傅里葉變換 頻率響應(yīng) 抽樣定理仿真

期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)及頻譜分析?學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB分析傅里葉級(jí)數(shù)展開，深入理解傅里葉級(jí)數(shù)的物理含義?學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB分析周期信號(hào)的頻譜特性6.2實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析6.2.1周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)設(shè)周期信號(hào)，其周期為T，角頻率為 一,則該信號(hào)可展開圍三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)，即（ ） （6-1）其中，各正弦項(xiàng)與余弦項(xiàng)的系數(shù)、成為傅里葉系數(shù)，更具函數(shù)的正交性，得- （6-2）其中，n=1,2……。積分區(qū)間 通常取為（0，T）或（一,_），將上式同頻率項(xiàng)合并，可以改寫為（6-3）由此，可以得出傅里葉級(jí)數(shù)中各系數(shù)間的關(guān)系為：(6-4)從物理概念上來說，式6-3中的即是信號(hào)的直流分量；式中第二項(xiàng) 成為信號(hào)的基波或基波分量，它的角頻率與元周期信號(hào)相同；式中第三項(xiàng) 成為信號(hào)的二次諧波，它的頻率是基波頻率的二倍，以此類推。一般而言，成為信號(hào)的n次諧波，n比較法的那些分量統(tǒng)稱為高次諧波。我們還成用到負(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)，設(shè)周期信號(hào)，其周期為T，角頻率為 一，該信號(hào)負(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)為其中，—一 n=0, ……成為復(fù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。利用MATLAB可直觀地觀察和分析周期洗腦傅里葉級(jí)數(shù)及其收斂性?！緦?shí)例6-1】周期方波信號(hào)如圖6-1所為)“示，試求出該信號(hào)的傅里葉基數(shù)，利用一！口'§!□-0TMATLAB編程實(shí)現(xiàn)各次諧波的疊加，并驗(yàn)證1—1LJL_l圖6-1周期方波信號(hào)其收斂性。解：從理論分析可知，已知周期方波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為— ___+_ )取A=1，T=1，可分別求出1、3、5、11、47項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)求和的結(jié)果，其MATLAB源程序?yàn)?gt;>t=-1:0.001:1;>>omega=2*pi;>>y=square(2*pi*t,50);>>plot(t,y),gridon>>xlabel('t'),ylabel('周期方波信號(hào)')>>axis([-11-1.51.5])>>n_max=[1351147];>>N=length(n_max);>>fork=1:Nn=1:2:n_max(k);b=4./(pi*n);x=b*sin(omega*n'*t);figure;plot(t,y);holdon;plot(t,x);holdoff;xlabel('t'),ylabel('部分和的波形')axis([-11-1.51.5]),gridontitle(['最大諧波數(shù)=',num2str(n_max(k))])end

程序運(yùn)行后，畫出各項(xiàng)部分和的波形如圖6-2所示:-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t程序運(yùn)行后，畫出各項(xiàng)部分和的波形如圖6-2所示:-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1t.5.505O-O.里溪S是去W圖6-2周期方波信號(hào)的有限項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)逼近從圖可以看出，隨著傅里葉級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)的增多，部分和與周期方波型號(hào)的誤差越來與小。在N=47項(xiàng)的時(shí)候，部分和的波箱與周期方波信號(hào)的波形很接近，但在信號(hào)的跳變點(diǎn)附近，卻總是存在一個(gè)過沖，這就是所謂的Gibbs現(xiàn)象。