人教版八年級上冊數(shù)學(xué)課件1312第1課時(shí)線段垂直平分線的性質(zhì)和判定課件

第1課時(shí)

線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定葫蘆島第六初級中學(xué)第1課時(shí)線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定葫蘆島第六初級中學(xué)1

直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l上的點(diǎn)，請你量一量線段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點(diǎn)P1、P2、P3、…到點(diǎn)A

與點(diǎn)B

的距離之間的數(shù)量關(guān)系．ABlP1P2P3P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝垂直平分線性質(zhì)直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l2【猜想】點(diǎn)P1、P2、P3、…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離分別相等．線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.由此你能得到什么結(jié)論？你能驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？【猜想】點(diǎn)P1、P2、P3、…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離分線段3求證：OE是CD的垂直平分線.如圖1所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長為.在銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P,，滿足PA=PB=PC,則點(diǎn)P是△ABC點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上線段的垂直平分的性質(zhì)和判定∴△PCA≌△PCB（SAS）．結(jié)論：三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.(2)OE、OF分別是點(diǎn)O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．在Rt△PCA和Rt△PCB中，①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；∴△PCA≌△PCB（SAS）．又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.(2)OE、OF分別是點(diǎn)O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l上的點(diǎn)，請你量一量線段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點(diǎn)P1、P2、P3、…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系．∴直線AM是線段BC的垂直（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連結(jié)CD.∴PA=PB．證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上，④若EA＝EB，則經(jīng)過點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB．尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為()

已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P

在l上．求證：PA=PB．

證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．

又

AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．PABlC【驗(yàn)證結(jié)論】求證：OE是CD的垂直平分線.已知：如圖，直線l⊥AB，4

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為(

)A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cmC例1如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，5解析：∵△DBC的周長為BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15(cm).故選C.方法歸納：利用線段垂直平分線的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長．解析：∵△DBC的周長為BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE61.如圖1所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長為

.2.如圖2所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E,

△BCE的周長等于18cm,則AC的長是

.510cmPABCD圖1ABCDE圖21.如圖1所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線C7

尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.ABCDEK已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C

.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C

.作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁.（2）以點(diǎn)C

為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E.（4）作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.F例2尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.8（1）為什么任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K與點(diǎn)C在直線兩旁？（2）為什么要以大于的長為半徑作??？（3）為什么直線CF就是所求作的垂線？【想一想】（1）為什么任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K與點(diǎn)C在直線兩旁？（2）9

已知:如圖,在ΔABC中,邊AB、BC的垂直平分線交于P.求證：PA=PB=PC.BACMNM'N'PPA=PB=PCPB=PC點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上PA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上解析：例3已知:如圖,在ΔABC中,邊AB、BC的垂10證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上，∴PA=PB.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.結(jié)論：

三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.現(xiàn)在你能想到方法確定購物中心的位置，使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等嗎？證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上，結(jié)論：三角形三邊11

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.分析：(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可得出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出出AB＝BF，再結(jié)合（1）即可解答．例4如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E12證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.證明：(1)∵AD∥BC，13【想一】：如果PA=PB,那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？PAB已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB

的垂直平分線上．垂直平分線的判定【想一】：如果PA=PB,那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線14則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA

和Rt△PCB中，

PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL），∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴點(diǎn)P在線段AB

的垂直平分線上．PABC證明：過點(diǎn)P

作AB

的垂線PC，垂足為點(diǎn)C．則∠PCA=∠PCB=90°．PABC證明：過點(diǎn)P作A15★線段垂直平分線的判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．▼應(yīng)用格式：∵

PA=PB，∴點(diǎn)P

在AB

的垂直平分線上．PAB▼作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.★線段垂直平分線的判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段16

這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB

兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？

與A、B

的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線l可以看成與A、B兩點(diǎn)

的距離相等的所有點(diǎn)的集合.PABCl這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？你能再找一些到線段AB17▼應(yīng)用格式：∵AB=AC，MB=MC，∴直線AM是線段BC

