數(shù)學(xué)七年級(jí)上：有理數(shù)的運(yùn)算 教案

有理數(shù)的運(yùn)算一.教學(xué)內(nèi)容：

有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及混合運(yùn)算

二.重點(diǎn)、難點(diǎn)：1.理解乘方的意義，掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及混合運(yùn)算。2.理解有理數(shù)的運(yùn)算律，并能運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算。

三.知識(shí)要點(diǎn)1.有理數(shù)的乘法（1）有理數(shù)乘法法則：a）兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。b）任何數(shù)同0相乘，都得0。［注意］：①對(duì)于多個(gè)有理數(shù)相乘，由有理數(shù)的乘法法則可以推出：a）幾個(gè)不等于0的數(shù)相乘，積的符號(hào)由負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)決定。當(dāng)負(fù)因數(shù)有奇數(shù)個(gè)時(shí)，積為負(fù)；當(dāng)負(fù)因數(shù)有偶數(shù)個(gè)時(shí)，積為正。即確定符號(hào)后把絕對(duì)值相乘。b）幾個(gè)數(shù)相乘，有一個(gè)因數(shù)為0，積就為0。②在含有加減乘除的算式中，沒有括號(hào)指明運(yùn)算順序時(shí)，要先算乘除，后算加減。③乘號(hào)的三種形式“×”，“·”，“省略不寫”。對(duì)“·”和“省略不寫”只能在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候用。如：“5×4”可以寫成“5·4”但不能寫為“54”；“1×”不能寫成“1”。（2）有理數(shù)乘法運(yùn)算律a）交換律：b）結(jié)合律：c）分配律：［注意］：在使用分配律時(shí)，乘時(shí)一定要帶著符號(hào)乘。如：2.有理數(shù)的除法（1）有理數(shù)除法法則：除以一個(gè)數(shù)等于乘上這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即a÷b=a×（b≠0）。有理數(shù)的除法可以化成有理數(shù)的乘法，所以有理數(shù)的除法有與乘法類似的法則：a）兩數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。b）0除以任何一個(gè)不等于0的數(shù)，都得0。［注意］：除法是乘法的逆運(yùn)算，在a×b=c中，如果已知乘數(shù)c和一個(gè)因數(shù)b求另一個(gè)因數(shù)a，或已知乘數(shù)c和一個(gè)因數(shù)a求另一個(gè)因數(shù)b的運(yùn)算都是除法。（2）倒數(shù)在有理數(shù)范圍內(nèi)，我們也把乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫作互為倒數(shù)。如：－2與－互為倒數(shù)，因?yàn)椋?×（－）=1。由倒數(shù)的定義可知，一個(gè)正數(shù)的倒數(shù)仍是正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)的倒數(shù)仍是負(fù)數(shù)，0沒有倒數(shù)。0為什么沒有倒數(shù)呢？0沒有倒數(shù)的原因有兩個(gè)：①若0能作除數(shù)，有=b（a≠0），則有0×b=a，這樣的b不存在。②若=b（a=0），則有0×b=a，作為商b不唯一確定。所以0不能作除數(shù)，也就沒有倒數(shù)。3.有理數(shù)的乘方（1）乘方一般地，幾個(gè)相同的因數(shù)a相乘，即a×a×a×…×a，記作an。這種求n個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算，叫做乘方。（2）冪乘方的結(jié)果叫做冪。在an中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)，an讀作a的n次方。an看作是a的n次方的結(jié)果時(shí)，也可讀作a的n次冪。如：（－5）2，底數(shù)是－5，指數(shù)是2，（－5）2=25，讀作－5的二次方或－5的二次冪。［注意］：①一個(gè)數(shù)可以看作這個(gè)數(shù)本身的一次方。例如，5就是51，指數(shù)1通常略去不寫。②二次方也叫平方，三次方也叫立方。由22=4，（－2）2=4，02=0可知“一個(gè)數(shù)的平方是一個(gè)非負(fù)數(shù)。”要注意（－2）4≠－24，，32≠3×2，32≠23，（2×3）2≠2×32③由乘法法則可知：a）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；b）負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。（3）科學(xué)記數(shù)法一般地，一個(gè)大于10的數(shù)可以寫成的形式，這種記數(shù)法稱為科學(xué)記數(shù)法。4.有理數(shù)的混合運(yùn)算有理數(shù)的混合運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減。若有括號(hào)，先算括號(hào)里面的。

