線性代數(shù)教案3課件

第三章矩陣§3.1矩陣的運(yùn)算§3.2幾種特殊矩陣§3.3分塊矩陣§3.4逆矩陣§3.5初等矩陣13.1矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法二、數(shù)與矩陣的乘法三、矩陣的乘法四、矩陣的轉(zhuǎn)置五、n階矩陣的行列式 在許多實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi),都會(huì)碰到表格型的數(shù)據(jù),我們從中抽象出矩陣概念。下面我們也從一些常用的表格操作中提煉出對(duì)矩陣的運(yùn)算，給以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，并研究這些運(yùn)算具有什么性質(zhì)？2矩陣加法定義：設(shè)有兩個(gè)mn矩陣A=(aij)mn與B=(bij)mn,若矩陣C=(aij+bij)mn(A,B中對(duì)應(yīng)元素相加),則稱矩陣C為矩陣A與B的和;記作C=A+B。注：只有行數(shù)、列數(shù)都分別相同的兩個(gè)矩陣才能相加。例如：某車間三個(gè)班組生產(chǎn)甲乙產(chǎn)品的上、下半年生產(chǎn)報(bào)表為：則年度報(bào)表為：22+2016+2015+1827+2625+2024+223矩陣相減矩陣相減：Amn-Bmn=Amn+(-Bmn)。

(對(duì)應(yīng)元素相減)例：設(shè)矩陣：求A+B和A-B.解:5矩陣加法的性質(zhì)矩陣的加法具有以下性質(zhì)(1)交換律：A+B=B+A(2)結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)(3)： A+O=O+A=A(4)： A-A=A+(-A)=O 其中A,B,C和零矩陣O是具有相同行、列數(shù)的矩陣。6數(shù)與矩陣的乘法定義：設(shè)矩陣A=(aij)mn,k是數(shù)域F中的數(shù).用數(shù)k乘矩陣A中的每個(gè)元素所得到的矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的乘積,簡(jiǎn)稱數(shù)乘;記作kA=(kaij)mn。例如：某車間四個(gè)班組生產(chǎn)同一產(chǎn)品,該產(chǎn)品的單價(jià)p=5,又知前三月的產(chǎn)量報(bào)表為：則可算出其前三月的產(chǎn)值報(bào)表：7矩陣數(shù)乘的性質(zhì)矩陣數(shù)乘的性質(zhì)： ①k(A+B)=kA+kB 數(shù)乘分配律 ②(k+l)A=kA+lA 數(shù)乘分配律 ③(kl)A=k(lA)=l(kA)

數(shù)乘結(jié)合律 ④1A=A 其中A,B均為mn矩陣,k,l均為數(shù)域F中的數(shù)。8矩陣的乘法定義：設(shè)矩陣A=(aij)ms,B=(bij)sn,矩陣A與B的乘積定義為mn矩陣C=(cij)mn;其中記為C=AB。注1：左矩陣列數(shù)與右矩陣行數(shù)相同時(shí),AB才有意義。注2：AB是一個(gè)矩陣,其行數(shù)與A的行數(shù)相同,其列數(shù)與B的列數(shù)相同。注3：乘積矩陣C中位于第i行第j列的元素cij等于A中第i

行與B中第j列的對(duì)應(yīng)元素乘積之和。10例題與講解例：設(shè),求AB,BA.解：AB=2×2-16-32816BA=2×20000=O注1：矩陣乘法一般不滿足交換律,即ABBA。所以,矩陣乘法分“左乘”和“右乘”。注2：兩個(gè)非零矩陣之積可能是零矩陣。即AB=OA=O或B=O12例題與講解例：某公司所屬的兩個(gè)工廠A1,A2都生產(chǎn)三種產(chǎn)品B1,B2,B3在某年的第一季度,各廠的產(chǎn)量如矩陣A,各產(chǎn)品的單價(jià)與平均單位能耗情況如矩陣B。則工廠工廠總收入總能耗注：利用矩陣的乘法可使許多理論和應(yīng)用問(wèn)題的表達(dá)更為簡(jiǎn)明和方便.14n階方陣定義：行數(shù)和列數(shù)都為n的矩陣,稱為n階矩陣,亦稱n階方陣。n階單位(矩)陣：主對(duì)角線上的元素都是1,其余元素都是0的n階方陣,稱為n階單位陣;記為En.或簡(jiǎn)記為E(或I)即注：在矩陣乘法中單位陣的意義類似于在數(shù)的乘法中“1”的地位。15矩陣乘法的性質(zhì)矩陣乘法的性質(zhì)：(1)結(jié)合律(AB)C=A(BC);(2)左分配律A(B+C)=AB+AC;(3)右分配律(B+C)A=BA+CA;(4)對(duì)數(shù)域F中的任意數(shù)k,k(AB)=(kA)B=A(kB);(5)對(duì)任意的矩陣Amn,有

