線代第一章第1節(jié)課件

華南農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)系線性代數(shù)多媒體教學(xué)教程主講教師：陳銀輝第一章矩陣與線性方程組

第四章向量的內(nèi)積與二次型第六章Matlab

軟件的應(yīng)用第二章向量與線性方程組第五章線性空間與線性變換第三章矩陣的特征值與特征向量第一章矩陣與線性方程組§1

矩陣及其運(yùn)算§3行列式及其性質(zhì)§2

矩陣的初等變換與逆矩陣的求法1.1.1線性方程組及其矩陣表示m個(gè)方程，n個(gè)未知數(shù)線性方程組（由多個(gè)未知量多個(gè)一次方程組成)的一般形式為系數(shù)矩陣增廣矩陣定義稱為m行n列矩陣（Matrix）

，簡(jiǎn)稱其中諸叫做該矩陣的第i行第j列的元或者元素，矩陣可以簡(jiǎn)記矩陣矩陣常用大寫字母表示行矩陣（只有一行）列矩陣（只有一列）元素全是零的矩陣叫做零矩陣，記為O矩陣的行數(shù)和列數(shù)相等，稱之為方陣。我們把n行n列矩陣稱為n階方陣或n階矩陣，簡(jiǎn)稱n階陣上三角形矩陣下三角形矩陣幾種特殊形式的矩陣兩個(gè)矩陣行數(shù)相等，列數(shù)也相等時(shí)，就稱它們是同型矩陣定義那么就稱矩陣A與矩陣B相等，記作A=B一矩陣的加減法定義那么矩陣A與矩陣B的和記作A+B,規(guī)定為1.1.2矩陣的基本運(yùn)算及性質(zhì)對(duì)應(yīng)元素相加（i）A+B=B+A(交換律）（ii)(A+B)+C=A+(B+C)(結(jié)合律）(iii)A+O=O+A=A二矩陣的數(shù)乘運(yùn)算定義（1）（2）（3）（4）（5）（6）例練一練設(shè)兩個(gè)商店銷售三種電視機(jī)的數(shù)量由矩陣A表示長(zhǎng)虹康佳創(chuàng)維百佳華潤(rùn)三種電視機(jī)的零售單價(jià)由矩陣B表示長(zhǎng)虹康佳創(chuàng)維矩陣A表示兩車間生產(chǎn)三種產(chǎn)品的數(shù)量矩陣B表示三種產(chǎn)品的單位產(chǎn)品消耗兩種原料的數(shù)量車間一車間二面包蛋糕餅干面包蛋糕餅干糖面粉定義并記作C=AB例設(shè)求AB矩陣與矩陣相乘不滿足交換律，AB有意義，但BA不一定有意義例設(shè)AB求AB和BABAAB和BA都意義，但不同型例求AB和BAABBA=AB如果同階方陣A和B滿足AB=BA,則稱A與B可交換矩陣的乘法雖不滿足交換律，但仍滿足下列結(jié)合律和分配律(i)(AB)C=A(BC)(ii)(iii)轉(zhuǎn)置矩陣(Transpose)行列對(duì)調(diào)例運(yùn)算規(guī)律對(duì)稱矩陣如果方陣A滿足就稱A為對(duì)稱矩陣?yán)绶疥嘇為對(duì)稱矩陣矩陣A中關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱的每一對(duì)元素都相等反對(duì)稱矩陣如果方陣A滿足就稱A為反對(duì)稱矩陣方陣A為反對(duì)稱矩陣矩陣A中關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱的每一對(duì)元素互為相反數(shù)，主對(duì)角線上元素為0例如矩陣的冪設(shè)A是n階方陣，k為正整數(shù)，則表示k個(gè)A連乘,如設(shè)A為任意矩陣，則恒為方陣，且都是對(duì)稱矩陣設(shè)B為任意矩陣，則恒為對(duì)稱矩陣設(shè)矩陣A與B的行數(shù)相同，列數(shù)相同，采用相同的分塊法,有其中與的行數(shù)相同，列數(shù)相同，那么分塊矩陣的加法和數(shù)乘設(shè)為數(shù)，那么其中分塊矩陣的乘法分塊矩陣的轉(zhuǎn)置定義設(shè)A為n階方陣，若A的分塊矩陣只有在主對(duì)角線上有非零子塊，其余子塊都是零距陣，且非零子塊都是方陣，即其中都是方陣，稱A為分塊對(duì)角矩陣分塊對(duì)角矩陣定義設(shè)A為n階方陣。AB=BA=E就稱為A可逆矩陣，如果存在n階方陣B，使得并稱B為A的逆矩陣（簡(jiǎn)稱逆),記作性質(zhì)1如果A是可逆矩陣，則A的逆矩陣唯一證明設(shè)B和C都是A的逆矩陣，則AB=BA=E,AC=CA=EB=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C1.1.4逆矩陣(Inverse)性質(zhì)2如果矩陣A可逆，AB=EBA=E證明BA=E（BA）性質(zhì)3同理可以證明后一結(jié)論。如果方陣A可逆，則A的每一行都不能為零，A的每一列也都不能為零。證明假設(shè)A的第i行全都為零，則由矩陣乘法的定義可知的第i行全為零，這與矛盾。所以A的每一行都不能全為零。同理A的每一列也都不能為零。如果矩陣A可逆，BA=EAB=E性質(zhì)性質(zhì)4如果A和B為同階可逆矩陣，則AB可逆，且證明同理可得可推廣到有限個(gè)情形性質(zhì)1如果A是可逆矩陣，則A的逆矩陣唯一性質(zhì)2如果矩陣A可逆，AB=E