數(shù)學(xué)競(jìng)賽立體幾何專題精講(例題練習(xí))

數(shù)學(xué)競(jìng)賽之立體幾何專題精講(例題練習(xí))數(shù)學(xué)競(jìng)賽之立體幾何專題精講(例題練習(xí))39/39數(shù)學(xué)競(jìng)賽之立體幾何專題精講(例題練習(xí))合用文檔數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的立體幾何問題立體幾何作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分之一，自然也是每年的全國(guó)聯(lián)賽的必然觀察內(nèi)容．解法靈便而備受人們的喜歡，競(jìng)賽數(shù)學(xué)中間的立幾題經(jīng)常會(huì)以中等難度試題的形式出現(xiàn)在一試中，觀察的內(nèi)容常會(huì)涉及角、距離、體積等計(jì)算．解決這些問題常會(huì)用到轉(zhuǎn)變、切割與補(bǔ)形等重要的數(shù)學(xué)思想方法．一、求角度這類題常以多面體或旋轉(zhuǎn)體為依賴,觀察立體幾何中的異面直線所成角、直線與平面所成角或二面角的大小解決這類題的要點(diǎn)是,依照已知條件正確地找出或作出要求的角．立體幾何中的角包括異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角三種．其中兩條異面直線所成的角經(jīng)過(guò)作兩條異面直線的平行線找到表示異面直線所成角的訂交直線所成的角，再構(gòu)造一個(gè)包括該角的三角形，解三角形即能夠完成；直線和平面所成的角則要第一找到直線在平面內(nèi)的射影，一般來(lái)講也能夠經(jīng)過(guò)解直角三角形的方法獲取，其角度范圍是0,90；二面角在求解的過(guò)程中間一般要先找到二面角的平面角，三種方法：①作棱的垂面和兩個(gè)半平面訂交；②過(guò)棱上任意一點(diǎn)分別于兩個(gè)半平面內(nèi)引棱的垂線；③依照三垂線定理或逆定理．別的還可以夠依照面積射影定理SScos獲?。街蠸表示射影多邊形的面積，S表示原多邊形的面積，即為所求二面角．例１直線OA和平面斜交于一點(diǎn)O，OB是OA在內(nèi)的射影，OC是平面內(nèi)過(guò)O點(diǎn)的任素來(lái)線，設(shè)AOC,AOB,BOC.，求證：coscoscos．解析：如圖，設(shè)射線OA任意一點(diǎn)A，過(guò)A作AAB于點(diǎn)B，又作BCOC于點(diǎn)C，連B接AC．有：OCOCOBOCcos因此，coscoscos．,cos,cos;OAOAOB評(píng)注：①上述結(jié)論經(jīng)常會(huì)結(jié)合以下課本例題一起使用．過(guò)平面內(nèi)一個(gè)角的極點(diǎn)作平面的一條斜線，若是斜線和角的兩邊所成的角相等，那么這條斜線在平面內(nèi)的射影必然會(huì)落在這個(gè)角的角均分線上．利用全等三角形即可證明結(jié)論建立．②從上述等式的三項(xiàng)能夠看出cos值最小，于是可得結(jié)論：平面的一條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的所有直線所成的角中，斜線與它的射影所成的角最小．A例、（1997年全國(guó)聯(lián)賽一試）如圖，正周圍體ABCD中，E在棱AB上，F(xiàn)在棱CD上，使得：AECF0，記f，EEBFD其中表示EF與AC所成的角，其中表示EF與BD所成的角，則：BDF（A）f在0,單調(diào)增加；（B）f在0,單調(diào)減少；GC標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔（C）f在0,1單調(diào)增加；在1,單調(diào)減少；（D）f在0,為常數(shù)．`解析：依照題意可第一找到與,對(duì)應(yīng)的角．作EG∥AC，交BC于G，連FG．顯然FG∥BD，∠GEF=，∠GFE=．∵AC⊥BD，∴EG⊥FG∴90例五、（1994年全國(guó)聯(lián)賽一試）已知一個(gè)平面與一個(gè)正方體的12條棱的夾角都等于，則sin．CB解析：正方體的12條棱可分為三組，一個(gè)平面與12條棱的夾角都DAO等于只要該平面與正方體的過(guò)同一個(gè)極點(diǎn)的三條棱所成的角都等于即可．