元考試試題及答案

江西理工大學(xué)研究生考試試卷20__12__-20__13__學(xué)年第___一___學(xué)期課程名稱： 有限兀及數(shù)值模擬 考試時(shí)間:___2012___年—_11__月___3___日考試性質(zhì)（正考、補(bǔ)考或其它）:［正考］考試方式（開(kāi)卷、閉卷）：［開(kāi)卷］試卷類別（A、B）:［A］ 共九大題溫馨提示請(qǐng)考生自覺(jué)遵守考試紀(jì)律，爭(zhēng)做文明誠(chéng)信的大學(xué)生。如有違犯考試紀(jì)律，將嚴(yán)格按照《江西理工大學(xué)學(xué)生違紀(jì)處分規(guī)定》（試行）處理。學(xué)院專業(yè)學(xué)號(hào)姓名題號(hào)一二三四五六七八九十十一十總 分得分簡(jiǎn)答題（共40分，每題10分）論述單元?jiǎng)澐謶?yīng)遵循的原則。說(shuō)明形函數(shù)應(yīng)滿足的條件。說(shuō)明四邊形等參數(shù)單元中“等參數(shù)”的含義，即為什么要引入等參數(shù)單元。闡述邊界元法的主要優(yōu)缺點(diǎn)。二、計(jì)算題（共60分，每題20分）一桿件如圖3所示，桿件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已知：桿件材料的楊氏模量E1=E2=3.0X107lbf/in2，截面積氣=5.25仍2，A=3.75仍2，長(zhǎng)度L1=L2=12in，集中力P=100lbf，用有限元方法求解B點(diǎn)和C點(diǎn)位移。備注：（1）1lbf（磅力，libraforce）=4.45N。（2）楊氏模量、彈性模量、Young氏彈性模量具有相同含義（10分）力作用，厚度t=1m，載荷F=20KN/m，設(shè)分布。（15分）如圖2所示，有一正方形薄板，避對(duì)角承受壓,泊松比u=0，材料的彈性模量為力作用，厚度t=1m，載荷F=20KN/m，設(shè)分布。（15分）圖示結(jié)點(diǎn)三角形單元的124邊作用有均布側(cè)壓力q,單元厚度為t,求單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載。圖3一、簡(jiǎn)答題答：1） 合理安排單元網(wǎng)格的疏密分布2） 為突出重要部位的單元二次劃分3） 劃分單元的個(gè)數(shù)4） 單元形狀的合理性5） 不同材料界面處及荷載突變點(diǎn)、支承點(diǎn)的單元?jiǎng)澐?） 曲線邊界的處理，應(yīng)盡可能減小幾何誤差7） 充分利用結(jié)構(gòu)及載荷的對(duì)稱性，以減少計(jì)算量答：形函數(shù)應(yīng)滿足的三個(gè)條件：必須能反映單元的剛體位移，就是位移模式應(yīng)反映與本單元形變無(wú)關(guān)的由其它單元形變所引起的位移。能反映單元的常量應(yīng)變，所謂常量應(yīng)變，就是與坐標(biāo)位置無(wú)關(guān)，單元內(nèi)所有點(diǎn)都具有相同的應(yīng)變。當(dāng)單元尺寸取小時(shí)，則單元中各點(diǎn)的應(yīng)變趨于相等，也就是單元的形變趨于均勻，因而常量應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要部分。盡可能反映位移連續(xù)性；盡可能反映單元之間位移的連續(xù)性，即相鄰單元位移協(xié)調(diào)。答：含義：所謂的等參數(shù)單元，就是在確定單元形狀的插值函數(shù)和確定單元位移場(chǎng)的插值函數(shù)中采用了完全相同的形函數(shù)。意義：構(gòu)造出一些曲邊地高精度單元，以便在給定地精度下，用數(shù)目較少地單元，解決工程實(shí)際地具體問(wèn)題。答：有限單元法是基于變分原理的里茲（Ritz）法的另一種形式，從而使里茲法分析的所有理論基礎(chǔ)都適用子有限單元法，確認(rèn)了有限單元法是處理連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題的一種普遍方法.利用變分原理建立有限元方程和經(jīng)典里茲法的主要區(qū)別是有限單元法假設(shè)的近似函數(shù)不是在全求解域而是在單元上規(guī)定的，面且事先不要求滿足任何邊界條件，因此它可以用來(lái)處理很復(fù)雜的連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題。有限單元法中所利用的主要是伽遼金（Galerkin）法。它可以用于已經(jīng)知道問(wèn)題的微分方程和邊界條件，但變分的泛函尚未找到或者根本不存在的情況，因而進(jìn)一步擴(kuò)大了有限單元法的應(yīng)用領(lǐng)域。