周期信號(hào)通過傅里葉級(jí)數(shù)分解可展開成一系列互相正交的正弦信號(hào)或復(fù)指數(shù)信號(hào)分量的加權(quán)和。在三角形式傅里葉級(jí)數(shù)中，各分量的形式為 ；在指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)中，各量的形式為 。對(duì)實(shí)信號(hào)而言， 與承兌出現(xiàn)。對(duì)不同的周期信號(hào)，它們各個(gè)分量的數(shù)目、角頻率、幅度或相位不同。傅里葉系數(shù)的幅度或隨角頻率變化關(guān)系繪制成圖形，成為信號(hào)的幅度頻譜，簡(jiǎn)稱幅度譜。相位隨角頻率變化關(guān)系繪制成圖形，稱為信號(hào)的相位頻譜，簡(jiǎn)稱相位譜。幅度譜和相位朋友統(tǒng)稱為信號(hào)的頻譜。信號(hào)的頻譜是信號(hào)的另一種表示，它提供了從另一個(gè)角度來觀察和分析信號(hào)的途徑。利用MATLAB命令可對(duì)周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)進(jìn)行觀察驗(yàn)證分析。6.3編程練習(xí)2.試用MATLAB分析圖6-5中周期三角信號(hào)的頻譜。當(dāng)周期三角信號(hào)的周期好三角信號(hào)的寬度變化時(shí)，試觀察分析其頻譜的變化。解：根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)理論可知，周期三角信號(hào)的傅里葉系數(shù)為各譜線之間的間隔為 一。圖6-6畫出了、 ，、和、 三種情況下傅里葉系數(shù)。為了能在同一時(shí)間段對(duì)比，第2種情況由于周期T不一樣，所以譜線之間的間隔也不一樣，因此，對(duì)橫坐標(biāo)做了調(diào)整，使它與第1、3種情況一致。MATLAB源程序?yàn)?gt;>n=-30:30;tao=1;T=10;w1=2*pi/T;>>x=n*tao/T;fn=tao*sinc(x);>>subplot(311)>>stem(n*w1,fn),gridon>>title('tao=1,T=10')>>tao=1;T=5;w2=2*pi/T;>>x=n*tao/T;fn=tao*(sinc(x)).八2;>>m=round(30*w1/w2);>>n1=-m:m;>>fn=fn(30-m+1:30+m+1);>>subplot(312)>>stem(n1*w2,fn),gridon>>title('tao=1,T=5')

>>tao=2;T=10;w3=2*pi/T;>>x=n*tao/T;fn=tao*(sinc(x)).八2;>>subplot(313)>>stem(n*w3,fn),gridon>>title('tao=2,T=10')圖6-6周期三角信號(hào)的傅里葉系數(shù)>>title('tao=2,T=10')圖6-6周期三角信號(hào)的傅里葉系數(shù)從圖6-6可以看出，脈沖寬度越大，信號(hào)的頻譜帶寬越小；而周期越小，譜線之間間隔越大，驗(yàn)證了傅里葉級(jí)數(shù)理論。第7章傅里葉變換及其性質(zhì)7.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康?/p>

?學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB求連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里變換；?學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB求連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜圖；?學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換的性質(zhì)。7.2實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析在前面討論的周期信號(hào)中，當(dāng)周期 8時(shí)，周期信號(hào)就轉(zhuǎn)化為非周期信號(hào)。當(dāng)周期8時(shí)，周期信號(hào)的各次諧波幅度及譜線間隔將趨近于無窮小，但頻譜的相對(duì)性狀保持不變。這樣，原來由許多譜線組成的周期信號(hào)的離散頻譜就會(huì)連成一片，形成非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。為了有效地分析非周期信號(hào)的頻率特性，我們引入了傅里葉變換分析法。信號(hào)的傅里葉變換定義為博里葉反變換定義為傅里葉正反變換稱為傅里葉變換對(duì)，簡(jiǎn)記為f(t)F(w)。(7-2)/(￡)=尸：[卜(仞)]=上(7-2)信號(hào)的傅里葉變換主要包括MATLAB符號(hào)運(yùn)算和MATLAB數(shù)值分析兩種方法,下面分別加以探討，同時(shí)，探討了連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜圖。1.MATLAB符號(hào)運(yùn)算求解法MATLAB符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱提供了直接求解傅里葉變換與傅里葉反變換的函數(shù)fourier()及ifourier()。Fourier變換的語句格式分為三種。F=fourier(f):它是符號(hào)函數(shù)f的Fourier變換，默認(rèn)返回是關(guān)于的函數(shù)。F=fourier(f,v):它返回函數(shù)F是關(guān)于符號(hào)對(duì)象v的函數(shù)，而不是默認(rèn)的，及 ^F=fourier(f,u,v):是對(duì)關(guān)于u的函數(shù)f進(jìn)行變換，返回函數(shù)F是關(guān)于v的函數(shù)，即 。值得注意的是，函數(shù)fouier()及ifouier()都是接受由sym函數(shù)所定義的符號(hào)變量或者符號(hào)表達(dá)式。2.連續(xù)時(shí)間信號(hào)的頻譜圖信號(hào)的傅里葉變換表達(dá)了信號(hào)在處的頻譜密度分布的情況，這就是信號(hào)的傅里葉變換的物理含義。 一般是復(fù)函數(shù)，可以表示為 。我們把 與曲線分別成為非周期信號(hào)的幅度頻譜和相位頻譜，它們都是頻率的連續(xù)函數(shù)，在形狀上與相應(yīng)的周期信號(hào)頻譜包絡(luò)線相同。非周期信號(hào)的頻譜有兩個(gè)特點(diǎn)，密度譜和連續(xù)譜。我們注意到，采用fourier()和ifourier()得到的返回函數(shù)，仍然是符號(hào)表達(dá)式。若需對(duì)返回函數(shù)作圖，則需應(yīng)用ezplot()繪圖命令?！緦?shí)例7-4］用MATLAB命令求圖7-2所示三角脈沖的傅里葉變換，并畫出其幅度譜。解：該三角脈沖是實(shí)偶函數(shù)，因此傅里 />\葉變換也為實(shí)偶變換，相位譜為0。圖中所"40| 4T示三角脈沖信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 圖-角假時(shí)二號(hào)MATLAB源程序?yàn)?gt;>ft=sym('(t+4)/2*heaviside(t+4)-t*heaviside(t)+(t-4)/2*heaviside(t-4)')；>>Fw=simplify(fourier(ft))Fw=(2*sin(2*w)八2)/w八2>>Fw_conj=conj(Fw);>>Gw=sqrt(Fw*Fw_conj);>>ezplot(Gw,[-pipi]),gridon上述程序首先用sym函數(shù)定義三角脈沖信號(hào)，然后進(jìn)行傅里葉變換得到。通過函數(shù)Fw_conj=conj(Fw)可求得傅里葉變換的共軛函數(shù)，Gw=sqrt(Fw*Fw_conj)是將共軛函數(shù)與函數(shù)本身相乘得到模平方函數(shù)，再將模平方函數(shù)進(jìn)行開方從而得到幅度值。在求幅度譜時(shí)，F(xiàn)w_conj=conj(Fw)和Gw=sqrt(Fw*Fw_conj)也可利用MATLAB中abs函數(shù)方便地得到同樣的結(jié)果。因此，MATLAB程序?yàn)?gt;>ft=sym('(t+4)/2*heaviside(t+4)-t*heaviside(t)+(t-4)/2*heaviside(t-4)');>>Fw=simplify(fourier(ft))；>>ezplot(abs(Fw),[-pipi]),gridon三角脈沖信號(hào)的頻譜圖如退7-3所示圖7-3三角脈沖信號(hào)的幅度頻譜【實(shí)例7-5】已知調(diào)制信號(hào)，用MATLAB命令求其頻譜。解：取 ，A=4， 一，其頻譜如圖 所示。MATLAB源程序?yàn)?gt;>ft=sym('4*cos(2*pi*6*t)*(heaviside(t+1/4)-heaviside(t-1/4))');>>Fw=simplify(fourier(ft))Fw=(8*w*sin(w/4))/(-w八2+144*pi八2)>>subplot(121)>>ezplot(ft,[-0.50.5]),gridon>>subplot(122)>>ezplot(abs(Fw),[-24*pi24*pi]),gridon圖7-4調(diào)制信號(hào)及其頻譜傅里葉變換的性質(zhì)包含了豐富的物理含義，并且揭示了信號(hào)的時(shí)域和頻域的關(guān)系。熟悉這些性質(zhì)成為信號(hào)分析研究工作中最重要的內(nèi)容之一。線性性質(zhì)設(shè)a,b為常數(shù)，則位移性質(zhì)設(shè)如°0為實(shí)常數(shù)，則[f(t-1)]=ej°0F(°); (時(shí)移性質(zhì))0-i[F(°-°)]=ej°0f(t).