2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽新疆賽區(qū)初賽試卷詳細解答

2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽新疆賽區(qū)初賽試卷詳細解答

2019年全國高中數(shù)學聯(lián)賽新疆賽區(qū)初賽試卷一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，共64分.把答案填在橫線上.）1.已知集合={1,2,3,4,5,6,7,8},={1,2,3,4,5},={4,5,6,7,8},則是集合的子集但不是集合的子集，也不是集合的子集的集合個數(shù)為.解法一：因為且，所以滿足題意的集合所含的元素至少在{1，2,3}中取一個且至少在{6,7,8}中取一個，集合{4,5}中的元素可取或不取，于是滿足題意的集合有個.解法二：集合的子集個數(shù)為，其中是集合或集合的子集個數(shù)為.所以滿足條件得集合個數(shù)為個.2.設為正整數(shù).若的和恰好等于一個三位數(shù)且該三位數(shù)的每個數(shù)字均相同，則所有可能的值為.解：設，化簡可得.由于且37是素數(shù)，故和中要有一個被37整除.再由，可知.因此或37整除.經(jīng)計算且，故=36.3.已知是正數(shù)且滿足則=.解：由知，即.（1）同理可得（2）由⑴和(2)可知.（3）由⑴和(3)可知.同理可得和.從而.4.隨機取一個由0和1構(gòu)成的8位數(shù)，它的偶數(shù)位數(shù)字之和與奇數(shù)位數(shù)字之和相等的概率為.解：設n是滿足題意的8位數(shù)，故知其偶數(shù)位上的1的個數(shù)和在奇數(shù)位上的1的個數(shù)相同，從而在奇數(shù)位上與偶數(shù)位上的1的個數(shù)可能為1,2,3或4.注意到首位為1,下面分情況討論：（i）奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有1個1,3個0,共有=4種可能；(ii)奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有2個1,2個0,共有=18種可能；(iii)奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有3個1,1個0,共有=12種可能；(iv)奇數(shù)位上與偶數(shù)位上有4個1,共有=1種可能；合計共有4+18+12+1=35個滿足條件的自然數(shù)n.又因為0和1構(gòu)成的8位數(shù)共有27=128個，從而概率為.5.設且，其中為最簡分數(shù)，則=.解：注意到，且.由可得，.于是，.從而.6.記為不超過實數(shù)的最大整數(shù).若,則除以50的余數(shù)為.解：注意到均不是整數(shù).按定義，所以對任意正整數(shù)均有，從而.7.一個150×324×375的長方體由1×1×1的單位立方體拼在一起構(gòu)成的，則該長方體的一條對角,穿過個不同的單位立方體.解：從左到右151個互相平行兩兩距離為1的平面與對角,有151個交點,將對角,分為150段.同樣，從上到下，從前到后的兩兩距離為1的平面又增加一些分點.除去對角線的一端外，共有150+324+375-(150,324)-(324,375)-(375,150)+(150,324,375)=768個分點(容斥原理)，將對角線分為768段，每段屬于一個單位立方體，即對角,穿過768個單位立方體.(注:為正整數(shù)，記()為與的最大公約數(shù).)8.已知數(shù)列:,那么是該數(shù)列的第項.解:依題意知，可將已知數(shù)列進行分組，第一組為;第二組為；第三組為;…;第組為.又,故分數(shù)在數(shù)列第7組.下面我們計算數(shù)列分組后，前6組共有數(shù)列中項.又為數(shù)列第7絹的第1010位.所以分數(shù)為數(shù)列的第543+1010位，即1553位.二、解答題（本大題共3小題，其中第1題16分，第2,3題各20分，共56分.）

1.設是橢圓:的左焦點，過點斜率為正的直線與相交于兩點，過點分別作直線和滿足,且直線,分別與軸相交于和.試求的最小值.解：設過橢圓的左焦點的直線的傾斜角為,依題意知.如圖設為橢圓的右焦點在中,所以.在中，同理有，所以有.（4）連結(jié),在中，記,則.由余弦定理知,即.所以有,即.（5）同理有.（6）由(5)(6)知.由(4)知.令，則.根據(jù)均值不等式知.所以且等號成立當且僅當,即.所以當且僅當時，.從而當且僅當時.2.設是正實數(shù)，且并滿足試求出()所有可能的).解：由題意知，對均有.于是有.可得.由于是正整數(shù)，故.當時，我們有得.注意到.從而,即,這與矛盾.當時，我們有.由于,故且.從而是不可能的，故也不成立.當時,我們有，則必定有,否則等式右邊至多為.同理,不然等式右邊至多為.因此我們有,從而.當時;當時.綜上所述，()所有可能的解為(24,4,3,2)或(60,5,3,2).3.給定正實數(shù),設.試求的最大值與最小值.解：（i）因為，且，所以有從而有，并且等號成立當且僅當.于是當時

取到最小值1.（ii）因為，且，所以有/r