以下列圖的平面ABD就是吻合要求的平面，于是：CB3DAsin3二、求體積這類題常是求幾何體的體積或要求解決與體積相關(guān)的問題解決這類題的要點(diǎn)是,依照已知條件選擇合適的面作為底面并求出這個(gè)底面上的高例十五、（2003年全國(guó)聯(lián)賽一試）在周圍體ABCD中，設(shè)AB1,CD3，直線AB與CD的距離為2，夾角為，則周圍體ABCD的體積等于A3A3;B1;C1;D32233E1解析：依照錐體的體積公式我們知道：V=Sh．B3D從題目所給條件看，已知長(zhǎng)度的兩條線段分別位于C兩條異面直線上，而已知距離是兩條異面直線之間的距離而非點(diǎn)線距．顯然需要進(jìn)行轉(zhuǎn)變．作BE∥CD,且BE=CD，連接DE、AE，顯然，三棱錐A—BCD與三棱錐A—BDE底面積和高都相等，故它們有相等的體積．于是有：VABCDVABDEVDABE1SBDEh1ABBEsinABEh1362例十六、（2002年全國(guó)聯(lián)賽一試）由曲線x24y,x24y,x4,x4圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V，滿足1x2y216,x2y222y22x,y組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體4,x4的點(diǎn)積為V，則：2（A）V=12V；（C）V=V；（D）V=2V；V；（B）V=1212121223標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔解析：我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖暅在關(guān)于兩個(gè)幾何體體積的比較方面作出了優(yōu)異的貢獻(xiàn)，祖暅原理告訴我們：關(guān)于兩個(gè)底面積同樣，高相等的幾何體，任做一個(gè)平行于底面的截面，若每一個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．運(yùn)用祖原理的思想我們能夠?qū)⒉灰?guī)則的幾何體的體積計(jì)算轉(zhuǎn)變成規(guī)則幾何體的體積計(jì)算．如計(jì)算球的體積時(shí)我們能夠?qū)肭蜣D(zhuǎn)變成圓柱與圓錐的組合體．顯然，本題中的兩個(gè)幾何體吻合祖暅原理的條件，比較其截面面積以下：取ya4a4，則：2S1162a164a當(dāng)a0時(shí)：S216a2224a2164a當(dāng)a0時(shí)：S216a2224a2164a顯然，S1S2，于是有：V1V2．例十七、（2000年全國(guó)聯(lián)賽一試）一個(gè)球與正周圍體的六條棱都相切，若正周圍體的棱長(zhǎng)為a，則這個(gè)球的體積是．解析：由正周圍體的圖象的對(duì)稱性可知，內(nèi)切球的球心必為正周圍體的中心，球與各棱相切，其切點(diǎn)必為各棱中點(diǎn)，觀察三組對(duì)棱中點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)，即為內(nèi)切球的球心，因此每組對(duì)棱間的距離即為內(nèi)切球的2aP直徑，于是有：2r23∴V42a2a33424ROCa的正周圍體的外r練習(xí)：同樣可用體積法求出棱長(zhǎng)為AED接球和內(nèi)切球的半徑．解析可知，正周圍體的內(nèi)切球B與外接球球心同樣，將球心與正周圍體的個(gè)極點(diǎn)相連，可將正周圍體劃分為四個(gè)全等的正三棱錐，于是可知內(nèi)切球的半徑即為正周圍體高度的四分之一，外接球半徑即為高度的四分之三．故只要求出正周圍體的高度即可．2又：ha23a2a26a，因此，R6a,r6a．333412標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔例十八、（1999年全國(guó)聯(lián)賽一試）已知三棱錐S--ABC的底面為正三角形，A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30，SA=23．那么，三棱錐S-ABC的體積為．解析：在求解立體幾何問題時(shí)，經(jīng)常需要第一理解所要觀察對(duì)象的圖形特點(diǎn)．連接BH并延長(zhǎng)交SC于D，連AD．

