量子力學-18講-自旋糾纏態(tài)

20、量子糾纏一、自旋態(tài)與自旋波函數二、雙電子體系的自旋態(tài)三、可分離態(tài)與糾纏態(tài)30、量子糾纏有兩個相反方向、速率相同的電子，即使一顆行至太陽邊，一顆行至冥王星，如此遙遠的距離下，它們仍保有特別的關聯性；亦即當其中一顆

作（例如量子測量）而狀態(tài)發(fā)生變化，另一顆也會即刻發(fā)生相應的狀態(tài)變化。如此現象導致了“鬼魅似的遠距作用”，仿佛兩顆電子擁有超光速的

通信。返4一、自旋態(tài)與自旋波函數(1)1221

1

(r)

2

(r)

sz

0

(r)

2

(r,sz

)。自旋變量sz只取/2兩個值，

(r,sz

)可以用一個列向量來表示

1

(r)

電子以一定的概率處于/

2或

/

2自旋態(tài)/

2自旋態(tài)

0

，－/2自旋態(tài)

sz考慮自旋后，穩(wěn)態(tài)下電子的波函數為一、自旋態(tài)與自旋波函數(2)11

21

(r)

(r)

2

,一般

(r)

(r)通常，軌道與自旋的耦合能量很小，忽略不計的話，有

(r,

sz

)

(r)

(sz

)(r)

a

(r)

2

z

(r,

s

)

zz

(r,

s

)

z

(r)

(s

)

b

其中，

(s

)

a

自旋函數

(r)

b

考慮自旋后，穩(wěn)態(tài)下電子的波函數6一、自旋態(tài)與自旋波函數(3)1221222122

(1 0)

0

0

1

z

(r,

s

)

z

(r)

(s

)z

1

b

0

1

z

z

1

0

a

(r)

1

12

(r)

(r)

b

2

自旋函數

(s

)

a

a

1

b

0

a

b

0

1

1

，

S?

的屬于本征值s

+的本征函數,

S?z的屬于本征值sz

的本征函數它們彼此是正交的：

一、自旋態(tài)與自旋波函數(4)1221xy

1

0

1

1

,

0

0

i

,

1

0

x

10

y

i

0

z

01

01

1

0

0

0

1

0i

0

i

1

i

i0

1

0

1

，

0

,泡里矩陣例1：證明

x

,

x

,

y

i

,

y

i

,

z

,

z

證：

返同理可證另外兩式8二、雙電子體系的自旋態(tài)(1)j氦原子有兩個電子，自旋角動量分別為s1和s2，分屬兩個電子，涉及不同的

度， [s1

j

,

s2k

]

0,

j,

k

x,

y,

z令S

s1

+s2為兩個電子的自旋之和,則有[Sx

,

Sy

]

i

Sz

,[Sy

,

Sz

]

i

Sx

,[Sz

,

Sx

]

i

Sy證：[Sx

,Sy

][s1x

s2

x

,s1y

s2

y

][s1x

,s1y

][s2

x

,s2

y

]

i s1z

i

s2

z

i

(s1z

s2

z

)

i

Sz

.同理可證另兩式設S2

S

2

S

2

S

2

,則[S2

,

S

]

0,

j

x,

y,

zx

y

z

j習題：證明[S2

,

S

]

0,

j

x,

y,

z二、雙電子體系的自旋態(tài)(2)[s1z

,s2

z

]

0,選(s1z

,s2

z

)為自旋力學量完全集，求其共同本征態(tài)。記

(1),

(1)

s1z的本征態(tài)，

(2),

(2)

s2

z的本征態(tài)，則(s1z

,s2

z

)的共同本征態(tài)為：1

(1)

(2),

2

(1)

(2),

3

(1)

(2),

4

(1)

(2)910二、雙原子體系的自旋態(tài)(3)s1z

(1)

/

2

(1),

s1z1

s1z

(1)

(2)s2

z

(2)

s2

z1

s2

z

(1)

(2)

(1)s2

z

(2)為什么

1

(1)

(2),

2

(1)

(2),

3

(1)

(2),

4

(1)

(2)是(s1z

,s2

z

)的共同本征態(tài)？以1為例

/2

(1)

(2)

/21

1是s1z的本征態(tài)又/2

(2),且s2

z對

(1)不起作用

(1)/2

(2)

/21

1是s2

z的本征態(tài)1是s1z和s2

z的共同本征態(tài)11二、雙原子體系的自旋態(tài)(4)同時，(s1z,s2

z

)的共同本征態(tài)1

(1)

(2),

2

(1)

(2),

3

(1)

(2),

4

(1)

(2)也是Sz

s1z

s2

z的本征態(tài)：Sz1

(s1z

s2

z

)

(1)

(2)

s1z

(1)

(2)

s2

z

(1)

(2)

(1)

(2)

(1)

(2)

(1)

(2)

