直線方程的五種形式

關(guān)于直線方程的五種形式第1頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五復(fù)習(xí)1、直線的傾斜角范圍？2、如何求直線的斜率？3、在直角坐標(biāo)系內(nèi)如何確定一條直線？答（1）已知兩點(diǎn)可以確定一條直線。（2）已知直線上的一點(diǎn)和直線的傾斜角（斜率）可以確定一條直線。第2頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五1、過點(diǎn)，斜率為的直線上的每一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程（1）。（1）——

直線方程的點(diǎn)斜式（1）直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解（滿足方程）（2）方程的任意一個(gè)解是直線上點(diǎn)的坐標(biāo)注：點(diǎn)斜式適用范圍：斜率k存在直線和方程的關(guān)系第3頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五1、當(dāng)直線的傾斜角為零度時(shí)（圖2）tan0=0,即k=0.這時(shí)直線的方程就是特屬情況2、當(dāng)直線的傾斜角為時(shí),直線沒有斜率這時(shí)直線與y軸平行或重合，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示。但因直線上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于(圖3），所以它的方程是oxy圖2oyx圖3第4頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五例1直線經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角，求直線的點(diǎn)斜式方程第5頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五課堂練習(xí)：1.寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)A(3,－1)，斜率是（2）經(jīng)過點(diǎn)B(,2)，傾斜角是30°；（3）經(jīng)過點(diǎn)C(0,3)，傾斜角是0°；（4）經(jīng)過點(diǎn)D(－4,－2)，傾斜角是120°.2.填空題：（1）已知直線的點(diǎn)斜式方程是y－2=x－1，那么此直線的斜率是__________,傾斜角是_____________.（2）已知直線的點(diǎn)斜式方程是y＋2=(x＋1)，那么此直線的斜率是__________,傾斜角是_____________.第6頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五lyOxP0(0,b)直線經(jīng)過點(diǎn)，且斜率為的點(diǎn)斜式方程？斜率在y軸的截距探索【注意】適用范圍：斜率K存在——直線的斜截式方程

第7頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五

y=kx+b

——直線方程的斜截式.OyxP(0,b)截距與距離不一樣，截距可正、可零、可負(fù),而距離不能為負(fù)。思考2：截距與距離一樣嗎？第8頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五練習(xí)：寫出下列直線的斜率和在y軸上的截距：第9頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五例2:直線l的傾斜角＝60o，且l在y軸上的截距為3，求直線l的斜截式方程。第10頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五練習(xí):寫出下列直線的斜截式方程。（1）斜率是，在y軸上的截距是-2；（2）斜率是-2，在y軸上的截距是4；答案：答案：第11頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五2.兩點(diǎn)式:已知直線經(jīng)過點(diǎn)和(≠)求直線的方程.

這個(gè)方程是由直線上兩點(diǎn)確定的，叫做直線方程的兩點(diǎn)式。第12頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五例：求經(jīng)過兩點(diǎn)P（a,0）,Q(0,b)的直線l方程

截距式:這個(gè)方程是由直線在x軸和y軸的截距式確定的,叫做直線方程的截距式

.第13頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五

例2.已知直線在x軸和y軸上的截距分別是2和3，求直線的方程。第14頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五溫故知新復(fù)習(xí)回顧①指明直線方程幾種形式的應(yīng)用范圍.點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0=k（x－x0）斜截式y(tǒng)=kx+b兩點(diǎn)式截距式第15頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五

5.一般式:關(guān)于x和y的一次方程都表示一條直線.我們把方程

Ax+By+C=0(其中A、B不全為零)叫做直線方程的一般式.第16頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五練習(xí)求下列直線方程。1.經(jīng)過點(diǎn)A(2,5),斜率是4;2.經(jīng)過兩點(diǎn)M(2,1)和N(0,-3);3..經(jīng)過兩點(diǎn)M(0,5)和N(5,0)4..經(jīng)過M(6,-4),-4/3為斜率的直線的一般方程5已知直線l的方程為第17頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五5、已知直線經(jīng)過點(diǎn)A（4,-3），斜率為-2\3求直線的點(diǎn)斜式方程，并化為一般式方程.6、已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(-3，0)，B(2，-2),C(0，1)求這個(gè)三角形三邊各自所在直線的方程。第18頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五說明