(頻移性質(zhì))0時(shí)移性質(zhì)表明：當(dāng)一個(gè)信號(hào)沿時(shí)間軸移動(dòng)后，各頻率成份的大小不發(fā)生改變，但相位發(fā)生變化；頻移性質(zhì)則被用來進(jìn)行頻譜搬移，這一技術(shù)在通信系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。相似性質(zhì)設(shè)a為非零常數(shù)，則 ——相似性質(zhì)表明，若信號(hào)被壓縮(a>1),則其頻譜被擴(kuò)展；若信號(hào)被擴(kuò)展(a<1),則其頻譜被壓縮。事實(shí)上，在對(duì)矩形脈沖函數(shù)的頻譜分析中已知，脈沖越窄，則其頻譜(主瓣)越寬；脈沖越寬，則其頻譜(主瓣)越窄。相似性質(zhì)正好體現(xiàn)了脈沖寬度與頻帶寬度之間的反比關(guān)系。微分性質(zhì)若 11:即()=0, [fit)]=g(3).一般地，若 WMt=件=0，1，2, ，〃—D貝IJ[f(n)(t)]=(jgF0).積分性質(zhì)若 則 -7.3編程練習(xí)1.試用MATLAB命令求下列信號(hào)的傅里葉變換，并繪制出其幅度譜和相位譜。⑴——解：MATLAB源程序?yàn)椋?gt;>ft=sym('(sin(pi*t)/(pi*t))八2');>>Fw=simplify(fourier(ft))Fw=heaviside(2*pi-w)-heaviside(-2*pi-w)-(w*(heaviside(-2*pi-w)-2*heaviside(-w)+heaviside(2*pi-w)))/(2*pi)>>subplot(211)>>ezplot(abs(Fw),[-pipi]),gridon>>title('幅度譜')

>>phase=atan(imag(Fw)/real(Fw));>>subplot(212)>>ezplot(phase),gridon>>title('相位譜')程序運(yùn)行后如圖7-5所示圖7-53.試用程序運(yùn)行后如圖7-5所示圖7-53.試用MATLAB數(shù)值計(jì)算法求圖7-8所示信號(hào)的傅里葉變換，并畫出其頻譜圖。解：該信號(hào)是實(shí)偶函數(shù)，因此傅里葉變換也是實(shí)偶函數(shù)，相位譜為0.圖中所示三角波脈 圖7*己訕猶號(hào)波形沖信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為MATLAB源程序?yàn)?gt;>dt=0.01;>>t=-4:dt:4;>>f1=(t+2>=0);>>f2=(t+1>=0);>>f3=(t-1>=0);>>f4=(t-2>=0);>>ft=(t+2).*f1-(t+1).*f2-(t-1).*f3-(t-2).*f4;>>N=2000;>>k=-N:N;>>W=pi*k/(N*dt);>>F=dt*ft*exp(-j*t'*W);>>F=abs(F);>>plot(W,F),gridon>>axis([-pipi-19])>>xlabel(‘w’),ylabel(‘F(w)’)>>title('幅度譜')程序運(yùn)行結(jié)果如圖7-9所示圖7-9第8章連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的頻率特性

及頻域分析8.1實(shí)驗(yàn)?學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB分析連續(xù)系統(tǒng)的頻率特性?學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB進(jìn)行連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析8.2實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析一個(gè)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型通常用常系數(shù)線性微分方程來描述，即對(duì)上式兩邊■傅里噸變換氣并根據(jù)傅單葉變雌的時(shí)域微分特性，得ndtn 1dt 0 mdtm 1dt 0定義b(j①)m+b(j①)m-1++b(j①)+b可見①是兩個(gè)^)〃的多項(xiàng)式之比。嘉中，)分母與分子多項(xiàng)式的系數(shù)分別是微分方程左邊與郵編相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)。 成為系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，也成為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)頻率響應(yīng)或頻率特性。一般系統(tǒng)頻率響應(yīng) 是的復(fù)函數(shù)?？杀硎緸槠渲?