SH為SBC的垂心∴BD⊥SC，且HD⊥SC，故AD⊥SC，SC⊥平面ABCASC⊥AB作SO⊥平面ABC于O，連接CO并延長(zhǎng)交AB于E，易知：CE⊥AB，連DE．AB=AC

E

DHCOB∴HB=HC，即A在平面SBC內(nèi)的射影H在線段BC的垂直均分線上，而點(diǎn)H是

SBC的垂心，可知SBC為SB=SC的等腰三角形．∴S在平面ABC內(nèi)的射影O在線段BC的垂直均分線上．故射影O為ABC的中心，三棱錐S—ABC為正三棱錐．設(shè)底面邊長(zhǎng)為2a，則CE=3a，SA=SB=SC=23∴SO=3，OC=32CE=23a33∴VSABC1SABCh1133339333224標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔例十九、（1998年全國(guó)聯(lián)賽一試）ABC中，C90,B30,AC2，M是AB的中點(diǎn)．將ACM沿CM折起，使A、B兩點(diǎn)間的距離為22，此時(shí)三棱錐A—BCM的體積等于．解析：關(guān)于折疊問題，弄清折疊前后線段之間的變與不變的關(guān)系經(jīng)常是我們解決問題的要點(diǎn)，問題中經(jīng)常會(huì)涉AA及折疊圖形形成MDD二面角，在折疊FMFCBCB前作一條直線與EE折疊線垂直訂交，于交點(diǎn)的兩側(cè)各取一點(diǎn)形成一個(gè)角，于是在折疊過(guò)程中，此角向來(lái)能代表圖形折疊所形成的二面角的大小．其他，經(jīng)過(guò)解析可知解決本例的另一個(gè)要點(diǎn)是需要獲取棱錐的高，其實(shí)只要能找到二面角，高也就能瓜熟蒂落了．如圖，作BD⊥CM的延長(zhǎng)線訂交于D，AF⊥CM于F，并延長(zhǎng)到E，使EF=BD，連BE．顯然，AF=EF=BD=3，EB=DF=2,因此：AE2=AB2-EB2=8-4=4三棱錐A—BCM的高即點(diǎn)A到平面BCM的距離也就是等腰AEF中點(diǎn)A到邊EF的距離．依照面積相等可求得：23126h3.3標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔∴V1123126223233例二十、（1995年全國(guó)聯(lián)賽一試）設(shè)O是正三棱錐P—ABC底面△ABC的中心，過(guò)O的動(dòng)平面與P—ABC的三條側(cè)棱或其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)分別記為Q、R、S，則和式111PQPRPS（A）有最大值而無(wú)最小值；（B）有最小值而無(wú)最大值；（C）既有最大值又有最小值，且最大值與最小值不等；（D）是一個(gè)與平面QRS地址沒關(guān)的常量．A解析：借助于切割思想，將三棱錐P—QRSQ劃分成三個(gè)以O(shè)為極點(diǎn)，以三個(gè)側(cè)面為底面的三棱錐O—PQR，O—PRS，O—PSQ．OSCh，又設(shè)P顯然三個(gè)三棱錐的高相等，設(shè)為QPRRPSSPQ，于是有：BRVPQRSVOVOPRSVO1SPRSSPSQhPQRPSQSPQR13PQPRPRPSPSPQsinh61PQPRPSsin又：VPQRSVQPRSsin，其中為PQ與平面PRS所成的角．6PQPRPRPSPSPQsinhPQPRPSsinsin于是得：

111sinPQPRPSh例二十一、（1993年全國(guó)聯(lián)賽一試）三棱錐S—ABC中，側(cè)棱SA、SB、SC兩兩相互垂直，M為三角形ABC的重心，D為AB中點(diǎn)，作與SC平行的直線DP．證明：（1）DP與SM訂交；2）設(shè)DP與SM的交點(diǎn)為D，則D為三棱錐S—ABC的外接球的球心．解析：依照題中三棱錐的特點(diǎn)，可將三棱錐補(bǔ)形成為一個(gè)以下列圖的長(zhǎng)方體，由于C、M、D三點(diǎn)共線，顯然，點(diǎn)C、S、D、MCG在同一平面內(nèi)．于是有DP與SM訂交．FDDDM1H又由于：MC，而點(diǎn)D為長(zhǎng)SC2D方體的底面SAEB的中心，故必有點(diǎn)D為MS對(duì)角線SF的中點(diǎn)，即為長(zhǎng)方體的也是三棱BD標(biāo)準(zhǔn)文案AE合用文檔錐的外接球的球心．