Em

Amn=Amn;AmnEn=Amn。定義：如果兩個(gè)矩陣A和B滿足AB=BA,則稱A與B是可交換的,亦稱A,B是可交換陣。顯然沒有交換律！一般：ABBA——必要的條件！16例題與講解例：設(shè)求所有與A可交換的矩陣.解:設(shè)與A可交換的矩陣為則由AX=XA可得方程組:解得:取則得其中a,b為任意常數(shù).17方陣的冪運(yùn)算定義：設(shè)矩陣A是一個(gè)n階矩陣,對(duì)于自然數(shù)k,定義A的k次冪為Ak=AA…A。k對(duì)任意的自然數(shù)k,l,不難證明:注:(1)一般地,(2)如果不一定有例如,設(shè)但是18課堂練習(xí)1、判斷題：

（1）若A2=O，則A=O

（2）若A2=A，則A=O或A=E

（3）若A2=E，則A=E或A=-E

2、設(shè)A、B是同階方陣,則A2-B2=(A-B)(A+B)

成立的充要條件是

?！痢痢?0矩陣的轉(zhuǎn)置定義:將矩陣A的行列互換得到的矩陣,稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)置。記為A'或AT。即若m×n則n×m注意：AT中第i行第j列的元素aij'=A中第j行第i列的元素aij。例如：則21n階方陣的行列式定義：由n階方陣A的元素按原來(lái)的順序構(gòu)成的行列式,稱為方陣A的行列式。記為|A|。n階矩陣的行列式具有下述性質(zhì):①|(zhì)A|=|AT|;②|kA|=kn|A|;③|AB|=|A||B|。推廣|A1A2…As|=|A1||A2|…|As|.注：雖然ABBA,但|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|。又：行列式為零的方陣在運(yùn)算時(shí)較特殊。23奇異陣定義：設(shè)A是n階方陣,若|A|0,則稱A為非奇異(方)陣;若|A|=0,則稱A為奇異(方)陣。例：設(shè)n階方陣A、B滿足A2+AB+B2=O,且B非奇異,證明A,A+B均是非奇異的。由B非奇異，知由此得即A，A+B均是非奇異的。證明：24§3.2幾種特殊矩陣一、對(duì)角矩陣二、數(shù)量矩陣三、三角矩陣四、對(duì)稱矩陣與反對(duì)稱矩陣 一些結(jié)構(gòu)特殊的簡(jiǎn)單矩陣卻有著很好的性質(zhì),在運(yùn)算中起著較重要的作用。26對(duì)角矩陣定義：所有非主對(duì)角線元素全等于零的n階矩陣,稱為對(duì)角矩陣。n階對(duì)角矩陣常簡(jiǎn)記為:例如是個(gè)三階對(duì)角矩陣.對(duì)角矩陣的性質(zhì)：①同階對(duì)角矩陣的和、差、積仍為對(duì)角矩陣;②數(shù)k與對(duì)角矩陣的乘積仍為對(duì)角矩陣;③對(duì)角矩陣的轉(zhuǎn)置仍為對(duì)角矩陣且它們是可交換的.例如27數(shù)量矩陣定義：如果n階對(duì)角矩陣所有對(duì)角線上的元素都相等,則稱此矩陣為n階數(shù)量(矩)陣。簡(jiǎn)記為數(shù)量陣性質(zhì)(除滿足對(duì)角陣性質(zhì)外)A=aEn(A為n階數(shù)量陣)對(duì)任一矩陣Bmn,都有(aEm)Bmn=aBmn;Bmn(aEn)=aBmn.即用數(shù)量矩陣左乘或右乘一個(gè)矩陣的結(jié)果,等于對(duì)該矩陣作一個(gè)數(shù)乘。28對(duì)稱矩陣定義：若n階矩陣A滿足AT=A,則稱矩陣A為對(duì)稱矩陣.注：在對(duì)稱矩陣A=(aij)nn中,必有aji=aij(i,j=1,2…n).對(duì)稱矩陣的性質(zhì):①如果A、B是同階對(duì)稱矩陣,則A+B為對(duì)稱矩陣.