的垂直平分線．A

B

C

D

M這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法.▼應(yīng)用格式：ABCDM這是判斷一條直線是線段的垂直18

已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連結(jié)CD.求證：OE是CD的垂直平分線.ABOEDC證明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE.∴

OE是CD的垂直平分線.又∵OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC，∴DO=CO，例5已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA191.如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說法正確的是（）A．AB垂直平分CD；B．CD垂直平分AB

；C．AB與CD互相垂直平分；D．CD平分∠ACB

．ＡＢＣＤA2.在銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P,，滿足PA=PB=PC,則點(diǎn)P是△ABC

()A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)C.三條高的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)D1.如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說法正確的是（20(2)AB＝BC＋AD.∴OE＝OF.∴OC＝OD，AO＝OB，這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法.現(xiàn)在你能想到方法確定購物中心的位置，使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等嗎？你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？證明：∵l⊥AB，又AC=CB，PC=PC，(2)AB＝BC＋AD.∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OC＝OD，AO＝OB，(2)OE＝OF.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,③若PA＝PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；∴Rt△OED≌Rt△OEC，①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；∴BC＝35－20＝15(cm).這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？線段的垂直平分的性質(zhì)和判定（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？(2)OE、OF分別是點(diǎn)O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．(1)找出圖中相等的線段；又AC=CB，PC=PC，∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC.證明：(1)∵AD∥BC，(2)OE、OF分別是點(diǎn)O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；在Rt△PCA和Rt△PCB中，③若PA＝PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？▼作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l上的點(diǎn)，請你量一量線段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點(diǎn)P1、P2、P3、…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系．∴Rt△OED≌Rt△OEC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？∴△ADE≌△FCE，線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.線段的垂直平分的性質(zhì)和判定已知線段AB，在平面上找到三個(gè)點(diǎn)D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點(diǎn)的組合共有種.在銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P,，滿足PA=PB=PC,則點(diǎn)P是△ABC線段的垂直平分的性質(zhì)和判定∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連結(jié)BE，AB+BC=16cm,則△BCE的周長是cm.分析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；4.下列說法：①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA＝PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；④若EA＝EB，則經(jīng)過點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB．其中正確的有

（填序號）.①②③3.已知線段AB，在平面上找到三個(gè)點(diǎn)D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點(diǎn)的組合共有

種.無數(shù)(2)AB＝BC＋AD.(1)找出圖中相等的線段；4.下列說215.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連結(jié)BE，AB+BC=16cm,則△BCE的周長是

cm.ABCDE165.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E22證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上，直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l上的點(diǎn)，請你量一量線段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點(diǎn)P1、P2、P3、…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系．∴AB＝BF＝BC＋CF.①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；P3A____P3B【猜想】點(diǎn)P1、P2、P3、…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離分這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.求證：OE是CD的垂直平分線.線段的垂直平分的性質(zhì)和判定①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；(1)找出圖中相等的線段；已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連結(jié)CD.解：AD垂直平分EF.現(xiàn)在你能想到方法確定購物中心的位置，使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等嗎？∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,則∠PCA=∠PCB=90°．∴OE是CD的垂直平分線.且AC＝BC＝AD＝BD.已知線段AB，在平面上找到三個(gè)點(diǎn)D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點(diǎn)的組合共有種.已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連結(jié)CD.∴OE是CD的垂直平分線.6.如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，試說明AD與EF的關(guān)系．解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF，∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.ABCDEF證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上，6.如圖所示，在△23【拓展】如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點(diǎn)O.(1)找出圖中相等的線段；(2)OE、OF分別是點(diǎn)O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．分析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；(2)由條件可證明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得OE＝OF.【拓展】如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂24解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，

∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD.