三十多年來(lái)，有限單元法的應(yīng)用已由彈性力學(xué)平面問(wèn)題擴(kuò)展到空間問(wèn)題、板殼問(wèn)題，由靜力平衡問(wèn)題擴(kuò)展到穩(wěn)定問(wèn)題、動(dòng)力問(wèn)題和波動(dòng)問(wèn)題。分析的對(duì)象從彈性材料擴(kuò)展到塑性、粘彈性、粘塑性和復(fù)合材料等，從固體力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)、傳熱學(xué)等連續(xù)介質(zhì)力學(xué)領(lǐng)域。在工程分析中的作用已從分析和校核擴(kuò)展到優(yōu)化設(shè)計(jì)并和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù)相結(jié)合。可以預(yù)計(jì)，隨著現(xiàn)代力學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)等學(xué)科的發(fā)展，有限單元法作為一個(gè)具有鞏固理論基礎(chǔ)和廣泛應(yīng)用效力的數(shù)值分析工具，必將在國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)和科學(xué)技術(shù)發(fā)展中發(fā)揮更大的作用，其自身亦將得到進(jìn)一步的發(fā)展和完善。三、計(jì)算題1.解：將桿件分解成兩個(gè)元素，元素1的剛度矩陣K「A"E】=13.125x106Ibf/in，i元素2的剛度矩陣K2二AxE三十多年來(lái)，有限單元法的應(yīng)用已由彈性力學(xué)平面問(wèn)題擴(kuò)展到空間問(wèn)題、板殼問(wèn)題，由靜力平衡問(wèn)題擴(kuò)展到穩(wěn)定問(wèn)題、動(dòng)力問(wèn)題和波動(dòng)問(wèn)題。分析的對(duì)象從彈性材料擴(kuò)展到塑性、粘彈性、粘塑性和復(fù)合材料等，從固體力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)、傳熱學(xué)等連續(xù)介質(zhì)力學(xué)領(lǐng)域。在工程分析中的作用已從分析和校核擴(kuò)展到優(yōu)化設(shè)計(jì)并和計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù)相結(jié)合。可以預(yù)計(jì)，隨著現(xiàn)代力學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)等學(xué)科的發(fā)展，有限單元法作為一個(gè)具有鞏固理論基礎(chǔ)和廣泛應(yīng)用效力的數(shù)值分析工具，必將在國(guó)民經(jīng)濟(jì)建設(shè)和科學(xué)技術(shù)發(fā)展中發(fā)揮更大的作用，其自身亦將得到進(jìn)一步的發(fā)展和完善。三、計(jì)算題1.解：將桿件分解成兩個(gè)元素，元素1的剛度矩陣K「A"E】=13.125x106Ibf/in，i元素2的剛度矩陣K2二AxE一--=9.375x106Ibf/in2總剛度矩陣單元?jiǎng)偠染仃囆纬珊?，?yīng)將各單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝集合成整體剛度矩陣（即總剛矩陣）。如所示為桿系結(jié)構(gòu)兩單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)示意圖，可得總剛度矩陣為kkG)120kG)kG)+k(2)kG)2122 220k(2)32k(2)K=2333」圖3-3桿系結(jié)構(gòu)兩單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)示意圖引入邊界條件求解節(jié)點(diǎn)位移總剛矩陣K］組集完成后即可獲得整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程為(3-11)*IF2l3)整個(gè)結(jié)構(gòu)的邊界條件為"1l11——l101——l11一+―12———l21——l12T2■t1uI3」(3-12)F2、F3已知，三個(gè)未知量三個(gè)方程因此上式可求得唯一解。解出節(jié)點(diǎn)位移:

