人教A1.2任意的三角函數(shù)市公開課一等獎(jiǎng)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

進(jìn)入名師伴你行SANPINBOOK學(xué)點(diǎn)一學(xué)點(diǎn)二學(xué)點(diǎn)三學(xué)點(diǎn)四名師伴你行SANPINBOOK1.在直角坐標(biāo)系中，

叫做單位圓.2.設(shè)α是一個(gè)任意角，它終邊與單位圓交于點(diǎn)Ｐ（x，y），那么：（１）

叫做α正弦，記作

，即

.（２）

叫做α余弦，記作

，即

.（３）

叫做α正切，記作

，即

.當(dāng)α＝

時(shí)，α終邊在y軸上，這時(shí)點(diǎn)Ｐ橫坐標(biāo)x等于

，所以

無(wú)意義.除此之外，對(duì)于確定角α，上述三個(gè)值都是

.所以正弦、余弦、正切都是以

為自變量，以

為函數(shù)值函數(shù)，我們將它們統(tǒng)稱為

.由于

與

之間能夠建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以三角函數(shù)能夠看成是自變量為

函數(shù).x０角實(shí)數(shù)以原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑圓sinα＝y(tǒng)cosα＝xcosαysinαtanαtanα＝（x≠０）＋kπ（k∈Z）tanα＝唯一確定單位圓上點(diǎn)坐標(biāo)或坐標(biāo)比值三角函數(shù)角集合實(shí)數(shù)集

返回目錄名師伴你行SANPINBOOK3.依據(jù)任意角三角函數(shù)定義，先將正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下定義域填入下表，再將這三種函數(shù)值在各象限符號(hào)填入括號(hào).三角函數(shù)定義域sinαcosαtanαx|x∈Ｒ且x≠kπ＋，k∈ＺＲＲ

返回目錄名師伴你行SANPINBOOK4.由三角函數(shù)定義，能夠知道：

角同一三角函數(shù)值

.由此得到公式一：

，

，

，其中

.5.

叫做有向線段.6.如圖所表示，已知角α終邊位置.則由三角函數(shù)定義可知點(diǎn)Ｐ坐標(biāo)為（cosα，sinα）.點(diǎn)Ｔ坐標(biāo)為（１，tanα）.其中cosα＝

，sinα＝

，tanα＝

.把軸上向量OM，ＯＮ，ＡＴ（ＡＴ′）叫做α

和

.終邊相同相等sin（α＋k·２π）＝sinαcos（α＋k·２π）＝cosαtan（α＋k·２π）＝tanαkk∈Ｚ帶有方向線段ＯＭＯＮＡＴ余弦線、正弦線正切線

返回目錄名師伴你行SANPINBOOK1.已知角α終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ｐ（－４a，３a）（a≠０），求sinα,cosα,tanα值.【分析】由三角函數(shù)定義直接求.學(xué)點(diǎn)一求任意角三角函數(shù)值【解析】依據(jù)任意角三角函數(shù)定義，應(yīng)首先求出點(diǎn)Ｐ到原點(diǎn)距離r，因?yàn)楹袇?shù)a，要注意分類討論.r＝若a＞０，r＝５a，α角在第二象限，則sinα＝＝＝，cosα＝＝＝，tanα＝＝＝.若a＜０，r＝－５a，α角在第四象限，則sinα＝，cosα＝，tanα＝.

返回目錄名師伴你行SANPINBOOK【評(píng)析】易錯(cuò)解為：∵x＝－４a，y＝３a，∴r＝＝５a，∴sinα＝，cosα＝，tanα＝.錯(cuò)因是忘記討論a符號(hào).三角函數(shù)定義是求任意角三角函數(shù)值有效方法，只要知道角終邊上任一點(diǎn)坐標(biāo)即可.2.已知角α終邊與直線y＝x重合，求α三個(gè)三角函數(shù)值.【分析】給出角α終邊而要求α六種三角函數(shù)值，只需在α終邊上任取一點(diǎn)Ｐ，再利用定義直接求解，但必須注意這里角α終邊有兩種情形，應(yīng)分別求解.