②數(shù)k與對(duì)稱矩陣的乘積仍為對(duì)稱矩陣.注：兩個(gè)同階對(duì)稱矩陣的乘積不一定為對(duì)稱矩陣.例如都是對(duì)稱矩陣,但不是對(duì)稱矩陣.30反對(duì)稱矩陣定義：若n階矩陣A滿足AT=-A,則稱矩陣A為反對(duì)稱陣.注：在對(duì)稱矩陣A=(aij)nn中,必有aji=-aij(i,j=1,2…n).所以反對(duì)稱矩陣的主對(duì)角線上的元素為零.例如,是一個(gè)三階反對(duì)稱矩陣.反對(duì)稱矩陣的性質(zhì):①兩個(gè)同階反對(duì)稱矩陣的和(或差)仍為反對(duì)稱矩陣.②數(shù)k與反對(duì)稱矩陣的乘積仍為反對(duì)稱矩陣.注：兩個(gè)同階反對(duì)稱矩陣的乘積不一定為反對(duì)稱矩陣思考：奇數(shù)階的反對(duì)稱矩陣其行列式為零.31例題與講解例：已知A是n階對(duì)稱矩陣,B是n階反對(duì)稱矩陣,證明AB+BA是反對(duì)稱矩陣。證明：故AB+BA是反對(duì)稱矩陣?yán)涸O(shè),其中E為n階單位矩陣，B為n×1列矩陣,證明A為對(duì)稱矩陣。證明：故A為對(duì)稱矩陣。32§3.3分塊矩陣一、矩陣的分塊二、分塊矩陣的運(yùn)算三、應(yīng)用 在理論研究及一些實(shí)際問(wèn)題中,經(jīng)常遇到階數(shù)很高或結(jié)構(gòu)特殊的矩陣。為了便于分析計(jì)算,常常把所討論的矩陣看作是由一些小矩陣組成的。這些小矩陣就稱為子陣或子塊。原矩陣分塊后,就稱為分塊矩陣。33矩陣的分塊矩陣分塊的具體做法是：用若干條縱線和橫線將矩陣分成許多個(gè)小塊,每小塊稱矩陣的子塊;形式上,以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣.注：原則上可以對(duì)矩陣進(jìn)行任意分塊.但是,通常是根據(jù)所討論問(wèn)題的實(shí)際背景和理論上的需要來(lái)分塊.一般盡可能使較多的子塊成為簡(jiǎn)單的特殊矩陣。例如若令則原矩陣A分塊為:其中E2為二階單位陣,O是零矩陣.34矩陣按行(列)向量分塊在對(duì)矩陣進(jìn)行理論分析時(shí),經(jīng)常將他按行或列分塊：若令……則若令則35分塊矩陣的運(yùn)算用分塊的矩陣作矩陣加(減)法時(shí),必須使對(duì)應(yīng)的子塊具有相同的行數(shù)和列數(shù).即兩個(gè)矩陣的分塊方式完全相同。數(shù)k與分塊矩陣相乘時(shí),k應(yīng)與每一子塊相乘。分塊矩陣作矩陣乘法時(shí),應(yīng)使左矩陣的列分法與右矩陣的行分法相同。分塊矩陣轉(zhuǎn)置時(shí),首先把分塊矩陣的行列互換,然后將互換后的各子塊再轉(zhuǎn)置。36例題與講解例：設(shè)其中其中試求2A-B。解：37例題與講解例：設(shè)矩陣A,B分塊為試求AB。解：而所以38準(zhǔn)對(duì)角陣和四分塊陣四分塊陣準(zhǔn)對(duì)角陣39*分塊矩陣應(yīng)用（1）例：證明r(AB)min{r(A),r(B)}。證:設(shè)把矩陣A和C按列分塊為：則C=AB可寫成：即{C1,…Cn}可由{A1,…,As}線性表示.則r(AB)=r(C)r(A).即{C1,…Cn}的極大無(wú)關(guān)組可由{A1,…,As}的極大無(wú)關(guān)組線性表示.綜上，r(AB)min{r(A),r(B)}。40*分塊矩陣應(yīng)用（2）例:設(shè)矩陣A=(aij)mn,B=(bij)nt滿足AB=O且r(A)=r<n;試證明r(B)=n

