理論力學(xué)課件-第13章動能定理

§

13–

1§

13–

2§

13–

3§

13–

4§

13–

5§

13–

6力的功質(zhì)點和質(zhì)點系的動能動能定理功率·功率方程·機械效率場·勢能·機械能守恒定律普遍定理的綜合運用第十三章 動能定理§13-1

力的功W

M

2M1WF

drM

2M1vv一、力的功1、常力在直線運動中的功W

F

cos

θ

s

F

sv2、變力在曲線運動中的功δW

F

cos

ds

F

drvW

Fxdx

Fydy

Fzdz3、合力的功

W

Wi1、重力的功W

mgh

mgzC1

zC

2

只與重心的初末位置有關(guān)與路徑無關(guān)二、幾種常見力的功重心位置下降，重力作正功；重心位置上升，重力作負(fù)功。yzxWz1z2M2M1M2、彈性力的功r1v2rvM12MMrev

rvrkFk彈簧的彈力為v0F

kr

r

erv0

kr

r

r彈簧的彈力的為rv0W

F

vdr

kr

r

rdrv

kr

r

v

vdr

r

2r10k

kr

r0

dr彈簧的彈力的功為W

21MMW1r20

kr

r

drr2

)k2221(

r1v2rvM12MMrev

rvrkF22

)21

22、彈性力的功kW

(

1------初始位置時彈簧的變形量2------末了位置時彈簧的變形量彈性力做功只與初末位置時彈簧的變形量有關(guān)，與路徑無關(guān)。FvrF213、定軸轉(zhuǎn)動剛物體上作用力的功W

F

drv

F

ds

F

RdM

z

Ft

RW

M

z

d從角

1

轉(zhuǎn)動到角2

過F

的功為zM

dW

M

z

2

1

4、任意運動剛體上力系的功將力系向剛體的質(zhì)心簡化，一般簡化為一個力和一個力偶。由力系的等效原理，這個力和力偶所作的

等于力系中所有力所作的和，有dv平面運動剛體W

F

drv

M

dvR

C

CW

W

F

drv

MvR

CC1)動滑動摩擦力的功FN=常量時，W=–f′FN

S，與質(zhì)點的路徑有關(guān)。2)圓輪沿固定面作純滾動時，滑動摩擦力的功5、摩擦力的功vv

vδW

F

dr

F

vC

dt

03)

滾動摩擦阻力偶M的功若M

=常量則W

M

M

sR只要A、B兩點間距離保持不變，內(nèi)力的和就等于零。不變質(zhì)點系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長的繩索內(nèi)力功之和等于零。A

B

F'

drvvδW

F

drA

Bv

F

drv

rv

6、質(zhì)點系v

內(nèi)力的功v

vvA

F

dr

F

drBF

dBA

vv1)光滑固定面約束vFN

drvδW

FN

dr

02)活動鉸支座、固定鉸支座和向心軸承理想約束：反力

為零或之和為零的約束。7、理想約束反力的功δW

F

drv

F

'drv

F

drv

F

drv

04)柔索約束（不可伸長的繩索）拉緊時，

拉力的

之和恒等于零。3)聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）例題13-1半徑為2r的圓輪在水平面上作純滾動如圖示，輪軸上有繞有軟繩，輪軸半徑為r，繩上作用常值水平拉力F。求輪心C運動x距離時，力F所作的功。2rrCOxF解：將力F

向輪心簡化。產(chǎn)生力偶

M=Fr

，輪的轉(zhuǎn)動角度為

x

2r。根據(jù)式W

Fx

M

x

1

FxC

2r

2W

tC

M

dtCF

v0力F所作的功為2rOxFFrCM§13-2

質(zhì)點和質(zhì)點系的動能1、質(zhì)點的動能T

1

mv22212i

im

v2、質(zhì)點系的動能T

3、剛體的動能1）平動剛體2C21212i

iMvm

vT

2T

1

J

2PCPJ

J

Md

2（P為速度瞬心）12

2

1Md

2

22T

JC

22i

im

vT

2)