返回目錄名師伴你行SANPINBOOK【解析】如圖所表示，直線y＝x過(guò)原點(diǎn)和一、三象限，所以，當(dāng)α終邊在第一象限時(shí)，在終邊上取點(diǎn)Ｐ(2,3)，則當(dāng)α終邊落在第三象限時(shí)，在其終邊上取點(diǎn)（-2，-3），則

返回目錄名師伴你行SANPINBOOK【評(píng)析】由此例能夠看出，當(dāng)兩個(gè)角終邊反向共線時(shí)，它們六種三角函數(shù)值絕對(duì)值應(yīng)相等，僅僅在符號(hào)上有所不一樣.

返回目錄名師伴你行SANPINBOOK已知角α終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)Ｐ(-2,3)，試求α正弦、余弦、正切值.因?yàn)閤＝-2，y＝3，所以，所以sinα＝cosα＝tanα＝

返回目錄名師伴你行SANPINBOOK學(xué)點(diǎn)二三角函數(shù)值符號(hào)

【分析】判定三角函數(shù)符號(hào)應(yīng)分兩步：一是判定角象限；二是判定這一象限內(nèi)某三角函數(shù)符號(hào).【答案】Ｂ

返回目錄1.給出以下三角函數(shù)值：（１）sin１１２５°；（２）tanπ·sinπ；（３）；（４）sin１－cos１.其中為正值個(gè)數(shù)是（）A.１B.２C.３D.４名師伴你行SANPINBOOK

返回目錄【解析】1125°＝1080°＋45°，則1125°是第一象限角，所以sin1125°＞０；因?yàn)椋剑拨校?，所以是第三象限角，所以tanπ＞０，sinπ＜０，故tanπ·sinπ＜０；因?yàn)椋椿《冉菫榈谌笙藿牵詓in４＜０，tan４＞０，故；因?yàn)椋迹被《龋迹詓in１－cos１＞０.綜合上述，（１）（４）為正.故應(yīng)選Ｂ.【評(píng)析】判斷三角函數(shù)值和符號(hào)時(shí)，要靈活處理，若只有一個(gè)角，則需觀察角象限，然后逐一判斷每項(xiàng)符號(hào)；若是多項(xiàng)式，則可由三角函數(shù)變形，也可由三角函數(shù)線判斷.名師伴你行SANPINBOOK

返回目錄2.若sinθ＜０且tanθ＞０，試確定角θ所在象限.【分析】依據(jù)判定三角函數(shù)符號(hào)口訣：“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”判定.【解析】∵sinθ＜０，∴θ是第三、第四象限角或終邊在y軸負(fù)半軸上.又∵tanθ＞０，∴θ是第一或第三象限角.綜上可知,θ是第三象限角.【評(píng)析】三角函數(shù)在各象限符號(hào)取決于終邊所在位置.若角終邊所在象限確定，則三角函數(shù)值符號(hào)就確定.名師伴你行SANPINBOOK

返回目錄已知tanα＞０，且sinα＋cosα＞０，那么角α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角Ａ（設(shè)Ｐ（x，y）是角α終邊上一點(diǎn)，它到原點(diǎn)距離為r.由題意知tanα＝，sinα＋cosα=，而r＞０，所以x＞０，y＞０，即Ｐ點(diǎn)應(yīng)在第一象限，于是角α是第一象限角.故應(yīng)選A.）A名師伴你行SANPINBOOK

返回目錄1.x取什么值時(shí)，使有意義？學(xué)點(diǎn)三三角函數(shù)定義域【分析】考慮到分母不能為零，而且使得tanx有意義.【解析】∵tanx≠０，∴x≠kπ（k∈Ｚ）.又∵x≠kπ＋（k∈Ｚ）,∴x≠（n∈Ｚ）.∴當(dāng)x∈x|x≠，n∈Ｚ時(shí),有意義.【評(píng)析】求三角函數(shù)定義域一要注意三角函數(shù)本身限制條件，二要注意應(yīng)用求函數(shù)定義域要求.名師伴你行SANPINBOOK