-

r。證:把矩陣B按列分塊,設(shè)其中則由AB=O可得考慮齊次線性方程組AX=O,其中從而B的列向量B1,B2,…,Bt都是方程組AX=O的解向量.又因?yàn)閞(A)=r<n,方程組AX=O的任一基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為n

-

r,由此可得:41§3.4逆矩陣定義：對(duì)于n階方陣A,如果存在矩陣B使得AB=BA=E,則稱A為可逆矩陣,簡(jiǎn)稱A可逆;同時(shí)稱矩陣B為A的逆矩陣,記為A-1,即A-1=B。注1.逆矩陣只對(duì)方陣而言，且B與A為同階方陣。注2.A、B互為逆矩陣。即若A-1=B,則B-1=A。注3.若A可逆，則其逆矩陣是唯一的。(因?yàn)槿鬊、C都是A的逆矩陣,則有AB=BA=E,AC=CA=E于是B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C。)例：?jiǎn)挝痪仃嘐n可逆.事實(shí)上,因?yàn)镋n

En=En,所以(En)-1=En。42伴隨矩陣定義：設(shè)Aij是n階方陣A的行列式|A|中元素aij的代數(shù)余子式,稱矩陣為矩陣A的伴隨矩陣。例：解：43伴隨矩陣的重要性質(zhì)A*的重要性質(zhì)：AA*

=A*A=|A|E。因?yàn)橥?…00…000…………注意到：44可逆的充分必要條件定理：n階方陣A可逆的充要條件是|A|0,且當(dāng)A可逆時(shí),證明則存在，使得必要性：已知A可逆，又因?yàn)槌浞中裕阂阎?，由關(guān)系式即A可逆，且45例題與講解例:判斷A是否可逆,若可逆,求逆.其中解：=5≠0,A可逆。且所以該方法計(jì)算量太大,公式僅具有理論意義。46判別A、B互為逆矩陣的方法推論：設(shè)A、B均為n階矩陣,且AB=E,則A、B都可逆,且A-1=B,B-1=A。證明:由AB=E可得所以根據(jù)充要條件,A可逆且B也可逆.在AB=E兩邊左乘得:在AB=E兩邊右乘得:注:經(jīng)常利用這個(gè)推論來(lái)判斷B是否為A的逆矩陣?yán)喝鬉、B可逆,則證：(該結(jié)論可推廣到一般準(zhǔn)對(duì)角矩陣。)47例題與講解例：已知n階方陣A滿足2A(A-E)=A3,證明E-A可逆,且(E-A)-1=A2