，| |成為系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性，簡(jiǎn)稱為幅頻響應(yīng)或幅頻特性； 成為系統(tǒng)的相頻響應(yīng)特性，簡(jiǎn)稱相頻響應(yīng)或相頻特性。系統(tǒng)的只與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)無關(guān)，因此它是表征系統(tǒng)特性的一個(gè)重要參數(shù)。MATLAB信號(hào)處理工具箱中提供的freqs函數(shù)課直接計(jì)算系統(tǒng)的頻率響應(yīng)的數(shù)值解，其語句格式為其中，b,a分別表示 的分子分母系數(shù)向量；w為系統(tǒng)頻率響應(yīng)的頻率范圍，其一般形式為w1:p:w2?！緦?shí)例8-4］設(shè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 ，若外加激勵(lì)信號(hào)為5cos(t)+2cos(10t),用MATLAB命令求其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：分別求信號(hào)5cos(t)與信號(hào)2cos(10t)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)H(1)=—— ，H(10)= -MATLAB源程序?yàn)?gt;>t=0:0.1:20;>>w1=1;>>w2=10;>>H1=1/(-w1八2+j*3*w1+2);>>H2=1/(-w2八2+j*3*w2+2);>>f=5*cos(t)+2*cos(10*t);>>y=abs(H1)*cos(w1*t+angle(H1))+abs(H2)*cos(w2*t+angle(H2));>>subplot(211);>>plot(t,f);gridon>>ylabel('f(t)'),xlabel('Time(s)')>>title('輸入信號(hào)的波形')>>subplot(212);>>plot(t,y);gridon>>ylabel('y(t)'),xlabel('Time(s)')>>title('穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的波形')程序運(yùn)行結(jié)果如圖8-7所示。圖8-7實(shí)例8-4的輸入信號(hào)及其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)從圖中可以看出，信號(hào)通過該系統(tǒng)后，其高頻分量衰減較大，說明該系統(tǒng)是低通濾波器。8.3編程練習(xí)2.已知系統(tǒng)微分方程和激勵(lì)信號(hào)如下，試用MATLAB命令求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。(2)——一 一解：系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 MATLAB源程序?yàn)椋?gt;>t=0:0.1:20;>>w1=2;>>w2=5;>>H1=(-j*w1+2)/(-w1八2+j*2*w1+3);>>H2=(-j*w2+2)/(-w2八2+j*2*w2+3);>>y=abs(H1)*cos(w1*t+angle(H1))+abs(H2)*cos(w2*t+angle(H2));>>subplot(211);>>plot(t,f);gridon>>ylabel('f(t)'),xlabel('Time(s)')>>title('輸入信號(hào)的波形')>>subplot(212);>>plot(t,y);gridon>>ylabel('y(t)'),xlabel('Time(s)')>>title('穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的波形')程序運(yùn)行結(jié)果如圖8-8所示。從圖中可以看出，信號(hào)通過該系統(tǒng)后，其高頻分量衰減較大，說明該系統(tǒng)是低通濾波器。圖8-8第9章信號(hào)抽樣及抽樣定理9.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康?學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB完成信號(hào)抽樣及對(duì)抽樣信號(hào)的頻譜分析；?學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB改變抽樣間隔，觀察抽樣后信號(hào)的頻譜分析；?學(xué)會(huì)運(yùn)用MATLAB對(duì)抽樣后的信號(hào)進(jìn)行重建。9.2實(shí)驗(yàn)原理及實(shí)例分析信號(hào)抽樣是連續(xù)時(shí)間信號(hào)分析向離散時(shí)間信號(hào)分析、連續(xù)信號(hào)處理向數(shù)字信號(hào)處理的第一步，廣泛應(yīng)用于實(shí)際的各類系統(tǒng)巾。