圓與方程知識點的總結(jié)典型例題

%%與方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-a)2+(y一b)2=r2.特例：圓心在坐標(biāo)原點，半徑為r的圓的方程是：x2+y2=r2.點與圓的位置關(guān)系：.設(shè)點到圓心的距離為d,圓半徑為r：a.點在圓內(nèi)33dVr；b.點在圓上33d=r；c.點在圓外33d>r.給定點M(x0,y0)及圓C:(x一a)2+(y一b)2=r2.M在圓C內(nèi)O(x-a)2+(y一b)2<r200M在圓C上O(x0-a)2+(y0-b)2=r2M在圓C外O(x-a)2+(y-b)2>r2003)涉及最值：②，半徑r=，半徑r=D2+E2-4F23.圓的一般方程：X2+y2+Dx+Ey+F=0.DE⑴當(dāng)D2+E2—4F〉0時，方程表示一個圓，其中圓心C--，--\d〉r0直線與圓相離d〉r0直線與圓相離0無交點；d=r0直線與圓相切0只有一個交點；d<r0直線與圓相交0有兩個交點；弦長|AB|=2"2-d2(DE、⑵當(dāng)D2+E2—4F=0時，方程表示一個點-一，-一.I22丿⑶當(dāng)-2+E2—4F<0時，方程不表示任何圖形.注：方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是：B=0且A=C豐0且D2+E2—4AF0.4.直線與圓的位置關(guān)系：5.直線Ax+By+C=0與圓(x-a)2+(y-b)2=r2圓心到直線的距離d=血+B"+C\A2+B2IAx+By+C=0還可以利用直線方程與圓的方程聯(lián)立方程組｛求解，通過解Ix2+y2+Dx+Ey+F=0的個數(shù)來判斷：當(dāng)A>0時，直線與圓有2個交點，，直線與圓相交；當(dāng)A=0時，直線與圓只有1個交點，直線與圓相切;當(dāng)A<0時，直線與圓沒有交點，直線與圓相離;兩圓的位置關(guān)系(1)設(shè)兩圓C:(X-a)2+(y一b)2=r2與圓C:(x-a)2+(y一b)2=r2,11112222圓心距d=\：(a—a)2+(b—b)2'1212d>r+ro外離o4條公切線；12d=r+ro外切o3條公切線；12|r—r|<d<r+ro相交O2條公切線；1212④d=|r—r|o內(nèi)切o1條公切線；0<d<|r一rIo內(nèi)含o無公切線；12圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0，1111圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0，2222則（D一D）x+（E一E）y+（F一F）=0為兩相交圓公共弦方程.121212補充說明:①|(zhì)若C與C相切，則表示其中一條公切線方程；②12若C與C相離，則表示連心線的中垂線方程.12圓系問題過兩圓C:x2+y2+Dx+Ey+F=0和C:x2+y2+Dx+Ey+F=0交點的圓系11112222程x2+y2+Dx+Ey+F+九Cx2+y2+Dx+Ey+F)=0(九鼻一1)111222補充：上述圓系不包括C2；②③;2)當(dāng)九=-1時，表示過兩圓交點的直線方程(公共弦)④⑤過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F二0交點的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+X(Ax+By+C)=0過一點作圓的切線的方程：過圓外一點的切線：k不存在，驗證是否成立k存在，設(shè)點斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，即》y1-yo=k(x1-%)<R|b-y廠k(a-xR=i、VR2+1求解k,得到切線方程【一定兩解】例1.經(jīng)過點P(1，—2)點作圓(x+1)2+(y—2)2=4的切線，則切線方程為。過圓上一點的切線方程：圓(x—a)2+(y一切2=門，圓上一點為(x0,y0)，則過此點的切線方程為(x0—a)(x一a)+(y0一b)(y一b)=r特別地，過圓x2+y2=r2上一點P(xo,yo)的切線方程為xox+yoy=r2.例2?經(jīng)過點P(—4，—8)點作圓(x+7)2+(y+8)2=9的切線，則切線方程為。7．切點弦⑴過。