直線的斜率的正負(fù)確定直線通過的象限.當(dāng)斜率大于0時(shí)當(dāng)斜率小于0時(shí)y=kx+b(k>0,b>0)y=xy=kx+b(k>0,b<0)yxoy=kx+b(k<0,b>0y=-xy=kx+b(k<0,b<0yxo第19頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五課堂練習(xí)第20頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五課堂練習(xí)：1.直線ax+by+c=0，當(dāng)ab<0,bc<0時(shí)，此直線不通過的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.兩條直線2x-y+k=0和4x-2y+1=0的位置關(guān)系是()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.平行或重合DD第21頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五3.若直線(m+2)x+(2-m)y=2m在x軸上的截距為3，則m的值是_____-64、直線Ax+By+C=0通過第一、二、四象限，則（）(A)A·B>0,A·C>0(B)A·B>0,A·C<0(C)A·B<0,A·C>0(D)A·B<0,A·C<0B第22頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五例2、設(shè)直線l的方程為（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根據(jù)下列條件確定m的值：（1）l在X軸上的截距是-3；（2）斜率是-1.第23頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五1、直線l過點(diǎn)A（1,2）且不過第四象限，那么l的斜率的取值范圍為———A、【1,2】B[0，1]C[0，1\2]D[0，1\2]2、若過點(diǎn)p(1-a,1+a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為——3、已知三點(diǎn)A（2，-3）B（4，3）C(5,k\2),在同一條直線上，則k的值為————4、已知A(1,1),B(3,5)C(a,7),D(-1,b)四點(diǎn)在同一條直線上，求直線的斜率k以及a,b的值。3、已知點(diǎn)A(2,-3),B(-3,-2),直線l過點(diǎn)P(3,1)且與線段AB相交，求直線l的斜率的取值范圍。(-2,1)12K=2,a=4,b=-3【1\2,4】第24頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五[-1,1][450,1350]第25頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五定點(diǎn)問題1，直線y=k(x-2)+3必過定點(diǎn)————2，第26頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五1、若過點(diǎn)P（-1,-3）的直線l與y軸的正半軸沒有公共點(diǎn)，求直線L的斜率2、設(shè)線L的方程為（a+1）x+y+2-a=01)若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程2）若直線l不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍3、一束光線從點(diǎn)A（-2,3）射入，經(jīng)x軸上點(diǎn)P反射，通過點(diǎn)B(5,7),求點(diǎn)P的坐標(biāo)第27頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五3、A,B兩廠距離一條小河分別為400m和100m，A,B兩廠之間的距離為500m,把一條小河看成一條直線，今在小河邊建一座提水站，供A,B兩廠用水，要使提水站到A,B兩廠鋪設(shè)的水管長度之和最小，提水站應(yīng)建在什么地方？第28頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五1、若直線（2t-3）x+y+6=0不經(jīng)過第一象限，則t的取值范圍為——2、經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線方程有——條33、已知三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1，2),B(3，6),C(5，2),M為A,B的中點(diǎn)，N為A,C的中點(diǎn)，則中位線MN所在的直線方程為——2x+y-8=04、設(shè)點(diǎn)A（4,0），B(0，2),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，1）求xy的最大值。2）在1）中xy取最大值的前提下，是否存在過點(diǎn)P的直線L，使得L與兩坐標(biāo)軸的截距相等？若存在，求L的方程，不存在，說明理由P(2,1)x-2y=0,x+y-3=0第29頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五求直線與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形面積和周長1、求斜率為3\4,且與坐標(biāo)軸圍成的三角形周長為12的直線方程2、已知一條直線過點(diǎn)A（-2,2）并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，求此直線方程。第30頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五1、設(shè)A、B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且│PA│=│PB│，若直線PA的方程為x-y+1=0，則直線PB的方程是—x+y-5=02、求過點(diǎn)A(5,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線方程3、已知直線L:1）若直線的斜率是2，求m的值2）若直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成三角形的面積最大，求此直線的方程第31頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五已知直線的方程分別為:

如何用系數(shù)表示兩條直線的平行與垂直的位置關(guān)系?思考題:第32頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五例3、已知直線試討論：（1）的條件是什么？（2）的條件是什么？第33頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五練習(xí)1、判斷下列各對(duì)直線是否平行或垂直：第34頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五數(shù)學(xué)之美：鞏固練習(xí)：1.下列方程表示直線的什么式？傾斜角各為多少度？1)2)3)

2.方程表示()A)通過點(diǎn)的所有直線；

B）通過點(diǎn)的所有直線；

C）通過點(diǎn)且不垂直于x軸的所有直線；

D）通過點(diǎn)且去除x軸的所有直線.C第35頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五①過點(diǎn)(2,1)且平行于x軸的直線方程為___②過點(diǎn)(2,1)且平行于y軸的直線方程為___③過點(diǎn)(2,1)且過原點(diǎn)的直線方程為___思維拓展1第36頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五（4）一直線過點(diǎn)，其傾斜角等于直線

的傾斜角的2倍，求直線的方程.第37頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五拓展2:①過點(diǎn)(1,1)且與直線y＝2x＋7平行的直線方程為______②過點(diǎn)(1,1)且與直線y＝2x＋7垂直的直線

