湖北省2023屆高三9月起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試卷（附答案）

湖北省2023屆高三(9月)起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁,22題，全卷滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘?！锓悼荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)c寫在試卷、革稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。已知集合4=(-co,l]u[2,+co=1^10-1<x<a+l),若.4UB=R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為(l,2) C.(l,2] D.[l,2]已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=p5i，Mk2l=3 B.4 C.5 D.25已知a,時(shí)是三個(gè)不同的平面,m,幾是兩條不同的直線，下列命題為真命題的是若 〃/3,則a//P B.若m//atn//a,則m//nC.若m.La,幾丄a,則m〃幾 D.若a_Ly丄y,則a丄g已知ae(0,-y),2sin2a=cos2a+1,則sina=A.f B.f C.f D.答已知數(shù)列I是公差不為零的等差數(shù)列，16」為等比數(shù)列，且a,=6,=1,o2=62,a4=奶，設(shè)1=%+如,則數(shù)列Ic」的前10項(xiàng)和為A.1078 B.1068 C.566 D.556數(shù)學(xué)試卷第1頁(共4頁)數(shù)學(xué)試卷第數(shù)學(xué)試卷第頁(共4頁)我國古代名著《張丘建算經(jīng)》中記載:今有方錐下廣二丈，高三丈，欲斬末為方亭，令上方六尺,問亭方幾何？大致意思:冇一個(gè)正四棱錐下底邊長為二*.高三*.現(xiàn)從上面截去?段，使之成為正四棱臺狀方亭，且正四棱臺的上底邊K為六史則該?正四棱臺的體積是(注：1丈=10尺)A.1946立方尺 B.3892立方尺 C.7784立方尺 D.11676立方尺已知a,6,ce(0,l),e是自然對數(shù)的底數(shù)，若招=4e“,財(cái)=3e、2c=e°】n2,則有A.a<b<c li.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b一個(gè)袋子中裝有形狀大小完全相同的4個(gè)小球，其中2個(gè)黑球,2個(gè)白球.第一步:從袋子里隨機(jī)取出2個(gè)球，將取出的白球涂黑后放回袋中,取出的黑球直接放回袋中；第二步:再從袋子里隨機(jī)取出2個(gè)球，計(jì)第二步取出的2個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)為X,則￡(X)=.5 R3 r2 n1Ay ctd-t二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。下列說法正確的是數(shù)據(jù)7,4,2,9,1,5,8,6的第75百分位數(shù)為7若X~N(1,</),P(X>2)=0.2，貝I］P(O<.￥<1)=0.3已知0<P(M)<l,0<P(N)<1,若P(M\N)+P(爾)=1,則 相互獨(dú)立根據(jù)分類變量X與丫的成対樣本數(shù)據(jù).計(jì)算得到/=3.712.依據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)(尬a=3.841),可判斷X與V有關(guān)且犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05已知函數(shù)/(*)=sin(4%+y)+cos(4尤-芝),則A./(x)的最大值為2BJG)在［-壽含］上單調(diào)遞增fM在［0,們上有4個(gè)零點(diǎn)把/3)的圖象向右平移含個(gè)單位K度,得到的圖象關(guān)于直線x=-?對稱已知橢圓C：^+^-=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為入，嗎，位軸長為4,點(diǎn)P0,1)在橢圓。外，點(diǎn)。在橢圓C上，則橢圓C的離心率的取值范圍是(0,#)當(dāng)橢圓C的離心率為亨時(shí)，IQSI的取值范圍是［2-A,2+73］存在點(diǎn)。使得晚?夜=0口?擊+擊的最小值加