例二十二、（1992年全國(guó)聯(lián)賽一試）從正方體的棱和各個(gè)面的面對(duì)角線中選出k條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則k的最大值是．解析：本題能夠采用構(gòu)造法求解．觀察圖中的D1C1四條線段：AD、AC、BC、BD，顯然其中任意1111A1B1兩條都是異面直線．另一方面，若是滿足題目要求的線段多于4條，若有5條線段滿足要求，DC由于5條線段中任意兩條均為異面直線，AB10個(gè)，這因此其中任意兩條沒有公共點(diǎn)，于是產(chǎn)生這些線段的端點(diǎn)幾何體的極點(diǎn)的個(gè)數(shù)必然大于或等于與題中的正方體相矛盾．故：k4．例二十三、（1991年全國(guó)聯(lián)賽一試）設(shè)正三棱錐P—ABC的高為PO，M為PO的中點(diǎn)，過(guò)AM作與棱BC平行的平面，將三棱錐截為上、下兩個(gè)部分，試求此兩部分的體積比．解析：取BC的中點(diǎn)D，連接PD交AM于G，設(shè)P所作的平行于BC的平面交平面PBC于EF，由F直線與平面平行的性質(zhì)定理得：EF∥BC，連接MGAE，AF，則平面AEF為吻合要求的截面．HEC作OH∥PG，交AG于點(diǎn)H，則：OH=PG．ADBCPDPGGDGDGDAD5O111；BEFPGPGPGOHAO2故：VAPEFSPEFEF24；于是：VAPEF4．VAPBCSPBCBC25VAEFBC21三、求面積這類題常設(shè)計(jì)為求幾何體中某一特別地址的截面面積解決這類題的要點(diǎn)是,封斷出截面的形狀及截面和已知中相關(guān)圖形的關(guān)系標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔四、求距離這類題常是以幾何體為依賴,求其中的某些點(diǎn)、線、面之間的距離解決這類題的要點(diǎn)在于,依照已知條件判斷出或作出吻合題意的線段,其長(zhǎng)度就是吻合題意的距離4、（1996年全國(guó)聯(lián)賽一試）已知將給定的兩個(gè)全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰獲取一個(gè)所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱的長(zhǎng)為2，則最遠(yuǎn)的兩極點(diǎn)間的距離是________．解：該六面體的棱只有兩種，設(shè)原正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，側(cè)棱為b．取CD中點(diǎn)AG，則AG⊥CD，EG⊥CD，故∠AGE是二面角A—CD—E的平面角．由BD⊥AC，

bbbF作平面BDF⊥棱AC交AC于F，則∠BFD為二面角B—AC—D的平面B2aaDGC標(biāo)準(zhǔn)文案E合用文檔角．AG=EG=22，BF=DF=2ab2－a2223a)2=2b－ab，AE=2b－(32AG2－AE2224(b2－42a2)2222得=2BF－BD．∴32=4ab9b2AG22BF22222=16a，b－a4a(b－a)最遠(yuǎn)的兩個(gè)極點(diǎn)距離為3．

b2－4a2．由cos∠AGE=cos∠BFD，34b=3a，從而b=2，2a=3．AE=2．即解析：設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為b，則：Pa2a22b3即：bb2a2F2223ab2ab2aAC44bDOE3bB化簡(jiǎn)得：a2P因此，a3,b2．于是可求得線段PP的長(zhǎng)：pp2432．于是有最遠(yuǎn)距離為底邊長(zhǎng)3．標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔五、求元素個(gè)數(shù)這類題常以長(zhǎng)方體或三棱錐等幾何體為背景,經(jīng)過(guò)計(jì)算吻合題意的元素個(gè)數(shù),來(lái)觀察學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)問題的理解程度解決這類題的要點(diǎn)是計(jì)數(shù)時(shí)要有規(guī)律的數(shù),作到不重復(fù)、不遺漏標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔8、若是空間三條直線a，b，c兩兩成異面直線，那么與a，b，c都訂交的直線cP有(A)0條(B)1條(C)多于1的有限條(D)無(wú)量多條