U1=0U1=0u「0.762X10-5inu「0.18295X10-4in2.解：（1）建立需要計(jì)算的力學(xué)模型以及劃分單元由于該結(jié)構(gòu)幾何對(duì)稱和受載也對(duì)稱，故可利用其對(duì)稱性，只需要取薄板的1/4作為計(jì)算對(duì)象。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們把它劃分成4個(gè)三角形單元，單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖（b）所示。由于對(duì)稱，節(jié)點(diǎn)1，2,4,不可能有水平位移，節(jié)點(diǎn)4,5,6不可能有垂直位移，故施加約束如圖（b）所示。圖兩類單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)取總體x,j坐標(biāo)并確定各節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值。由圖看出，這里只有兩類不同的單元，一類單元是1，2,4,另一類單元是3。兩類單元節(jié)點(diǎn)的編排如圖所示。單元1，單元節(jié)點(diǎn)編排對(duì)應(yīng)于結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)編號(hào)1，2,3。三個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)如下:x=1m，代入得:bi=Jj_Jm=0;bj=Jm—Ji=—1;bm=Ji—Jj=1ci=xm—xj=1;cj=xi—xm=—1;cm=xj—xi=0三角形面積:單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)以及單元和節(jié)點(diǎn)的編號(hào)是原始數(shù)據(jù)，可用手工輸入，也可由計(jì)算機(jī)完成。以及各單元的面積。對(duì)于單元2,3,4定出單元節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值后，同樣可算出，以及各單元的面積。（2）計(jì)算個(gè)單元的剛度矩陣洋及組集成總剛K由于t=1m，h=0，所以于是由式可求得單元?jiǎng)偠染仃嚍橥砜傻脝卧?,4的剛度矩陣分別為~k2k2k2一k4k4k4222425333536e=k2k2k2,ke=k4k4k424244454535556k2k2k2k4k4k4L525455一L636566」由于1,2,4單元算出的氣,七…等值以及三角形面積均相同，故算出2,4的單元?jiǎng)偠染仃嚺c單元1的剛度矩陣數(shù)值完全相同。單元3的節(jié)點(diǎn)i,j,m相應(yīng)于總體編號(hào)中的2,5,3點(diǎn)，其節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)為由此得：從而算出單元?jiǎng)偠染仃嚍椋焊鶕?jù)各單元?jiǎng)偠染仃嚱M集成總剛度矩陣K］為由以上結(jié)果求得總剛度矩陣各元素為把上面計(jì)算出的k］］，???，k66對(duì)號(hào)入座放到總剛矩陣K］中去，于是得到K］的具體表達(dá)式。計(jì)算并代入等效節(jié)點(diǎn)載荷及相應(yīng)的位移邊界條件，以建立和求解未知節(jié)點(diǎn)位移的平衡方程組。先求出各項(xiàng)等效節(jié)點(diǎn)載荷然后疊加，以形成方程組右端載荷項(xiàng)，但本問(wèn)題只在節(jié)點(diǎn)1有一個(gè)集中外載荷R.=10kN/m(取F=20kN/m的一半)。由結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，可以看出u=u=u=V=V=V=0。于是需要求的未知節(jié)點(diǎn)位移1 2 4 4 5 6分量只有6個(gè)，即V，V，u，V，u。代入邊界條件及外載荷以及支反力后，其方程組1 2 3 3 5為把左端系數(shù)矩陣行列倒換，于是可分塊求解。第二種辦法是把帶有支反力的方程去掉，即把系數(shù)矩陣中的第1，3,7,8,10,12行和列劃掉，得出帶有6個(gè)未知位移的方程式：解此方程組即得到位置節(jié)點(diǎn)位移分量。由上方程組求得位移分量如下：求單元應(yīng)力分量求出節(jié)點(diǎn)位移分量后，就可以按式計(jì)算單元中的應(yīng)力。我們略去初應(yīng)變g,于是有0對(duì)于單元1,2,4：對(duì)于單元3：注意到u=u=u=V=V5=V=0，最后可求得各單元的應(yīng)力為如圖所示標(biāo)出了各個(gè)單元的應(yīng)力值，而且在單元內(nèi)是不變的，這就說(shuō)明了是一近似解。在單元交界處，應(yīng)力值有突變，這就可以看出，如將單元分得很細(xì)，則突變減小，其結(jié)果將會(huì)改善。計(jì)算后的各單元應(yīng)力3.解:N=L(2L-1)；N=L(2L-1)；N=L(2L-1)；1 1 1 2 2 2在三角形142邊上L=0；33 3 3可得N=N=N=0，6N4=4LL；N=4LL；23*3X522因此有：N=4LL；6 31在三角形142邊上建立局部坐標(biāo)系如圖:1,，節(jié)%在局部坐標(biāo)系下的形函數(shù)為：2獲；q)4=G-頊+&)；其中,I其中,I1qt(p=—qlt；-i 1 611qZtpHg=2qlt；-i 4 3/