所謂信號(hào)抽樣，電稱為取樣或采樣，就是利用抽樣脈沖序列p(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中抽取一系列的離散樣值，通過抽樣過程得到的離散樣值信號(hào)稱為抽樣信號(hào)，用表示。從數(shù)學(xué)上講，抽樣過程就是抽樣脈沖p(t)和原連續(xù)信號(hào)f(t)相乘的過程，即因此，可以用傅里葉變換的頻域卷積性質(zhì)來求抽樣信號(hào) 的頻譜。常用的抽樣脈沖序列p(t)有周期矩形脈沖序列和周期沖激脈沖序列。假設(shè)原連續(xù)信號(hào)f(t)的頻譜為 ，即 ；抽樣脈沖p(t)是一個(gè)周期信號(hào)，它的頻譜為其中， —為抽樣角頻率，為抽樣間隔。因此，抽樣信號(hào) 的頻譜為即上式表明，信號(hào)在時(shí)域被抽樣后，它的頻譜是原連續(xù)信號(hào)的頻譜以抽樣角頻率為間隔周期的延拓，即信號(hào)在時(shí)域抽樣或離散化，相當(dāng)于頻域周期化。在頻譜的周期重復(fù)過程中，其頻譜幅度受抽樣脈沖序列的傅里葉系數(shù)加權(quán)，即梭加權(quán)。假?zèng)]抽樣信號(hào)為周期沖激脈沖序列，則因此，沖激脈沖序列抽樣后信號(hào)的頻譜為可以看出， 是以 為周期等幅地重復(fù)?！緦?shí)例91】已知升余弦脈沖信號(hào)為用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)該信號(hào)經(jīng)沖激脈沖抽樣后得到的抽樣信號(hào) 及其頻譜。解:參數(shù)E=1、 ，則- 。當(dāng)采用抽樣間隔時(shí)，MATLAB源程序?yàn)椋?gt;>Ts=1;>>dt=0.01;>>t1=-4:dt:4;>>f1=(t1+pi>=0);>>f2=(t1-pi>=0);>>ft=((1+cos(t1))/2).*(f1-f2);>>subplot(221);>>plot(t1,ft),gridon>>axis([-44-0.11.1])>>xlabel('Time(sec)'),ylabel('f(t)')>>title('升余弦脈沖信號(hào)')>>N=500;>>k=-N:N;>>W=pi*k/(N*dt);>>Fw=dt*ft*exp(-j*t1'*W);>>subplot(222)>>plot(W,abs(Fw)),gridon>>axis([-1010-0.21.1*pi])>>xlabel('\omega'),ylabel('F(w)')>>title('升余弦脈沖信號(hào)的頻譜')>>t2=-4:Ts:4;>>f3=(t2+pi>=0);>>f4=(t2-pi>=0);>>fst=((1+cos(t2))/2).*(f3-f4);>>subplot(223)>>plot(t1,ft,':'),holdon>>stem(t2,fst),gridon>>axis([-44-0.11.1])>>xlabel('Time(sec)'),ylabel('fs(t)')>>title('抽樣后的信號(hào)'),holdoff>>Fsw=Ts*fst*exp(-j*t2'*W);>>subplot(224)>>plot(W,abs(Fsw));gridon>>axis([-1010-0.21.1*pi])>>xlabel('\omega'),ylabel('Fs(w)')>>title('抽樣信號(hào)的頻譜')程序運(yùn)行結(jié)果如圖9-1所示。圖9-1升余弦脈沖信號(hào)經(jīng)抽樣后的頻譜比較很明顯升余弦脈沖信號(hào)的頻譜在抽樣后發(fā)生了周期延拓，頻域上該周期為 。若f(t)是帶限信號(hào)，帶寬為，則信號(hào)f(t)可以用等間隔的抽樣值來唯一表示。f(t)經(jīng)抽樣后的頻譜 就是將f(t)的頻譜F(在頻率軸上以抽樣頻率為間隔進(jìn)行周期延拓。因此，當(dāng) 時(shí)，或者抽樣間隔 一一時(shí)，周期延拓后頻譜 不會(huì)發(fā)生頻率混疊；當(dāng) 時(shí)，周期延拓后頻譜 將發(fā)生頻率混疊。通常把滿足抽樣定理的最低抽樣頻率 一—稱為奈奎斯特頻率，把最大允許的抽樣間隔-—稱為奈奎斯特間隔。【實(shí)例9-2】試用實(shí)例9-1來驗(yàn)證抽樣定理。解:實(shí)例9-1中升余弦脈沖信號(hào)的頻譜大部分集中在—之間，設(shè)其截止頻率為 _，帶入?yún)?shù)可得 ，因而奈奎斯特間隔—_。在實(shí)例9-1的MATLAB程序中，可通過修改的值得到不同的結(jié)果。例如，取，可得到奈奎特斯間隔臨界抽樣時(shí)，抽樣信號(hào)的頻譜情況，如圖9-2所示。取 ，可得到低抽樣頻率時(shí)，抽樣信號(hào)的頻譜情況，如圖9-3所示。從中可以看出，由于抽樣間隔大于奈奎斯特間隔，產(chǎn)生了較為嚴(yán)重的頻譜混疊現(xiàn)象。圖9-2臨界抽樣時(shí)抽樣信號(hào)頻譜比較