(2)OE＝OF.理由如下：在△AOC和△AOD中，

∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，25線段的垂直平分的性質(zhì)和判定到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上內(nèi)容作用線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等作用見垂直平分線，得線段相等判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上課堂總結(jié)性質(zhì)判定內(nèi)容線段的垂直平分的性質(zhì)和判定到線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段26人教版八年級上冊數(shù)學(xué)課件1312第1課時(shí)線段垂直平分線的性質(zhì)和判定課件27第1課時(shí)

線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定葫蘆島第六初級中學(xué)第1課時(shí)線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定葫蘆島第六初級中學(xué)28

直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l上的點(diǎn)，請你量一量線段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點(diǎn)P1、P2、P3、…到點(diǎn)A

與點(diǎn)B

的距離之間的數(shù)量關(guān)系．ABlP1P2P3P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B＝＝＝垂直平分線性質(zhì)直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l29【猜想】點(diǎn)P1、P2、P3、…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離分別相等．線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.由此你能得到什么結(jié)論？你能驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？【猜想】點(diǎn)P1、P2、P3、…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離分線段30求證：OE是CD的垂直平分線.如圖1所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長為.在銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P,，滿足PA=PB=PC,則點(diǎn)P是△ABC點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上線段的垂直平分的性質(zhì)和判定∴△PCA≌△PCB（SAS）．結(jié)論：三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.(2)OE、OF分別是點(diǎn)O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．在Rt△PCA和Rt△PCB中，①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；∴△PCA≌△PCB（SAS）．又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.(2)OE、OF分別是點(diǎn)O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l上的點(diǎn)，請你量一量線段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點(diǎn)P1、P2、P3、…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系．∴直線AM是線段BC的垂直（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連結(jié)CD.∴PA=PB．證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上，④若EA＝EB，則經(jīng)過點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB．尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為()

已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P

在l上．求證：PA=PB．

證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．

又

AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）．∴PA=PB．PABlC【驗(yàn)證結(jié)論】求證：OE是CD的垂直平分線.已知：如圖，直線l⊥AB，31

如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為(

)A．5cmB．10cmC．15cmD．17.5cmC例1如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，32解析：∵△DBC的周長為BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15(cm).故選C.方法歸納：利用線段垂直平分線的性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知線段的長．解析：∵△DBC的周長為BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE331.如圖1所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線CD上的一點(diǎn)，且PA=5，則線段PB的長為

.2.如圖2所示，在△ABC中，BC=8cm,邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E,

△BCE的周長等于18cm,則AC的長是

.510cmPABCD圖1ABCDE圖21.如圖1所示，直線CD是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)P為直線C34

尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.ABCDEK已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C

.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C

.作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K和點(diǎn)C在AB的兩旁.（2）以點(diǎn)C

為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和點(diǎn)E.（4）作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.F例2尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.35（1）為什么任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K與點(diǎn)C在直線兩旁？（2）為什么要以大于的長為半徑作?。浚?）為什么直線CF就是所求作的垂線？【想一想】（1）為什么任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K與點(diǎn)C在直線兩旁？（2）36

已知:如圖,在ΔABC中,邊AB、BC的垂直平分線交于P.求證：PA=PB=PC.BACMNM'N'PPA=PB=PCPB=PC點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上PA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上解析：例3已知:如圖,在ΔABC中,邊AB、BC的垂37證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上，∴PA=PB.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.結(jié)論：

三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.現(xiàn)在你能想到方法確定購物中心的位置，使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等嗎？證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上，結(jié)論：三角形三邊38

如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點(diǎn)，連結(jié)AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點(diǎn)F.求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.分析：(1)根據(jù)AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據(jù)E是CD的中點(diǎn)可得出△ADE≌△FCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答．(2)先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出出AB＝BF，再結(jié)合（1）即可解答．例4如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E39證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.證明：(1)∵AD∥BC，40【想一】：如果PA=PB,那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？PAB已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB

的垂直平分線上．垂直平分線的判定【想一】：如果PA=PB,那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線41則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA

和Rt△PCB中，

PA=PB，PC=PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL），∴AC=BC．又

PC⊥AB，∴點(diǎn)P在線段AB

的垂直平分線上．PABC證明：過點(diǎn)P

作AB

的垂線PC，垂足為點(diǎn)C．則∠PCA=∠PCB=90°．PABC證明：過點(diǎn)P作A42★線段垂直平分線的判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．▼應(yīng)用格式：∵

PA=PB，∴點(diǎn)P

在AB

的垂直平分線上．PAB▼作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.★線段垂直平分線的判定：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段43

這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？

你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB

兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？

與A、B

的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線l可以看成與A、B兩點(diǎn)

的距離相等的所有點(diǎn)的集合.PABCl這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？你能再找一些到線段AB44▼應(yīng)用格式：∵AB=AC，MB=MC，∴直線AM是線段BC

的垂直平分線．A

B

C

D

M這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法.▼應(yīng)用格式：ABCDM這是判斷一條直線是線段的垂直45

已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連結(jié)CD.求證：OE是CD的垂直平分線.ABOEDC證明：∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,∴DE=CE.∴

OE是CD的垂直平分線.又∵OE=OE，∴Rt△OED≌Rt△OEC，∴DO=CO，例5已知：如圖，點(diǎn)E是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，EC⊥OA461.如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說法正確的是（）A．AB垂直平分CD；B．CD垂直平分AB

；C．AB與CD互相垂直平分；D．CD平分∠ACB

．ＡＢＣＤA2.在銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P,，滿足PA=PB=PC,則點(diǎn)P是△ABC

()A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三條中線的交點(diǎn)C.三條高的交點(diǎn)D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)D1.如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說法正確的是（47(2)AB＝BC＋AD.∴OE＝OF.∴OC＝OD，AO＝OB，這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法.現(xiàn)在你能想到方法確定購物中心的位置，使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等嗎？你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？證明：∵l⊥AB，又AC=CB，PC=PC，(2)AB＝BC＋AD.∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OC＝OD，AO＝OB，(2)OE＝OF.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,③若PA＝PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；∴Rt△OED≌Rt△OEC，①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；∴BC＝35－20＝15(cm).這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？線段的垂直平分的性質(zhì)和判定（3）分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？(2)OE、OF分別是點(diǎn)O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．(1)找出圖中相等的線段；又AC=CB，PC=PC，∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE＝EC.證明：(1)∵AD∥BC，(2)OE、OF分別是點(diǎn)O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系．∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；在Rt△PCA和Rt△PCB中，③若PA＝PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？▼作用：判斷一個(gè)點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上.直線l垂直平分線段AB，P1、P2、P3、…是l上的點(diǎn)，請你量一量線段P1A、P1B、P2A、P2B、P3A、P3B的長，你能發(fā)現(xiàn)什么？請猜想點(diǎn)P1、P2、P3、…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系．∴Rt△OED≌Rt△OEC，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？∴△ADE≌△FCE，線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.線段的垂直平分的性質(zhì)和判定已知線段AB，在平面上找到三個(gè)點(diǎn)D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點(diǎn)的組合共有種.在銳角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P,，滿足PA=PB=PC,則點(diǎn)P是△ABC線段的垂直平分的性質(zhì)和判定∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連結(jié)BE，AB+BC=16cm,則△BCE的周長是cm.分析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；4.下列說法：①若點(diǎn)P、E是線段AB的垂直平分線上兩點(diǎn)，則EA＝EB，PA＝PB；②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；③若PA＝PB，則點(diǎn)P必是線段AB的垂直平分線上的點(diǎn)；④若EA＝EB，則經(jīng)過點(diǎn)E的直線垂直平分線段AB．其中正確的有

（填序號）.①②③3.已知線段AB，在平面上找到三個(gè)點(diǎn)D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點(diǎn)的組合共有

種.無數(shù)(2)AB＝BC＋AD.(1)找出圖中相等的線段；4.下列說485.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E,連結(jié)BE，AB+BC=16cm,則△BCE的周長是

cm.ABCDE165.如圖，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線交AC于E49證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上