方程為______第38頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五小結(jié)：直線方程名稱已知條件直線方程使用范圍點(diǎn)斜式斜截式斜率k和直線在y軸上的截距點(diǎn)和斜率k斜率必須存在斜率不存在時(shí)，第39頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五3.2.2

直線的兩點(diǎn)式方程第40頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五xylP2(x2，y2)P1(x1，y1)探究：已知直線上兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)（x1≠x2,y1≠y2

），求通過這兩點(diǎn)的直線方程？【注意】當(dāng)直線沒斜率或斜率為0時(shí)，不能用兩點(diǎn)式來表示；第41頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五1.求經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的兩點(diǎn)式方程，再化斜截式方程.(1)P(2，1)，Q(0，-3)(2)A(0，5)，B(5，0)(3)C(-4，-5)，D(0，0)課堂練習(xí)：方法小結(jié)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求直線方程的方法：①用兩點(diǎn)式②先求出斜率k，再用點(diǎn)斜式。第42頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五截距式方程xylA(a，0)截距式方程B(0，b)代入兩點(diǎn)式方程得化簡得橫截距縱截距【適用范圍】截距式適用于橫、縱截距都存在且都不為0的直線.橫截距——與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)縱截距——與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)第43頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五2.根據(jù)下列條件求直線方程（1）在x軸上的截距為2，在y軸上的截距是3；（2）在x軸上的截距為-5，在y軸上的截距是6；由截距式得：整理得：由截距式得：整理得：第44頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五求過(1,2)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距相等的直線?解:y=2x(與x軸和y軸的截距都為0)即：a=3把(1,2)代入得：設(shè)直線的方程為:2)當(dāng)兩截距都等于0時(shí)1)當(dāng)兩截距都不為0時(shí)第45頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五解：三條

變：過(1,2)并且在兩個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有幾條?解得：a=b=3或a=-b=-1直線方程為：y+x-3=0、y-x-1=0或y=2x設(shè)對(duì)截距概念的深刻理解

【變】：過(1,2)并且在y軸上的截距是x軸上的截距的2倍的直線是（）A、x+y-3=0

B、x+y-3=0或y=2xC、2x+y-4=0

D、2x+y-4=0或y=2x第46頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五名稱

條件方程適用范圍

小結(jié)點(diǎn)P(x0,y0)和斜率k點(diǎn)斜式斜截式兩點(diǎn)式截距式斜率k,y軸上的縱截距b在x軸上的截距a在y軸上的截距bP1(x1,y1),P2(x2,y2)有斜率有斜率不垂直于x、y軸的直線不垂直于x、y軸，且不過原點(diǎn)的直線第47頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五斜截式截距式點(diǎn)斜式應(yīng)用范圍直線方程已知條件方程名稱（三）課堂小結(jié)兩點(diǎn)式存在斜率k存在斜率k不包括垂直于坐標(biāo)軸的直線不包括垂直于x,y坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線【注】所求直線方程結(jié)果最終化簡為一般式的形式

Ax+By+C=0第48頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五中點(diǎn)坐標(biāo)公式xyA(x1，y1)B(x2，y2)中點(diǎn)第49頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五例2、三角形的頂點(diǎn)是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2)，求BC邊所在直線的方程?xyOCBA....M變式1:BC邊上垂直平分線所在直線的方程?變式2:BC邊上高所在直線的方程?3x-5y+15=03x-5y-7=0第50頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五練習(xí)：第51頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五數(shù)形結(jié)合與對(duì)稱的靈活應(yīng)用已知直線l:x-2y+8=0和兩點(diǎn)A(2,0)、B(-2,-4)（1）求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)（2）在直線l是求一點(diǎn)P，使|PA|+|PB|最?。?）在直線l是求一點(diǎn)Q，使|

|QA|-|QB||最大A(2,0)A1(x,y)GB(-2,-4)PA(2,0)QB(-2,-4)(-2,8)(-2,3)(12,10)第52頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五數(shù)形結(jié)合與對(duì)稱的靈活應(yīng)用已知一條光線從點(diǎn)A(2，-1)發(fā)出、經(jīng)x軸反射后，通過點(diǎn)B(-2,-4)，與x軸交與點(diǎn)P，試求點(diǎn)P坐標(biāo)A(2,-1)(x,0)B(-2,-4)P變：已知兩點(diǎn)A(2，-1)、B(-2,-4)試在x軸上求一點(diǎn)P，使|PA|+|PB|最小變：試在x軸上求一點(diǎn)P，使|PB|-|PA|最大第53頁，共63頁，2022年，5月20日，13點(diǎn)23分，星期五2.根據(jù)下列條件求直線方