返回目錄2.求函數(shù)y＝tan()定義域.【分析】由y=tanx定義域?yàn)椹xx|x≠kπ+,k∈Z﹜求.【解析】∵y＝tanx定義域?yàn)椹xx|x≠kπ＋，k∈Ｚ﹜，∴x－≠kπ＋，k∈Ｚ，∴x≠kπ＋，k∈Ｚ，∴原函數(shù)定義域?yàn)椹xx|x≠kπ＋，k∈Ｚ﹜.【評(píng)析】（１）求一個(gè)函數(shù)定義域就是要找出使這個(gè)函數(shù)有意義x取值集合.（２）將三角函數(shù)符號(hào)后整體看作一個(gè)角，從而化為一個(gè)角三角函數(shù)，這種整體化歸思想在今后學(xué)習(xí)中經(jīng)慣用到，要注意了解與應(yīng)用.名師伴你行SANPINBOOK

返回目錄1.求函數(shù)定義域：（１）y＝＋tanx；（２）y＝lg（３－４sin２x）.2.已知sinα＜，求α取值集合.1.(1)（定義法）當(dāng)sinx≥０且tanx有意義時(shí)函數(shù)有意義，所以２kπ≤x≤（２k＋１）π，x≠kπ＋，k∈Ｚ，所以函數(shù)y＝+tanx定義域?yàn)槊麕煱槟阈蠸ANPINBOOK

返回目錄(2)（三角函數(shù)線法）如圖所表示，因?yàn)椋常磗in２x＞０，所以sin２x＜，所以＜sinx＜.所以函數(shù)定義域?yàn)?２kπ－，２kπ＋)∪(２kπ＋，２kπ＋)，k∈Ｚ，即(kπ－，kπ＋)，k∈Ｚ.名師伴你行SANPINBOOK2.如圖所表示，首先在y軸上找到，過(guò)此點(diǎn)作平行于x軸直線，交單位圓于Ｐ１與Ｐ２兩點(diǎn).若sinα＝，則α＝２kπ＋或α＝２kπ＋（k∈Ｚ），角α所對(duì)應(yīng)正弦線分別為Ｍ１Ｐ１,Ｍ２Ｐ２，當(dāng)角２kπ＋終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至２kπ＋時(shí)，顯然sinα＞，故應(yīng)舍去，所以α應(yīng)取線ＯＰ１和線ＯＰ２以下角，如圖陰影部分所表示.故α取值集合是﹛α|2kπ+＜α＜2kπ+，k∈Z.﹜

返回目錄名師伴你行SANPINBOOK

返回目錄

1.已知０＜α＜，求證：（１）sinα＋cosα＞１；（２）sinα＜α＜tanα.【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，作出單位圓及正弦線、余弦線、正切線，依據(jù)圖形證實(shí).學(xué)點(diǎn)四單位圓、三角函數(shù)線應(yīng)用名師伴你行SANPINBOOK

返回目錄【評(píng)析】利用三角函數(shù)線意義，數(shù)形結(jié)合處理這類問(wèn)題非常方便，本題兩個(gè)結(jié)論應(yīng)該記住，對(duì)以后做題很有幫助.【證實(shí)】如圖所表示，設(shè)α終邊與單位圓交于Ｐ，作ＰＭ⊥x軸，垂足為Ｍ，過(guò)點(diǎn)Ａ（1,0）作ＡＴ⊥x軸，交α終邊于Ｔ，則sinα＝MP，cosα＝OM，tanα＝AT.(1)在△OMP中，∵OM＋MP＞OP，∴cosα＋sinα＞１.(2)連接PA，則Ｓ△OPA＜Ｓ扇形OPA＜Ｓ△OTA，即·ＯＡ·ＭＰ＜·ＯＡ2·α＜ＯＡ·ＡＴ，∵OA=1，∴sinα＜α＜tanα.