C：(x—a)2+(y—b)2=r2外一點P(x,y)作0C的兩條切線，切點分別為A、B,00則切點弦AB所在直線方程為：(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r2008.切線長：若圓的方程為(Xa)2(yb)2=r2,則過圓外一點P(x0ly0)的切線長為d=才(x—a)2+(y—b)2—r2?*圓心的三個重要幾何性質(zhì)：圓心在過切點且與切線垂直的直線上；圓心在某一條弦的中垂線上；兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線。#兩個圓相交的公共弦長及公共弦所在的直線方程的求法例.已知圓q：X2+y2—2x=0和圓C2：X2+y2+4y=0,試判斷圓和位置關(guān)系，若相交，則設(shè)其交點為A、B,試求出它們的公共弦AB的方程及公共弦長。】一、求圓的方程例i(06重慶卷文)以點(2,—1)為圓心且與直線3x―4y+5=0相切的圓的方程為()(A)(x—2)2+(y+1)2=3(B)(x+2)2+(y—1)2=3(C)(x—2)2+(y+1)2二9(D)(x+2)2+(y—1)2二9二、位置關(guān)系問題(例2(06安徽卷文)直線x+y=1與圓x2+y2—2ay二°(a>°)沒有公共點，則a的取值范圍是()(A)(°,邁—1)⑻(邁—1,"+1)

（C）（-邁-1八2+1）（D）（0,邁+1）三、切線問題例3（06重慶卷理）過坐標(biāo)原點且與圓x2+y2—4x+2y+-=0相切的直線方程為（）1x3（1x3（C）y=-3x或y=-3x（A）y=-3x或y=⑻y=3x或y=-（D）y=3x或y=/四、弦長問題例4（06天津卷理）設(shè)直線ax一y+3=0與圓（x一1）-+（y一2）2二4相交于A、B兩點，且弦AB的長為2亡3，則a二五、夾角問題TOC\o"1-5"\h\z例5（06全國卷一文）從圓x2一2x+y2一2y+1=0外一點P（3,2）向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為（）@133（A）2（B）5（C）?。―）0六、圓心角問題例6（06全國卷二）過點（1人2）的直線1將圓（x―2）2+y2二4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對的圓心角最小時，直線1的斜率k=七、最值問題？例7（06湖南卷文）圓x2+y2―4x―4y―10二0上的點到直線x+y―14=0的最大距離與最小距離的差是（）（A）30（B）18（C）6y2（D）5/2八、綜合問題(2)(2)||例8（06湖南卷理）若圓x2+y2一4x一4y一10二0上至少有三個不同的點到直線1:ax+b=0的距離為2J5，則直線1的斜率k取值范圍圓的方程1?方程X2+y2—2（t+3）x+2（1—4t2）y+16t4+9=0（t^R）表示圓方程，貝址的取值范圍是11A.—i<tA.—i<t<7B.—1<t<C.—<t<1B.1<t<2C.7<t<1<t<22.一圓與y軸相切，圓心在直線x—3y=0上，且直線尸x截圓所得弦長為2鋁，求此圓的方程.3?方程X2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2—4F>0）表示的曲線關(guān)于x+y=0成軸對稱圖形，則（）+E=0B.+F=0+F=0D.D+E+F=04.（2004年全國II，8）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點A（1，2）距離為1，且與點B（3，1）距離為2的直線共有（）條條條條5.?6.（2005年黃岡市調(diào)研題）圓x2+y2+x—6y+3=0上兩點P、Q關(guān)于直線kx—y+4=0對稱，則6.k=.（2004年全國卷III，16）設(shè)P為圓x2+y2=1上的動點，則點P到直線3x—4y—10=0的距離的最小值為.y已知實數(shù)x、y滿足方程x2+y2—4x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）y—x的最小值；xxx2+y2的最大值和最小值.經(jīng)過兩已知圓的交點的圓系例1．例2求經(jīng)過兩已知圓：x2+y2一4x一6=0和x2+y2一4y一6=0的交點且圓心的橫坐標(biāo)為3的圓的方程。|例2．設(shè)圓方程為：（九/r/