Q

D’C’b解：在a、b、c上取三條線段AB、CC、AD，作一個(gè)平行六面體ABCD—ABCD，在c上取線段AD上一點(diǎn)P，過(guò)a、P作一個(gè)平面，與DD交于Q、與CC交于R，則QR∥a，于是PR不與a平行，但PR與a共面．故PR與a訂交．由于能夠取無(wú)量多個(gè)點(diǎn)P．應(yīng)選D．

DCRaA‘B‘ABS9、給定平面上的5個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E，任意三點(diǎn)不共線.由這些點(diǎn)連成4條線，每點(diǎn)最少是一條線段的端點(diǎn)，不同樣的連接方式有種.解：圖中，4種連接方式都滿足題目要求.（圖中僅表示點(diǎn)、線間連接形式，不考慮點(diǎn)的地址).（1）（2）（3）（4）狀況（1），依照中心點(diǎn)的選擇，有5種其連接方式；狀況（2），可視為5個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、E的排列，但一種排列與其逆序排列是同一的，且兩者是一一對(duì)應(yīng)的，則有連接方式5!60種；狀況（3），首2先是分歧點(diǎn)的選擇有5種，其次是分叉的兩點(diǎn)的選擇有C426種，最后是余下并連兩點(diǎn)的序次有別，有2!種，共計(jì)56260種；狀況（4），選擇3點(diǎn)構(gòu)造三角形，有C5310種.共有5606010135種連接方式.標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔3.設(shè)四棱錐PABCD的底面不是平行四邊形,用平面去截此四棱錐,使得截面四邊形是平行四邊形,則這樣的平面( )(A)不存在(B)只有1個(gè)(C)恰有4個(gè)(D)有無(wú)數(shù)多個(gè)例一、（1991年全國(guó)聯(lián)賽一試）由一個(gè)正方體的三個(gè)極點(diǎn)所能組成的正三角形的個(gè)數(shù)為（A）4；（B）8；（C）12；（D）24．解析：一個(gè)正方體一共有8個(gè)極點(diǎn)，依照正方體的構(gòu)造特點(diǎn)可知，組成正三角形的邊必定是正方體的面對(duì)角線．考慮正方體的12條面對(duì)角線，從中任取一條可與其他面對(duì)角線組成兩個(gè)等邊三角形，即每一條邊要在組成的等邊三角形中出現(xiàn)兩次，故所有邊共出現(xiàn)2C12124次，而每一個(gè)三角形由三邊組成，故一共24可組成的等邊三角形個(gè)數(shù)為8個(gè)．3例二、（1995年全國(guó)聯(lián)賽一試）將一個(gè)四棱錐的每個(gè)極點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異色，若是只有5種顏色可供使用，那么不同樣的染色方法的總數(shù)是．解析：就四棱錐P—ABCD而言，顯然極點(diǎn)P的顏色必然不同樣于A、B、C、D四點(diǎn)，于是分三種狀況考慮：①若使用三種顏色，底面對(duì)角線上的兩點(diǎn)可同色，其染色種數(shù)為：A5360（種）②若使用四種顏色，底面有一對(duì)對(duì)角線同色，其染色種數(shù)為：C21A54240（種）③若使用五種顏色，則各極點(diǎn)的顏色各不同樣，其染色種數(shù)為：A55120（種）故不同樣染色方法種數(shù)是：420種．六、特別周圍體1．周圍體由于周圍體是三角形在空間中的實(shí)行，因此三角形的好多性質(zhì)也能夠?qū)嵭械街車w：（1）連接周圍體的棱中點(diǎn)的線段交于一點(diǎn)，且在這里均分這些線段；（2）連接周圍體任一極點(diǎn)與它對(duì)面重心的線段交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)將線段分成的比為3：1，G稱為周圍體的重心．（3）每個(gè)周圍體都有外接球，球心是各條棱的中垂面的交點(diǎn)．（4）每個(gè)周圍體都有內(nèi)切球，球心是周圍體的各個(gè)二面角的均分面的交點(diǎn)．例10（1983年全國(guó)）在六條棱長(zhǎng)分別為2、3、3、4、5、5的所有周圍體中，最大的體積是多少？證明你的結(jié)論．