定軸轉(zhuǎn)動剛體13)平面運動剛體212zJ

22

12

i

i

m

r

21212CJ

CMv

CvvCPd質(zhì)量為m，半v0vRC例題13-2徑為R的圓盤沿水平面作純滾動，求其動能。解：方法一圓盤為平面運動，故其動能為212CJ

CT

1

Mv2

212mv2

0

R

2

21

1

mR2

v0

2

30mv24質(zhì)量為m，半例題13-2徑為R的圓盤沿水平面作純滾動，求其動能。解：方法二22將圓盤的運動看成繞速度瞬心軸P軸作定軸轉(zhuǎn)動，故其動能為1PT

J

2

21

1

R

v

2

mR2

mR2

0

0mv2340vvCRP單位長度質(zhì)量為，輪的半徑為R，輪軸之間的距離為d，

前進(jìn)的速度為v0

。求全部

的總動能。C2C1dR例題13-30vv解：將分成四部分，如圖C2C1dR0vvABMN將半圓環(huán)AM和半圓環(huán)BN

組成一圓環(huán)，此圓環(huán)作純滾動，動能為2112OJ

T

O221

2R

R

R

22

v0

2R

R

20

2RvC2C1dR0vvABMN2T

1

mv2AB部分作平動，速度為2v0，動能為O21220d2v

20

2dvMN部分，動能為0故，

總能為：T

T1

T220

2Rv20

2dv思考：，楔塊A向右移動速度為v1,質(zhì)量22sin

]2222v

cos

)

vB

1T

m

[(v

Av1為m的物塊B沿斜面下滑，它相對于楔塊的速度為v2，求物塊B的動能TB。Bv2§13-3動能定理1、質(zhì)點的動能定理drv

vv

dtvvd

v

vmv

vdt

Fdrdtdtma

Fv

d

v(mv

)

Fv兩邊點乘以122

d

(mv

)

vdt

m

d(v

v

)

d(dt

2mv

)vF

dr

Wmv1d2

δW

2將上式沿路徑M1M

2積分，可得2

1

121

mv

2

1

mv

2

W2

2質(zhì)點動能定理的積分形式mv1d2

2

δW

質(zhì)點動能定理的微分形式表明:在質(zhì)點運動的某個過程中，質(zhì)點動能的改變量，等于作用于質(zhì)點上的力作的功。2、質(zhì)點系的動能定理對質(zhì)點系中的一質(zhì)點

Mi

：ii

i

δWm

v1d2

2

12d2

iδWi

im

v對整個質(zhì)點系，有

idi

im

v122

iδWδW

即

dT

質(zhì)點系動能定理的微分形式T2

T1

WdT

δWi將上式沿路徑M1M

2

積分，可得質(zhì)點系動能定理的積分形式表明:在質(zhì)點系在某一段運動過程中，動能的改變量，等于作用于質(zhì)點系上的全部力的功。微分形式------求加速度積分形式------求速度例題13-4sk2v

=

0OAv0質(zhì)量為m1

的物塊

A懸掛于不可升長的繩子上，繩子跨過滑輪與鉛直彈簧相滑輪連的，質(zhì)彈量簧為剛m度2系，數(shù)并為可看k。成設(shè)半徑是

r

的勻質(zhì)圓盤?，F(xiàn)在從平衡位置給物塊

A

以向下的初速度

v0

，試求物塊

A由這位置下降的最大距離s，彈簧和繩子的質(zhì)量不計。解：取整個系統(tǒng)作為研究對象。skAv02v

=

0O以物塊具有初始速度瞬時為初始時刻，則21

0T1

TA

TO1

m

v

2

2

21

1

r

v

2

m

r

2

0

21

2

02142m

m

v以物塊

A

的最大下降點作為末時刻，則T2

002k2m1

m2

vs

skAv02v

=

0O在物塊下降到最低點的過程中，所有力的功為222112

W

WA

Wkk

m

gs

km

g11

2

1

s221W

ks222

01124T2

T1

W1

2m

m

v

ks兩根均質(zhì)直桿組成的機構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計，如機構(gòu)在圖示位置從，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時，AB桿B