【典型例題】例1.計(jì)算=

分析：－1的奇次方為－1，－1的偶次方則為它的相反數(shù)1；0的任何次方都為0。解：原式=1+（－1）+1+0=1

例2.若規(guī)定一種運(yùn)算“*”：，如，，那么的值等于

解：

例3.根據(jù)二十四點(diǎn)算法，現(xiàn)有四個(gè)數(shù)3，4，－6，10，每個(gè)數(shù)用且只用一次進(jìn)行加減乘除，使其結(jié)果等于24，則列式為

解：（答案不唯一）

例4.計(jì)算①

②分析：先確定符號(hào)。①小題有三個(gè)負(fù)因數(shù)相乘積為負(fù)。再利用乘法交換律先計(jì)算的值。②小題把小數(shù)轉(zhuǎn)化為假分?jǐn)?shù)，因數(shù)一正兩負(fù)乘積為正，再統(tǒng)一約分。解：①原式=②原式=

例5.①

②分析：利用分配律進(jìn)行計(jì)算。②小題把化為再利用分配律進(jìn)行計(jì)算。解：①原式=②原式=

例6.計(jì)算：①

②

③分析：③小題可以直接計(jì)算，也可以把寫成24+后利用分配律進(jìn)行計(jì)算。解：①原式=－1+0+6.5=5.5②原式=③原式=

例7.計(jì)算①

②分析：在有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方五種運(yùn)算中，加、減叫作第一級(jí)運(yùn)算，乘、除叫作第二級(jí)運(yùn)算，乘方叫作第三級(jí)運(yùn)算。沒有括號(hào)時(shí)，先做第三級(jí)運(yùn)算，再作第二級(jí)運(yùn)算，最后做第一級(jí)運(yùn)算。在同一級(jí)運(yùn)算中，按照由左到右的順序進(jìn)行。有括號(hào)時(shí)，按照小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)的順序進(jìn)行運(yùn)算。在有理數(shù)的混合運(yùn)算中一定要注意有理數(shù)的運(yùn)算順序。①小題還可以逆用乘法分配律，從而簡(jiǎn)化運(yùn)算。解：①原式==

===或：原式=

=

=

=②原式==

=

例8.計(jì)算

①

②

③

④分析：絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，所以不論是偶次方還是奇次方，結(jié)果都是非負(fù)的，但是不要把絕對(duì)值或者乘方以外的負(fù)號(hào)帶到運(yùn)算里面去。解：①原式=②原式=③原式=④原式=

例9.已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值等于2，試求值。解：由題意，得a+b=0，cd=1，|x|=2，x=2或－2.所以=當(dāng)x=2時(shí)，原式==4－2－1=1；當(dāng)x=－2時(shí)，原式==4－（－2）－1=5。

例10.半徑是10cm，高為30cm的圓柱形水桶中裝滿水，小明先將桶中的水倒?jié)M2個(gè)底面半徑為3cm高為6cm的圓柱形杯子，再把剩下的水倒入長(zhǎng)，寬，高分別為40cm，30cm和20cm的長(zhǎng)方體容器內(nèi)，長(zhǎng)方體容器內(nèi)水的高度大約是多少?（取3，容器厚度不算）解：水桶內(nèi)水的體積為×102×30，倒?jié)M2個(gè)杯子后，剩下的水的體積為：（×102×30－2××32×