2．特別周圍體（i）等腰周圍體：三組對(duì)棱分別相等的周圍體．性質(zhì)（1）等腰周圍體各面積相等，且為全等的銳角三角形；（2）體積是陪同長(zhǎng)方體的13．（ii）直角周圍體從一個(gè)極點(diǎn)出發(fā)的三條棱相互垂直的周圍體．性質(zhì)（1）直角周圍體中，不含直角的面是銳角三角形（稱該面為底面）；（2）任一側(cè)面面積是它在底面投影的面積和地面面積的比率中項(xiàng)，且側(cè)面面積的平方和是底面面積的平方；（3）三個(gè)側(cè)面與底面所成三個(gè)二面角的余弦的平方和是1．3．正周圍體每個(gè)面都是全等的等邊三角形的周圍體．標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔性質(zhì)（1）若正周圍體的棱長(zhǎng)為a，則周圍體的全面積S＝3a2，體積V＝2a3；（2）正周圍體對(duì)棱中點(diǎn)的12連線長(zhǎng)d＝2662a；（3）正周圍體外接球的半徑4a，內(nèi)切球的半徑為12a．七、“多球”問題在解決立體幾何問題時(shí)，常會(huì)遇到若干個(gè)球依照必然的法規(guī)“疊加”的問題，我們將這類問題簡(jiǎn)稱為“多球”問題．關(guān)于“多球”問題，我們經(jīng)常能夠從多球中提煉出球心所組成的立體圖形，將問題簡(jiǎn)化，爾后經(jīng)過(guò)解決這簡(jiǎn)化的問題，獲取原問題的待求結(jié)論，這是解決“多球”問題的一個(gè)常用方法．5、將八個(gè)半徑都為1的球分放兩層放置在一個(gè)圓柱內(nèi)，并使得每個(gè)球都和其相鄰的四個(gè)球相切，且與圓柱的一個(gè)底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于．解：如圖，ABCD是基層四個(gè)球的球心，EFGH是上層的四個(gè)球心．每個(gè)球心H與其相切的球的球心距離=2．EFGH在平面ABCD上的射影是一個(gè)正方形．是EG把正方形ABCD繞其中心旋轉(zhuǎn)45而得．設(shè)E的射影為N，則MN=2－F1．EM=3，故EN2=3－(2－1)2=22．∴EN=48．所求圓柱的高=2+48．DCNM1AB6、底面半徑為1cm的圓柱形容器里放有四個(gè)半徑為2cm的實(shí)心鐵球，四個(gè)球兩兩相切，其中基層兩球與容器底面相切.現(xiàn)往容器里注水，使水面恰好吞沒所有鐵球，則需要注水cm3．2填(3＋2)π．解：設(shè)四個(gè)實(shí)心鐵球的球心為O1，O2，O3，O4，其中O1，O2為基層兩球的球心，A，B，C，D分別為四個(gè)球心在底面的射影．則ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形．因此注水高為1＋2．故應(yīng)注水π(1＋2222)－441312×3π(2)＝(3＋2)π．例1在桌面上放著四個(gè)兩兩相切、半徑均為r的球，試確定其頂端離桌面的高度；并求夾在這四個(gè)球所組成圖形空隙中與四個(gè)球均相切的小球的半徑．標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔例2制作一個(gè)底圓直徑為4cm的圓柱形容器，要內(nèi)裝直徑為2cm的鋼珠26只，那么這容器最少要多高?(上海市1986年競(jìng)賽試題)標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔例3在正周圍體內(nèi)裝入半徑同樣的球，使相鄰的球相互相切，且外層的球又和正周圍體的面都相切，這樣裝法，當(dāng)球的個(gè)數(shù)無(wú)量大時(shí)，求所裝球的體積與正周圍體體積之比的極限．(第八屆希望杯高二數(shù)學(xué)培訓(xùn)題)標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔八、體積法及其應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔體積法是辦理立體幾何問題的重要方法．在高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，利用體積法解題形式簡(jiǎn)潔、構(gòu)思簡(jiǎn)單，內(nèi)涵深刻，應(yīng)用廣泛，備受喜歡．