-A+E.證明：可逆，且由推論知：48可逆矩陣的性質(zhì)性質(zhì)1.若A可逆,則A-1,A*也可逆,且(A-1)-1=A,(A*)-1=A/|A|.因?yàn)锳-1A=E,故A-1也可逆,(A-1)-1=A;又A*A=|A|E,故A*(A/|A|)=E.性質(zhì)2.若A,B為同階可逆陣,則AB可逆,且(AB)-1=B-1A-1.因?yàn)?AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=E,所以(AB)-1=B-1A-1.推廣：性質(zhì)3.若A可逆,則AT也可逆,且(AT)-1=(A-1)T.因?yàn)锳T(A-1)T=(A-1A)T=ET=E,所以(AT)-1=(A-1)T.性質(zhì)4.若A可逆,則性質(zhì)5.若A為n階可逆矩陣,則性質(zhì)6.若A可逆且k0,則kA可逆,(kA)-1=k-1A-1.49準(zhǔn)對(duì)角陣和四分塊陣的逆矩陣四分塊陣準(zhǔn)對(duì)角陣50練習(xí)*51練習(xí)解答*52§3.5初等矩陣一、初等矩陣及其性質(zhì)二、用初等變換求矩陣的逆 前面我們已經(jīng)看到了矩陣的初等變換在研究矩陣的秩以及解線性方程組時(shí),所起的重要作用。 本節(jié)將進(jìn)一步討論初等變換與初等矩陣乘法的關(guān)系以及用初等變換來(lái)求逆矩陣的實(shí)用方法。53初等矩陣的定義及類型定義：對(duì)單位矩陣E施行一次初等行變換(或初等列變換)所得到的矩陣,稱為初等矩陣。由于初等行(列)變換有對(duì)調(diào)、倍乘、倍加三大類型,它們分別作用于單位矩陣便可相應(yīng)地得到三種類型的初等矩陣： E[i,j]、E[i(k)]、E[i,j(k)]。54相應(yīng)于對(duì)調(diào)變換的初等陣對(duì)調(diào)E的i、j兩行(或i、j兩列),得到的矩陣。i行j行i列j列55相應(yīng)于倍乘變換的初等陣用非零數(shù)k乘與E的第i行(列)所得到的矩陣.i行i列56相應(yīng)于倍加變換的初等陣將E的第j行的k倍加到第i行所得到的矩陣。 (或?qū)的第i列的k倍加到第j列所得到的矩陣)j行×ki行i列×k57初等矩陣的性質(zhì)1.初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣.即2.初等矩陣都是可逆矩陣,其逆矩陣仍為初等陣.58初等變換與初等矩陣的關(guān)系定理：設(shè)A是mn矩陣,則 ①對(duì)A施行一次初等行變換所得到的矩陣,等于用同種m階初等矩陣左乘A； ②對(duì)A施行一次初等列變換所得到的矩陣,等于用同種n階初等矩陣右乘A。證明思路：對(duì)三種行變換、三種列變換分別給予證明。對(duì)行變換進(jìn)行證明時(shí),先將初等陣按行分塊,再觀察左乘A的結(jié)果；對(duì)列變換進(jìn)行證明時(shí),先將初等陣按列分塊,再觀察右乘A的結(jié)果。注：該定理把初等變換與初等陣乘法緊密聯(lián)系在一起,是對(duì)矩陣進(jìn)行理論分析的重要手段。(平行通道)59初等變換與初等陣關(guān)系詳解初等行變換與初等陣的左乘交換(ri),(rj)兩行k(ri)k(rj)+(ri)初等列變換與初等陣的右乘交換(ci),(cj)兩列k(ci)k(ci)+(cj)60等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形與初等陣定理：設(shè)矩陣A=(aij)mn的秩為r,則存在m階初等矩陣P1,P2,…,Ps和n階初等矩陣Q1,Q2,…,Qt,使得證明:因?yàn)榫仃嘇mn的秩為r,所以對(duì)A施行若干次初等變換,可以把A化為其等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形:若干次初等行變換若干次初等列變換r由初等變換與初等陣的關(guān)系可知,存在m階初等矩陣P1,P2,…,Ps和n階初等矩陣Q1,Q2,…,Qt,使得和n階初等矩陣Q1,Q2,…,Qt,使得61可逆矩陣與初等陣定理：n階矩陣A可逆的充分必要條件是A可以表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積。證明:(必要性)如果矩陣A可逆,則存在初等矩陣P1,P2,…,Ps和Q