函數(shù)/也)及其導(dǎo)函數(shù)/(*)的定義域均為R,且/(%)是奇函數(shù)，設(shè)g3)=/(%),h(x)=/(^-4)+*,則以下結(jié)論正確的有函數(shù)g(x-2)的圖象關(guān)于直線*=-2對稱若g(x)的導(dǎo)函數(shù)為gfM，定義域?yàn)镽,則g，(0)=0h(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(4,4)中心對稱設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，若a】+a2+???+a”=44,則Ma】)+A(a2)+■??+h(au)=44三、 填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分。在A4時(shí)中.Z)是時(shí)邊上的點(diǎn)，且BD=2DC,^AD=xAB+yAC.則x-y= . 已知(2x+y)°展開式中各項(xiàng)系數(shù)和為243,則展開式中的第3項(xiàng)為 ,已知圓C：(*-3)2+(〉-4)2=4,過點(diǎn)/>(3,3)作不過圓心的直線交圓C于4,8兩點(diǎn)，則AABC面積的取值范圍是 .在三棱錐P-ABC中,P4丄底面ABC,PA=4,AB=AC=BC=2a,MAC的中點(diǎn)，球。為三棱錐P-ABM的外接球,。是球。上任一點(diǎn)，若三棱錐D-PAC體積的最大值是4力■，則球0的體積為 .四、 解答題:本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。(10分)巳知數(shù)列前幾項(xiàng)和為S“且%=1,%=?2S_S■(修2).⑴求a」(2)設(shè)bo專,求數(shù)列16」的前幾項(xiàng)和Tu.(12分)如圖.S是圓錐的頂點(diǎn),0是圓錐底面的圓心,其軸截面是正三角形.點(diǎn)丁是SO上一點(diǎn),TO=ySr=l,點(diǎn)4,8是底面圓。上不同的兩點(diǎn)，C是SA的中點(diǎn)，直線BC與圓錐底面所成角0滿足tan。=琴.求證tBOlSA；求二面角A-BT-C的正弦值(12分)在AABC中，內(nèi)角A,B,C滿足2sin小+sin%=2sin2C.(I)求證:tanC=3tan.4；⑵求d/為+金最小值?(12分)設(shè)某種植物幼苗從觀察之日起，笫％天的高度為y(cm),測得的一些數(shù)據(jù)如下表所示：第％度y(cm)0479111213根據(jù)以上數(shù)據(jù)判斷y=bx+a與y=d石+c哪?個(gè)更適宜作為y關(guān)于式的經(jīng)驗(yàn)回歸方程(給出判斷即可，不需說明理由)？根據(jù)(1)的判斷，建立y關(guān)于”的經(jīng)驗(yàn)回歸方程,估計(jì)第100天幼苗的高度(估計(jì)的高度精確到小數(shù)點(diǎn)后第二位)；在作閉的這組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖中」甲同學(xué)隨機(jī)選取其中的4個(gè)點(diǎn)，記這4個(gè)點(diǎn)中幼苗的高度大于"的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為X,其中y為表格中所給的幼苗高度的平均數(shù).試求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:對于-?組數(shù)據(jù)3,為)，3,為)，???，(\九)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程y=^+a的斜,2(^-*).(■-")-nxy率的最小二乘估計(jì)為b= =4 ?￡(伽*)2平■物(12分)已知雙曲線C與雙曲線g-奪=1有相同的漸近線,且過點(diǎn)A(2j2,-1).求雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程；已知0(2,0),E.F是雙曲線C上不同于。的兩點(diǎn),ILDE?DF=Q,DG1EF于C,證明:存在定點(diǎn)〃，使IG〃l為定值.(12分)已知函數(shù)所)=/*一罕(5)占=2.71828???是自然對數(shù)的底數(shù).當(dāng)&=1時(shí)，設(shè)的最小值為求證:求證:當(dāng)kN*時(shí)，/U)N0.2023屆高三(9月)起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題:題號12345678答案DCCBABAD8.