幾何體的體積包括基本幾何體的體積計(jì)算、等積變換等方法，同時(shí)有以下常用方法和技巧：(1)轉(zhuǎn)移法：利用祖咂原理或等積變換，把所求幾何體轉(zhuǎn)變成與它等底、等高的幾何體的體積．(2)切割求和法：把所求幾何體切割成基本幾何體的體積．(3)補(bǔ)形求差法：經(jīng)過(guò)補(bǔ)形化歸為基本幾何體的體積．(4)周圍體體積變換法．(5)算兩次法：對(duì)同一幾何體的體積，從兩種方法計(jì)算，建立出未知元素的等量關(guān)系，從而使問題求解．利用這類方法求點(diǎn)到平面的距離，能夠回避作出表示距離的垂線段．別的，體積法中對(duì)周圍體的體積變換涉及很多應(yīng)用廣泛．關(guān)于周圍體的體積有以下常用性質(zhì)：(1)底面積同樣的兩個(gè)三棱錐體積之比等于對(duì)應(yīng)高之比；(2)高同樣的兩個(gè)三棱錐的體積比等于其底面積之比；(3)用平行于底面的平面去截三棱錐，截得的小三棱錐與原三棱錐的體積之比等于相似比的立方；標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔九、立體幾何中的截面問題截面問題涉及到截面形狀的判斷、截面面積和周長(zhǎng)的計(jì)算、截面圖形的計(jì)數(shù)、截面圖形的性質(zhì)及截面圖形的最值．本文介紹此類問題的求解方法．判斷截面圖形的形狀標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔截面面積和周長(zhǎng)的計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔計(jì)算截面圖形的個(gè)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔確定截面圖形的性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔求截面圖形的最值標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔九、綜合問題7、極點(diǎn)為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓周上的點(diǎn)，B是底面圓內(nèi)的點(diǎn)，O為底面圓圓心，AB⊥OB，垂足為B，OH⊥PB，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐O－HPC的體積最大時(shí)，OB的長(zhǎng)為525626A．3B．3C．3D．3解：AB⊥OB，PB⊥AB，AB⊥面POB，面PAB⊥面POB．OH⊥PB，OH⊥面OH⊥PC，又，PC⊥OC，PC⊥面OCH．PC是三棱錐P－OCH的高．PC=OC=2．而OCH的面積在OH=HC=2時(shí)獲取最大值(斜邊=2的直角三角形)．當(dāng)OH=2時(shí)，由PO=22，知∠OPB=30，OB=POtan30=26．31PHPO2解2：連線如圖，由C為PA中點(diǎn)，故VO－PBC=VB－AOP，而VO－PHC∶VO－PBC==22PBPB21313，(PO=PH·PB)．記PO=OA=22=R，∠AOB=，則VP—AOB=Rsincos=12Rsin26

PAB，OH⊥HC，PCHOBA標(biāo)準(zhǔn)文案合用文檔VB－PCO=13．PO2R2=12．VO－PHC=sin21R3sin2，24Rsin22=2222=3+cos212．∴令y=PBR+Rcos1+cos3+cos23+cos22cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2=0，得cos2=－1，326y=(3+cos2)23cos=，∴OB=3，選D．3例19把一個(gè)長(zhǎng)方體切割成k個(gè)周圍體，則k的最小值是.例20已知l是大小為45的二面角，C為二面角內(nèi)必然點(diǎn)，且到半平面和的距離分別為2和6，A，B分別是半平面，內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則ABC周長(zhǎng)的最小值為_____．例21以下列圖，等腰△ABC的底邊AB66，高CD3，點(diǎn)E是線段BD上異于點(diǎn)B，D的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)