端的速度。例題13-50.9mOA1.2mB解：取整個系統(tǒng)為研究對象0.9m1.2mOABA’B’AvvBvvT2

TOA

TAB

2當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時，桿OA作定軸轉(zhuǎn)動，桿AB瞬時平動，設(shè)AB質(zhì)量為m，故T1

012OJ

2

1

mv22B

1

mv2

1

1

2m

0.92

22

3vB

vA

0.9ABT

T

T2

OA2B56mvW

2mg

0.9

mg(0.6

0.15)

1.35mg2T2

T1

W動能定理T1

02B256mvT

B5

mv2

0

1.35mg6vB

1.62g

3.98

m

/

s0.9m1.2mOABA’B’vAvvBv卷揚機。鼓輪在常力偶M的作用下將圓柱沿斜坡上拉。已知鼓輪的半徑為R1

，質(zhì)量為

m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為R2

，質(zhì)量為

m2，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜坡的傾角為θ，圓柱只滾不滑。系統(tǒng)從

開始運動，求圓柱中心C經(jīng)過路程s時的速度。OMDθC例題13-6解：圓柱和鼓輪一起組成質(zhì)點系，所受力有OMCm1gFOxFOym2gFNFsDθ1所有力作功為：W

M

m2

g

sin

s質(zhì)點系初始動能為：T1

0OMCm1gFOxFOym2gFNFsDθ1所有力作功為：W

M

m g

sin

s2質(zhì)點系初始動能為：T

01質(zhì)點系末時動能為：2C

221

1

2

C2

122J

1

m

v212J

T

11RvC22RvC

2

22

1

m

R2

42

CJ

m

R2

J1

1

1

CT

2m1

3m2

v2由動能定理T2

T1

WR1

(2m1

3m2

)(M

m2

gR1

sin

)sCv

2OMC1m

gFOxFOym2gFNFsDθ1W

M

m g

sin

s21T

0

221T2

4vC2m

3m4

s

R1

0

M

m g

sin

sC2m1

3m2

v22例題13-7O1行星齒輪傳構(gòu)，放在水平面內(nèi)。動齒輪半徑r

，重P，

視為均質(zhì)圓盤；曲柄OO1重P1，長L

，作用一力偶，

矩為M(常量)，曲柄由

開始轉(zhuǎn)動；

求曲柄的角速度

(以轉(zhuǎn)角

的函數(shù)表示)

和角加速度。rOM解：取整個系統(tǒng)為研究對象W

MT1

01

1T2

TOO

TO1v

l

2

21212g2P

9Pl

T

OO1M1vvr

12122v1221

2

3g

P

r2

g2

g1

P1

Pl

22122O1

1

1

J

1212OJ

mvv

lr

r

11根據(jù)動能定理，得l

22

0

M112g2P

9P3gMl

2P1

9P

2對t

求導(dǎo)數(shù)，得

d

6gM

dt

(2P1

9P)l

2OO1M1vvr

1例題13-8圖示系統(tǒng)中，均質(zhì)滑輪A、B及物塊M均重P，彈簧ABMkhv0v。剛性系數(shù)為k，初始系統(tǒng)現(xiàn)給物塊M一向下的初始速度v0

，試問要使物塊能夠接觸到地面，初始速度至少要為多少？不可伸長細(xì)繩的質(zhì)量不計且與滑輪間無相對運動。ABMkhv0v解：物塊M具有向下初始速度的一瞬間，滑輪A繞A作定軸轉(zhuǎn)動，滑輪B作平面運動。質(zhì)點系初始動能為：T1