【解析】①計(jì)第一步取出兩個(gè)白球?yàn)槭录嗀,則P(A)4P(X=0|A)=l,P(X=l|A)=P(X=2|A)=06計(jì)第一步取出兩球?yàn)橐缓谝话诪槭录﨎,則P(B)=|,P(X=0|B)=|,P(X=1|B)=|,P(X=2|B)=0計(jì)第一步取出兩個(gè)黑球?yàn)槭录﨏,則P(C)4P(X=0|C)=|,P(X=1|C)W，P(X=2|C)Wo o 5 b故由全概率公式，P(X=O)=P(A)P(X=O|A)+P(B)P(X=O|B)+P(C)P(X=O|C)mxiWx黑乂域，o3Zco3o同理P(X=1)Ap(x=2)4 ae(x)4oo 5b L另解：在第一步完成之后，X服從超幾何分布，故E(X)=P(A)-2Xp(B)-2X(C?-2X二、選擇題:題號9101112答案BCACDBCDBCD12.【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及/(x)的對稱性，/'(X)在X和-》處的切線也關(guān)于原點(diǎn)對稱，其斜率總相等，故g(Q=g(-x)，g(x)是偶函數(shù)，g(x-2)對稱軸為x=2,A錯(cuò);由g(x)的對稱性，g(x)在x和-X處的切線關(guān)于縱軸對稱，其斜率互為相反數(shù)，放g'(-x)=-g'(x)，g'(x)為奇函數(shù),又定義域?yàn)镽，g'(0)=0,B對：h(x)=/(x-4)+(x-4)+4.由/(X)為奇函數(shù)知〃(x)=/(x)+x為奇函數(shù)，圖像關(guān)于(0,0)對稱，力(同可以看作由〃(同按向量(4,4)平移而得，故C對:由C選項(xiàng)知，當(dāng)xt+x2=8時(shí)，/z(X|)+/z(x2)=8,由等差數(shù)列性質(zhì)％+%=8,.?.方(《)+方(％)=8,以此類推倒序相加，D正確。三、填空題:13.-| 14.80x3y2 15.(0,73] 16.8困則有即。到平面哄的距離為*因"到平面哄距離【解析】：正ABC中，M為AC的中點(diǎn)，則BM丄AC,而F4丄平面ABC,珈u平面ABC,即丄R4,而PAC\AC=A,PA,AC平面PAC,則丄平而PAC,PMu平面E4C,有丄PM,又PALAB,因此，RtAPW與RtF如的斜邊所中點(diǎn)到點(diǎn)A,B.M,P的距離相等，即三械錐P—ABM外接球球心為中點(diǎn)，從而，點(diǎn)O是三棱錐P-ABM外接球球心，設(shè)球。的半徑為R,有/?2=4+丿，4PAM的外接圓圓心為PM的中點(diǎn)，設(shè)為F,連接OF,則OF丄平面PAF,如圖，則有即。到平面哄的距離為*因"到平面哄距離的最大值為y^^+y/4+a2,又S^PAC=^4x2a=4a,即有+V4+a2|=解得a2=2,b=4+】=6，R=灰,所以球O的體積為?以，=8＞為?.故答案為：8成四、解答題：解:⑴?.?an=-2Sn_1Sn,.??Sn-Sn_!=-2Sn_S11.??Sn_!-sn=2SnSn_i■■■—- =2???數(shù)列向?yàn)榈炔顢?shù)列，且奪=^+2（n-l）=l+2n-2=2n-l 3分又n=1時(shí)，a】=Si=2x1—1=1 Sn=2n-1（neN‘）nV⑵；=2n—l"”=（2〃-l）2”Sn7；=lx2'+3x22+???（2〃-3）2"T+（2〃-1）2”27；=1x2?+3x2,+...（2〃-3）2W+（2〃-1"兩式相減得-7；兩式相減得-7；,=2+23+24+?■■+2”材-（2〃一1）2”"=2+1-2（2〃1）2仲=2-8+2"“_（2〃一1）2*=-6-（2/1-3）?2"+,, 7；=（2〃一3）.2fl+,+6 10分18..解：（1）由題意，SO=3,OA=OB=B取。4的中點(diǎn)O,連接則CQ//SO,HCD=-5O=-!-x3=-,2 2 2?.?SO丄平面AOB,..CD丄平面AOB,ZCBD即為直線與平面刀。8所成角sin0=CD、伝從而BC=而,由勾股定理得BD=sin0=CD、伝從而BC=而,由勾股定理得BD=5中,。疥+。奸3日=字妍所以風(fēng)心3分■SO丄平面AOB.:.SOLOB.由，OB丄。AOBISO二＞08丄平面SO/1,所以BOA-SA （2）以。為原點(diǎn)，08,04,OS分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系則庶,0,0),則庶,0,0),*0,0,1),C0,,#0,面),得5T=(-V3,0,l).AB==知,項(xiàng),o）,無*亭,？設(shè)平面ABT、CBT的法向量分別為=（》1，凹，Z|）,〃=（》2，力孫2）。時(shí)與=0=-4iyx時(shí)與=0=-4iyx=0m-BT=0由｛ nm?AB=0Z]一占?xì)饬疃?]得隊(duì)=（1丄構(gòu),由E°n

nTC=Q由E°n