圖9-2低抽樣率時(shí)抽樣信號(hào)頻譜比較及頻率混疊9.2.3信號(hào)重建抽樣定理表明，當(dāng)抽樣間隔小雨奈奎斯特間隔是，可用抽樣信號(hào)惟一地表示原信號(hào)f(t),即信號(hào)的重建。為了從頻譜中無失真地恢復(fù)原信號(hào)，可采用截止頻率為 的理想低通濾波器。【實(shí)例9-3】對(duì)實(shí)例9-1中升余弦脈沖信號(hào)，假設(shè)其截止頻率，抽樣間隔 ，采用截止頻率 的低通濾波器對(duì)抽樣信號(hào)濾波后重建信號(hào)f(t)，并計(jì)算重建信號(hào)與原升余弦脈沖信號(hào)的絕對(duì)誤差。解：MATLAB源程序?yàn)?gt;>wm=2;>>wc=1.2*wm;>>Ts=1;>>n=-100:1:100;>>nTs=n*Ts;>>u1=(nTs+pi>=0);>>u2=(nTs-pi>=0);>>fs=((1+cos(nTs))/2).*(u1-u2);>>t=-4:0.1:4;>>ft=fs*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));>>t1=-4:0.1:4;>>u3=(t1+pi>=0);>>u4=(t1-pi>=0);>>f1=((1+cos(t1))/2).*(u3-u4);>>subplot(311);>>plot(t1,f1,':'),holdon>>stem(nTs,fs),gridon>>axis([-44-0.11.1])>>xlabel('nTs'),ylabel('f(nTs)')>>title('抽樣間隔Ts=1時(shí)的抽樣信號(hào)f(nTs)')>>holdoff

>>subplot(312);>>plot(t,ft),gridon>>axis([-44-0.11.1])>>xlabel('t'),ylabel('f(t)')>>title('由f(nTs)信號(hào)重建得到的升余弦脈沖信號(hào)')>>error=abs(ft-f1);>>subplot(313);>>plot(t,error),gridon>>xlabel('t'),ylabel('error(t)')>>title('重建信號(hào)與原升余弦脈沖信號(hào)的絕對(duì)誤差')運(yùn)行結(jié)果如圖9-4所示。-3-2-1 0 12 3-4 -3 -2 -1 0 12 3 4nTs重建信號(hào)與原升余弦'脈沖信號(hào)的絕對(duì)誤差-3-2-1 0 12 3-4 -3 -2 -1 0 12 3 4nTs重建信號(hào)與原升余弦'脈沖信號(hào)的絕對(duì)誤差圖9-4抽樣信號(hào)的重建及誤差分析抽樣間隔Ts=1時(shí)的抽樣信號(hào)f[nTs) L i■■i 「 : 一4冬―--' -■■■「-二= r ■ 1 1111 T 從圖9-4中可知，重建后的信號(hào)與原升余弦脈沖信號(hào)的誤差在以內(nèi)，這是因?yàn)楫?dāng)選取升余弦脈沖信號(hào)帶寬 時(shí)，實(shí)際上已經(jīng)將很少的高頻分量忽略了?！緦?shí)例9-4］如果將實(shí)例9-3中抽樣間隔修改為 ，低通濾波器的截止頻率修改為 ，那么，按照實(shí)例9-2的分析將會(huì)產(chǎn)生頻率混疊，則重建的信號(hào)與原來的升余弦脈沖信號(hào)相比也會(huì)產(chǎn)生較大失真。按要求修改上述MATLAB程序，并分析失真的誤差。解：MATLAB源程序?yàn)?gt;>wm=2;>>wc=wm;>>Ts=2;>>n=-100:1:100;>>nTs=n*Ts;>>u1=(nTs+pi>=0);>>u2=(nTs-pi>=0);>>fs=((1+cos(nTs))/2).*(u1-u2);>>t=-4:0.1:4;>>ft=fs*Ts*wc/pi*sinc((wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t))));>>t1=-4:0.1:4;>>u3=(t1+pi>=0);>>u4=(t1-pi>=0);>>f1=((1+cos(t1))/2).*(u3-u4);>>subplot(311);>>plot(t1,f1,':'),holdon>>stem(nTs,fs),gridon>>axis([-44-0.11.1])>>xlabel('nTs'),ylabel('f(nTs)')>>title('抽樣間隔Ts=2時(shí)的抽樣信號(hào)f(nTs)')>>holdoff>>subplot(312);>>plot(t,ft),gridon>>axis([-44-0.11.3])>>xlabel('t'),ylabel('f(t)')>>title('由f(nTs)信號(hào)重建得到的升余弦脈沖信號(hào)')>>error=abs(ft-f1);>>subplot(313);>>plot(t,error),gridon>>xlabel('t'),ylabel('error(t)')>>title('重建信號(hào)與原升余弦脈沖信號(hào)的絕對(duì)誤差')程序運(yùn)行結(jié)果如圖9-5所示圖9-5反映了信號(hào)不滿足抽樣定理時(shí)，即抽樣間隔大于奈奎斯特間隔的情況下信號(hào)的重建。