TA

TB

TM

1

1

P2 2

g

R

v

2R2

0

TA2

22

g

2

1

P

v

2

0

R1 1

P

vR

2

0

BT

2 2

g0P

v24g0v216g3PABMkh0vv質(zhì)點系初始動能為：T1

TA

TB

TMvAT

204g

16gP

3P20

BT

v202

g1

PMT

v20116

g15

PvT

質(zhì)點系末時刻動能為：2T

0所有力的功為：W

WM

WB

WkABMkhv0v20116

g15

PvT

2T

0所有力的功為：W

WM

WB

Wk2M

BW

Ph

W

P

h2221

k2W

kk12

P

P

hk

28W

kh2ABMkh0vv20116

g15

PT

vT2

08W

kh2動能定理：T2

T1

W816

g15

P0

kh220v

15P2gkh20v

率：力在單位時間內(nèi)所作的功；是衡量機器工作能力的一個重要指標(biāo)；功率是代數(shù)量，并有瞬時性；§

13-4

功率?功率方程?機械效率vP

δW

F

dr

F

vv

Fvdt

dtv力的功率dtdtP

δW

Md

M力矩的功率W

或kW二、功率方程質(zhì)點系動能定理的微分形式dT

δWi

dT

δWidt

dt即為功率方程，即質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在質(zhì)點系上所有力的功率的代數(shù)和。對于機器而言，一般情況下i

P無用有用輸入

P

PdtdT

P100%

P有用P輸入衡量機器對輸入功率的有效利用程度。三、機械效率例題13-9車床電的功率P=4.5

kw，主軸的最低轉(zhuǎn)速為n

=42

rpm，。設(shè)傳動時由于摩擦而損耗的功率是輸入功率的30%，如工件的直徑

d=100

mm，求在此轉(zhuǎn)速時的切削力F。nnrdFnnrdF解:

車床正常運轉(zhuǎn)時是勻速的，因此動能不隨時間改變，故輸入功率與輸出功率和消耗功率之和平衡。

dT

Pdt

P有用

P無用輸入3150

WP無用

0.3P輸入P有用

0.7P輸入0F

1.43144

NP有用

0.7P輸入

3150

W如忽略走刀阻力，則P有用就表示切削力F的功率，

。即P有用nnrdFN

ms－12

F

v

F

d

0.22F§13-5

場、勢能機械能守恒定律1、力場：若質(zhì)點在某空間內(nèi)的任何位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力的作用，則此空間稱為力場。2、

場：

在力場中,如果作用于質(zhì)點的場力作功只決定于質(zhì)點的始末位置，與運動路徑無關(guān)，這種力場稱為

場。3、有

：質(zhì)點在場中受到的場力稱為有勢力(保守力)，如重力、彈力等。在

場中，質(zhì)點從位置M

運動到任選位置M0，

有

所作的功稱為質(zhì)點在位置M

相對于位置M0的勢能，用V

表示。M

0

M

0V

F

dr

Fxdx

Fy

dy

Fz

dzM

MM0作為基準(zhǔn)位置，勢能為零，稱為零勢能點。4、勢能設(shè)質(zhì)點系只受到有有

)

作用，則(或同時受到不作功的非T1

V1

T2

V2

常數(shù)----------機械能守恒定律這樣的系統(tǒng)成為保守系統(tǒng)。5、機械能守恒定律例題13-10長為L

，質(zhì)量為m

的均質(zhì)直桿，初瞬時直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無初速度地傾倒后，求質(zhì)心C

的速度（用桿的傾角

表達(dá)）。CC解：由于水平方向不受外力，且初始，故質(zhì)心C

鉛垂下降。由于約束反力不作功,主動力為有，因此機械能守恒。設(shè)地面為重力零勢能位置，則C1初瞬時：T

02V

1

mgL1任意瞬時（桿作平面運動）2212

2C

CJ

1

mv2T

1V2

2

mgL

sinvCCvC1T

0初瞬時：2V

1

mgL122任意瞬時:

T

12C

1

mv22

&CJ

22V

1

mgL

sin

vCCv12CJ

1

mL22C224mL212

mvT

&C1T

0初瞬時：V

1

mgL1任意瞬時:22vCCv機械能守恒定律T1

V1

T2

V22224C2mv

V

1

mgL

sinmL212

T

&12Cv

gL1

sin

1

L2&2§13-6

普遍定理及綜合應(yīng)用1、動量定理------質(zhì)心運動定理

2、動量矩定理------剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程相對質(zhì)心動量矩定理------剛體平面運動微分方程3、動能定理例題13-11兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)，初始 ，C

點高度為h，求鉸C到達(dá)地面時的速度。CABh解：ABChABCCvv系統(tǒng)在運動過程中，水平方向所受力始終為零，所以系統(tǒng)在水平方向質(zhì)心位置守恒，且系統(tǒng)初始靜止，故質(zhì)心只有向下的速度，所以鉸C達(dá)到地面時速度豎直向下，如圖。此時A，B兩點的速度均為零。于是有1T

0

2

2

l

l

2

C

T

3

g1 1

P

v

2 1

P2 3

gCv2ABChABCCvvT1

0223

g1

PCvT

W

P

h

2

Ph2代入動能定理：T2

T1

W

0

Ph1

P

v23

gCCv

3gh質(zhì)心運動守恒與動能定理的綜合運用問題。思考1：如圖均質(zhì)正方形板，邊長為l，質(zhì)量為m，初始。由圖示位置受干擾后順時針方向，不計摩擦，求當(dāng)OA邊到達(dá)水平位置時板的角速度。450OABD450ABDCOABDCCvvOvvP1

l

2

2

l2

212m

O水平方向動量守恒動能定理22

1

ml2

62

0

mg

l

思考2：質(zhì)量為m0

的物體上刻有半徑為r

的半圓槽，放在光滑的水平面上，原處于狀態(tài)。有一質(zhì)量為m的小球自A處無初速度地沿光滑半圓槽下滑。求小球滑到B處時相對于物體的速度及槽對小球的壓力。OABrrvvOArrvv水平方向動量守恒vBm0v

mvr

v

0212m

v

mv

v2

0

mgr120r動能定理質(zhì)點運動微分方程man

F

mgr

N思考3

物體A、B，質(zhì)量分別為mA、mB，用彈簧相連，放在光滑水平面上。彈簧原長為

l0

，剛度系數(shù)為k。現(xiàn)將彈簧拉長到

l

后無初速

，求當(dāng)彈簧恢復(fù)原長時物體A、B

的速度，彈簧質(zhì)量不計。AB水平方向動量守恒mAvA

mBvB

0動能定理20020kl

l

l

l2BA

A12

0

12

2m

vB

1

m

v2

AFkFkvFNANBFm

gvAm

gvBAvvBvvlB例題13-12重P1=150N的均質(zhì)圓盤與重P2=60N、長l=24cm的均質(zhì)桿AB在B處用鉸鏈連接。

系統(tǒng)由圖示位置無初速地

。求系統(tǒng)經(jīng)過最低位置時，B'點的速度及支座A的約束反力。A60oBB'60oABB'解：（1）圓盤受力如圖BFBxFBy故：在運動過程中，圓盤作平動P2運用相對質(zhì)心動量矩定理JB

M

B

F

e

0

00

0且o60BB'（2）動能定理求速度BvvAAB初始：T1

02最低位置：T2

TAB

TB1B

BA

AB

1

m

v22

J

B2

v22

g1

P

l

v

221

P3

g1

l

2

B

B1P

3P2

26gvo60BB'（2）動能定理求速度T1

0BvvAABT

P1

3P2

v22

B6g所有力的功