2

2

11是Sz屬于本征值的本征態(tài).同理，

2

,

3

,

4是Sz屬于本征值-,0,0的本征態(tài)2 2 2421x

2

x

1

y

2

y1z

2

z(

)

3

3

14

121 2 1 2 1 2二、雙原子體系的自旋態(tài)(5)1

(1)

(2),

2

(1)

(2),

3

(1)

(2),

4

(1)

(2)是(s1z

,s2

z

)的共同本征態(tài)，也是Sz

s1z

s2

z屬于本征值

，-

,

0,

0的本征態(tài)。[S2

,

S

]

0,(S2

,

S

)也可選為自旋力學量完全集z

z其共同本征態(tài)=？S2

(s

s

)2

s2

s2

2s

s2221121x

2

x1y

2

y1z

2

z1x

2

x1y

2

y1z

2

z(3

)(3

)

(1)

(2)S

二、雙原子體系的自旋態(tài)(6)2211z

2

z(3

1x

2

x

1

y

2

y

)

(1)

(2)22[3

(1)

(2)

(1)

(2)

i

(1)i

(2)122122

(1)

(2)]

2

2

(1)

(2)

212由例1，

x

,

x

,

y

i

,

y

i

,

z

,

z

,可得12(2)

2S

S

S

(1)S2

2

2

,同理可得S2

21

1

2222

(1)

(2)

(1)

(2)S

(1)

(2)

214二、雙原子體系的自旋態(tài)(7)2122

2221

1

22

3

423421

3

2

42

2S2

(s1z

,s2

z

)的共同本征態(tài)為：1

(1)

(2),

2

(1)

(2),

3

(1)

(2),

4

(1)

(2)其中，

和都是S

屬于本征值2

2的本征態(tài)，即S

,

S

2

，但

和

都不是S

的本征態(tài)。不過，

和的線性組合是否為S

的本征態(tài)？令

c

c

即

c1

(1)

(2)

c2

(1)

(2)檢驗是否滿足二、雙原子體系的自旋態(tài)(8)22

1 2222212(3

1x

2

x

1y

2

y

1z

2

z

),

x

,

x

,

y

i

,

y

i

,

z

,

z

S2

1)(3

1x

2

x

1y

2

y

1z

2

z2[c1

(1)

(2)

c2

(1)

(2)]S2

1

312

2[c1

(1)

(2)

c2

(1)

(2)]

S

c

(1)

(2)

c

(1)

(2),檢驗{c

(1)

(2)c2

(1)

(2)

c1i

(1)[i

(2)]

c2[i

(1)]i

(2)c1

(1)[

(2)]

c2[

(1)]

(2)}16二、雙原子體系的自旋態(tài)(9)221 2 121 222

(2)]2

(2)][(c

c

)

(1)

(2)

(c

c

)

(1)

0S

c

(1)

(2)

c

(1)

(2),

檢驗1 2左邊=S2

右邊

2

[c

(1)

(2)

c

(1)c

(1-)c

0

1左邊=右邊

(1-)c1

c2

0

1-

11-

1得到

1

0,

2

22

2

c1

c22

,1

0

c1

c2

,歸一化，c1

c2

117二、雙原子體系的自旋態(tài)(10)21

22

2222

12

S

c

(1)

(2)

c

(1)

(2),檢驗得到

1

0

c1

c2

1

2

2

2

c1

c2

1

21

[

(1)

(2)

(1)

(2)],(S2本征值為0）

[

(1)

(2)

(1)

(2)],(S2本征值為22）若令

S

(S

1)

2

,

S2

S

(S

1)

S2本征值為0

S

0S

本征值為2

S

1二、雙原子體系的自旋態(tài)(11)

0

z

1

z2S

2

1S[

(1)

(2)

(1)

(2)],(S

1,

M

=0）S

1

[

(1)

(2)

(1)

(2)],(S

0,

M

=0)

1

s

= ,

0

s

=-

,2

2引入量子數MS

,

代表

(1)

(2)等項中自旋變量sz的值.則S2

S

(S

1)

2

,

有四種形式S

S2

(1)

(2)

2

2

(1)

(2)

S

1,

M

=1以前得到S2

(1)

(2)

2

2

(1)

(2)

S

1,

M

=-1，sz

=sz1+sz

219二、雙原子體系的自旋態(tài)(12)記

j

,

j

1

4為(S

,

Sz

)的共同本征態(tài)2自旋三重態(tài)：1

(1)

(2)23

(1)

(2)4S

1

MS

=1S

1

MS

=0S

1

MS

=-1

1

(2)][

(1)

(2)

(1)22

1

[

(1)

(2)

(1)

(2)]SS

0

M

=0自旋單態(tài)：返20三、可分離態(tài)與糾纏態(tài)(1)(s1z

,s2

z

)的共同本征態(tài)為：1

(1)

(2),

2

(1)

(2),

3

(1)

(2),

4

(1)

(2)21z

12324(S

,

S

)的共同本征態(tài):

(1)

(2)

,22

1

[

(1)

(2)

(1)