與升余弦信號(hào)做比較克發(fā)現(xiàn)有較大的失真產(chǎn)生，且絕對(duì)誤差十分明顯。圖9-5不滿足抽樣定理?xiàng)l件的信號(hào)的重建9.3編程練習(xí)1.設(shè)有三個(gè)不同頻率的正弦信號(hào)，頻率分別為 ，, 。現(xiàn)在用抽樣頻率 對(duì)三個(gè)正弦信號(hào)進(jìn)行抽樣，用MATLAB命令畫出各抽樣信號(hào)的波形及其頻譜，并分析其頻率混疊現(xiàn)象。解:(1)對(duì)于頻率為 的正弦信號(hào)MATLAB源程序?yàn)?gt;>Ts=0.00025;>>dt=0.0001;>>t1=-0.005:dt:0.005;>>u1=(t1+pi>=0);>>u2=(t1-pi>=0);>>ft=(sin(200*pi*t1).*(u1-u2));>>subplot(221);>>plot(t1,ft),gridon>>axis([-0.0050.005-1.11.1])>>title('100Hz正弦脈沖信號(hào)的頻譜')>>title('100Hz正弦脈沖信號(hào)')>>k=-N:N;>>W=pi*k/(N*dt);>>Fw=dt*ft*exp(-j*t1'*W);>>subplot(222);>>plot(W,abs(Fw));gridon>>axis([-30003000-0.00010.006])>>xlabel('\omega'),ylabel('F(w)')>>title('100Hz正弦脈沖信號(hào)的頻譜')>>t2=-0.005:Ts:0.005;>>f3=(t2+pi>=0);>>f4=(t2-pi>=0);>>fst=(sin(200*pi*t2)).*(f3-f4);>>subplot(223);>>plot(t1,ft,':'),holdon>>stem(t2,fst),gridon>>axis([-0.0050.005-1.11.1])>>xlabel('Time(sec)'),ylabel('fs(t)')>>Fsw=Ts*fst*exp(-j*t2'*W);>>subplot(224);>>plot(W,abs(Fw));gridon>>axis([-30003000-0.00010.006])>>xlabel('\omega'),ylabel('Fs(w)')>>title('抽樣信號(hào)的頻譜')程序運(yùn)行結(jié)果如圖9-6所示。圖9-6的正弦信號(hào)⑵對(duì)于頻率為MATLAB源程序?yàn)?Ts=O.00025;?dt=0.00005;?tl=-0.0025:dt:0.0025;?ul=(tl+pi>=0);?u2=(tl-pi>=0);?ft=(sin(400*pi*tl).*(ul-u2));?subplot(221);?plot(tl,ft),gridon?axis([-0.00250.0025-1.11.1])?title('200Hz正弦脈沖信號(hào)')?N=500;?k=-N:N;?W=pi*k/(N*dt);?Fw=dt*ft*exp(-j*tl'*W);?subplot(222);?plot(W,abs(Fw));gridon>>axis([-60006000-0.00010.003])>>xlabel('\omega'),ylabel('F(w)')>>title('200Hz正弦脈沖信號(hào)的頻譜')>>t2=-0.0025:Ts:0.0025;>>f3=(t2+pi>=0);>>f4=(t2-pi>=0);>>fst=(sin(400*pi*t2)).*(f3-f4);>>subplot(223);>>plot(t1,ft,':'),holdon>>stem(t2,fst),gridon>>axis([-0.00250.0025-1.11.1])>>xlabel('Time(sec)'),ylabel('fs(t)')>>Fsw=Ts*fst*exp(-j*t2'*W);>>subplot(224);>>plot(W,abs(Fsw));gridon>>axis([-60006000-0.00010.003])>>xlabel('\omega'),ylabel('Fs(w)')

>>title（'抽樣信號(hào)的頻譜'）程序運(yùn)行結(jié)果如圖9-7所示。圖9-7對(duì)于頻率為 的正弦信號(hào)MATLAB源程序?yàn)?gt;>Ts=0.00025;>>dt=0.0000003;>>t1=-0.00015:dt:0.00015;>>u1=(t1+pi>=0);>>u2=(t1-pi>=0);>>ft=(sin(7600*pi*t1).*(u1-u2));>>subplot(221);>>plot(t1,ft),gridon>>axis([-0.000150.000151.1-1.1])>>title('3800Hz正弦脈沖信號(hào)')>>N=500;>>k=-N:N;>>W=pi*k/(N*dt);>>Fw=dt*ft*exp(-j*t1'*W);>>su