AD=BC,ZC=ZADC=90°.TAD=16,CF=6,BF=BC-CF=AD-CF=5,由折疊可得：DF=BF,ZBEF=ZDEF..DF=5.TZC=90°,.DC=\DF2—CF2=<102-62=8.TEQ丄BC,ZC=ZADC=90°,.ZEQC=90°=ZC=ZADC..四邊形EQCD是長方形..EQ=DC=4.TADIIBC,.ZDEF=ZEFB.TZBEF=ZDEF,

ZBEF=ZEFB.BE=BF,由問題情境中的結論可得：PG+PH=EQ.PG+PH=8..PG+PH的值為8；遷移拓展:如圖,由題意得：A(0,8),B(6,0),C(-4,0).AB=\：6282=10，BC=10.AB=BC,由結論得：P1D1+P1E1=OA=8TP］D］=1=2,.P］E］=6即點P］的縱坐標為6又點P］在直線l2上,.y=2x+8=6,.x=-1,即點P］的坐標為(-1,6)；由結論得：P2E2-P2D2=OA=8TPD=2,22.p2E2=10即點P］的縱坐標為10又點P］在直線12上,.y=2x+8=10,.x=1,即點P］的坐標為(1,10)利用面積【點睛】本題考查了矩形的性質與判定、等腰三角形的性質與判定及勾股定理等知識點法列出等式是解決問題的關鍵.利用面積8．閱讀下列材料：我們定義：若一個四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個等腰三角形，則這條對角線叫這個四邊形的和諧線，這個四邊形叫做和諧四邊形．如正方形就是和諧四邊形．結合閱讀材料，完成下列問題：下列哪個四邊形一定是和諧四邊形.平行四邊形B.矩形C.菱形D.等腰梯形命題：“和諧四邊形一定是軸對稱圖形"是命題(填"真"或"假”).如圖，等腰RtAABD中，ZBAD=90°.若點C為平面上一點，AC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC,請求出ZABC的度數.【答案】(1)C;(2)ZABC的度數為60°或90°或150°.【解析】試題分析：(1)根據菱形的性質和和諧四邊形定義，直接得出結論.(2)根據和諧四邊形定義，分AD=CD,AD=AC，AC=DC討論即可.根據和諧四邊形定義，平行四邊形，矩形，等腰梯形的對角線不能把四邊形分成兩個等腰三角形，菱形的一條對角線能把四邊形分成兩個等腰三角形夠.故選C.T等腰RtAABD中，ZBAD=90°，二AB=AD.TAC為凸四邊形ABCD的和諧線，且AB=BC，???分三種情況討論：若AD=CD，如圖1,則凸四邊形ABCD是正方形，ZABC=90°；若AD=AC，如圖2,則AB=AC=BC，