nTC=Q—V3x2+z2=0V3丄1尸'——+—z,=02222Z' ，令》2=1得〃=(1，-1誠)°z2=-y/3y2所以cos/w,所以cos/w,〃）=告肖-- 10分 12分則二面角A-BT-C12分5皿⑴由正弦定理有2宀〃=2宀從而亠宀盧則海。=“帝」2=二=皿2ab4a4sinA所以4sinJcosC=sinB=sin(j+C)=sinAcosC+cosAsinC,即有3sinAcosC=cosAsinC,tanC=3tanJ 6分 (2)由(1)tanC=3tanJ,有tan8=-tan(N+C)=tan"+tanC=4t;n"tanJtanC-13tan~A-lnil1 2 3 13tan2^-l1 3(tan2J+l)邙八 tanA tang tanC tanA2tanJ tanJ2tanJ 故一!■tanAtangtanC—tan4+—!—I>—-2-/1311A—!故一!■tanAtangtanC當(dāng)且僅當(dāng)tanJ= , tanJ當(dāng)且僅當(dāng)tanJ= , tanJ2 3即tanz4=l,^=-時(shí)取等。4所以 tanAtanBtanC的最小值為3 12分解：(1)y=d>[x+c一1+2+3+4+5+6+7 -一1+2+3+4+5+6+7 -一°卩= =4/y=8\1234P4351835123513510分Xi4916253649卩=遮1234567y0479111213（2）令卩=W，則y=d卩+c,根據(jù)己知數(shù)據(jù)表得到如下表:4分283-7x4x8=59 140-7x16—28故y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程9=書近-孑令x=100,9=詈2520.64(cm)（3）這7天中幼苗高度大于y=8的有4天，X服從超幾何分布，其中N=7,M=4,n=4P(X=l)=mP(X=2)=黑;P(X=3)=P(X=4)=宀所以隨機(jī)變量,的分布列為:12分隨機(jī)變量X的期望值E（X）=4x；12分解：（1）因?yàn)殡p曲線C與己知雙曲線有相同的漸近線,設(shè)雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2-4y2=A代入點(diǎn)A坐標(biāo)，解得A=4所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為扌一寸=1（2）（i）當(dāng)直線EF斜率存在時(shí)，設(shè)EF.y=kx+m設(shè)E(Xi，yi)F(x2,y2)?聯(lián)立y=kx+m與雙曲線j-y28km勺+*2=一旳4m2+4W2=e化簡得(4妒一1)x2+Qkm8km勺+*2=一旳4m2+4W2=eA=(8km)2-4(4m2+4)(4fc2-1)>0,即4/c2-m2-l<0.則有又yi、2=(加+m)(奴2+m)=k2x1x2+/cm(xi+x2)+m2因?yàn)樾?DF=(x1-2)(*2-2)+yiy2=0 6 分所以(好+1)xtx2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0,所以。2+1)?豔+(/^—2)?譯+如2+4=0，化簡，得3m2+16km+20k2=0,即(3m+10k)(m+2k)=0所以叫=—2k,m2=—y/c.旦均滿足4/c2-m2-KO,當(dāng)郷=一2化時(shí)，直線Z的方程為y=k(x-2),直線過定點(diǎn)(2,0),與己知矛盾TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)皿2=-?化時(shí)，直線Z的方程為y=/c(x-?),過定點(diǎn)(學(xué)，0) 9分(ii)當(dāng)直線EF斜率不存在時(shí)，由對稱性不妨設(shè)直線DE：y=x-2,與雙曲線C方程聯(lián)立解得》￡='「=￥，此時(shí)EF也過點(diǎn)M(扌，0)綜上，直線以過定點(diǎn)M(孕，0). 10分由于DG丄EF,所以點(diǎn)G在以O(shè)A/為直徑的圓上，H為該圓圓心，|GH|為該圓半徑，o o所以存在定點(diǎn)使|GH|為定值 12分22.解：(1)當(dāng)*=1時(shí)，f(x)=ex-\nxff(x)=ex--(x>0) 1 分x由于尸(：)=有-2<0/(l)=e-l>0,故存在Xo￡(：,l),使得廣偽)=8。-；=0由基本初等函數(shù)性質(zhì)知，/'(對在(0,+8)遞增，所以當(dāng)0<x<x°時(shí)，/'(x)<0,/(x)遞減;當(dāng)x>x0時(shí)，尸(x)>0,y(x)遞增,TOC\o"1-5"\h\z所以成=[升(*)扁=fM=ex°-\nx0=—+x0 3分工01 I X2-1設(shè)函數(shù)g(x)=-+x,xe(-3),g'(x)=——<0.x2 x故g(x)在q,i)遞減，g(x)<&(?)=；,所以〃?<§? 6