返回目錄2.在單位圓中畫出適合以下條件角α終邊范圍，并由此寫出角α集合.（１）sinα≥；（２）cosα≤.【分析】作出滿足sinα=a(或cosα=a)三角函數(shù)線再利用特值找不等式表示范圍.也能夠作出y=a,與單位圓交于A，B兩點(diǎn)，OA，OB將圓分成兩個(gè)區(qū)域，特值確定哪一個(gè).名師伴你行SANPINBOOK

返回目錄【解析】(1)作直線y＝交單位圓于Ａ，Ｂ兩點(diǎn)，連接OA，OB，則OA與OB圍成區(qū)域（如圖所表示中陰影部分）即為角α終邊范圍.所以滿足條件角α集合為﹛α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Ｚ﹜.(2)作直線x＝交單位圓于Ｃ，Ｄ兩點(diǎn)，連接ＯＣ與ＯＤ，則ＯＣ與ＯＤ圍成區(qū)域（如圖1.2-1-5所表示中陰影部分）即為角α終邊范圍.所以滿足條件角α集合為﹛α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Ｚ﹜.【評(píng)析】三角函數(shù)線能夠用來(lái)求滿足形如f（α）≥m或f（α）≤m三角函數(shù)角α范圍.

返回目錄名師伴你行SANPINBOOK

返回目錄在單位圓中畫出滿足以下條件角α終邊.（１）sinα＝；（２）cosα＝；（３）tanα＝３.分別以下列圖所表示.名師伴你行SANPINBOOK

返回目錄1.怎樣了解三角函數(shù)定義？三角函數(shù)定義能夠結(jié)合以下幾點(diǎn)來(lái)了解：①一個(gè)角三角函數(shù)值只與這個(gè)角終邊位置相關(guān)，即角α與β＝２kπ＋α（k∈Ｚ）三角函數(shù)值相等；②因?yàn)閨x|≤r，|y|≤r，故由sinα＝，cosα=，得|sinα|≤１，|cosα|≤１，這是三角函數(shù)中最基本一組不等關(guān)系式.即三角函數(shù)值是比值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)大小和點(diǎn)Ｐ（x，y）在終邊上位置無(wú)關(guān)，而僅由角α終邊位置所決定.對(duì)于確定角α，其終邊位置也唯一確定了.所以，三角函數(shù)值大小僅與角相關(guān)，它是角函數(shù).三角函數(shù)定義還能夠推廣為：設(shè)點(diǎn)Ｐ（x，y）是角α終邊上任意一點(diǎn)，它到坐標(biāo)原點(diǎn)距離|ＯＰ|＝r，于是sinα＝名師伴你行SANPINBOOK

返回目錄2.怎樣掌握三角函數(shù)在各象限符號(hào)？由三角函數(shù)定義以及各象限內(nèi)點(diǎn)坐標(biāo)符號(hào)，能夠確定三角函數(shù)符號(hào).sinα＝，其中r＞０，于是sinα符號(hào)與y符號(hào)相同，即當(dāng)α是第一、二象限角時(shí)，sinα＞０；當(dāng)α是第三、四象限角時(shí)，sinα＜０.cosα＝，其中r＞０，于是cosα符號(hào)與x符號(hào)相同，即當(dāng)α是第一、四象限角時(shí)，cosα＞０；當(dāng)α是第二、三象限角時(shí)，cosα＜０.tanα＝，當(dāng)x與y同號(hào)時(shí)，它們比值為正；當(dāng)x與y異號(hào)時(shí)，它們比值為負(fù)，即當(dāng)α為第一、三象限角時(shí)，tanα＞０；當(dāng)α為第二、四象限角時(shí)，tanα＜０，以上結(jié)果如圖所表示.名師伴你行SANPINBOOK

返回目錄正弦函數(shù)符號(hào)取決于縱坐標(biāo)y符號(hào)，余弦函數(shù)符號(hào)取決于橫坐標(biāo)x符號(hào)，正切函數(shù)是x，y同號(hào)為正，異號(hào)為負(fù).在記憶三角函數(shù)在各象限符號(hào)時(shí)，有以下口訣：一全正，二正弦，三兩切，四余弦.口決含義是在第一象限各三角函數(shù)皆為正，在第二象限正弦為正，在第三象限正、余切為正，在第四象限余弦為正.名師伴你行SANPINBOOK

返回目錄3.怎樣了解三角函數(shù)線？

（1）有向線段數(shù)量當(dāng)有向線段與數(shù)