重積分總復(fù)習(xí)市公開課一等獎省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎?wù)n件

一、二重積分概念二、二重積分計算三、三重積分概念四、三重積分計算五、重積分應(yīng)用重積分復(fù)習(xí)

一、二重積分概念積分區(qū)域積分和被積函數(shù)積分變量被積表示式面積元素(一)、定義(二)、幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是以被積函數(shù)為曲頂、以積分區(qū)域為底曲頂柱體體積．當(dāng)被積函數(shù)小于零時，二重積分是曲頂柱體體積負值．(三)、物理意義平面薄片質(zhì)量設(shè)有一平面薄片,占有面上閉區(qū)域,在點處面密度為,

假定在上連續(xù),

平面薄片質(zhì)量(四)存在條件(五)性質(zhì)性質(zhì)２性質(zhì)３對區(qū)域含有可加性性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時，性質(zhì)４若為D面積，性質(zhì)５特殊地則有若在上性質(zhì)６（估值不等式）性質(zhì)７（二重積分中值定理）解解例3求極限其中為。解因為被積函數(shù)在區(qū)域上連續(xù)，依據(jù)積分中值定理知：存在使得解畢。二、二重積分計算(一)、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分其中函數(shù)、在區(qū)間上連續(xù).［先y后x］:平行于軸直線穿過區(qū)域內(nèi)部與其邊界最多交于兩點。［先x后y］平行于軸直線穿過區(qū)域內(nèi)部時與其邊界最多交于兩點。求二重積分步驟(1)畫出積分區(qū)域圖形,判斷類型;(2)定積分上下限(3)寫出二次積分再求即可.若區(qū)域如圖，則必須分割。在分割后三個區(qū)域上分別使用積分公式。假如被積函數(shù)含有等形式，則應(yīng)選擇先對積分。注：解積分區(qū)域如圖由其中與兩坐標(biāo)軸圍成.解:其中是由所圍區(qū)域,則等于()令由已知等式得兩邊在上取二重積分,則例2設(shè)連續(xù),且故選解得解(二)、利用極坐標(biāo)系計算二重積分解

在極坐標(biāo)系下

例2將(其中為圍成)化為極坐標(biāo)下累次積分.在極坐標(biāo)系下

解在極坐標(biāo)系下

解在極坐標(biāo)系下

解在極坐標(biāo)系下

解和在極坐標(biāo)系下

解例7

證三、三重積分概念定義：

物理意義:若,則三重積分值等于以為分布密度幾何體質(zhì)量.二重積分與三重積分有類似存在條件及性質(zhì).四、三重積分計算1.利用直角坐標(biāo)計算三重積分方法1.投影法(“先z后xy”)方法2平行截面法先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體經(jīng)過計算該物體質(zhì)量引出以下各計算密度函數(shù),方法:當(dāng)被積函數(shù)只含有一個變量用與此變量所在坐標(biāo)軸垂直平面截積分區(qū)域所截面面積輕易求出時，用平行截面法比較簡單。方法1.投影法(“先一后二”)該物體質(zhì)量為細長柱體微元質(zhì)量為記作解范圍:方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高柱形薄片質(zhì)量為該物體質(zhì)量為記作例

解解原式我們稱此種方法為平行截面法。當(dāng)被積函數(shù)只含有一個變量用與此變量所在坐標(biāo)軸垂直平面截積分區(qū)域所截面面積輕易求出時，用平行截面法比較簡單。2.利用柱坐標(biāo)計算三重積分就稱為點M柱坐標(biāo).直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)關(guān)系:坐標(biāo)面分別為圓柱面半平面平面如圖所表示,在柱面坐標(biāo)系中體積元素為所以其中適用范圍:當(dāng)積分區(qū)域由柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面圍成且被積函數(shù)含有以下形式：例（970105）計算其中為平面曲線解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為繞軸旋轉(zhuǎn)一周形成曲面與平面所圍成區(qū)域。xyzo3.利用球坐標(biāo)計算三重積分就稱為點M球坐標(biāo).直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)關(guān)系坐標(biāo)面分別為球面半平面錐面如圖所表示,在球面坐標(biāo)系中體積元素為所以有其中適用范圍:當(dāng)積分區(qū)域由球面與錐面，球面與平面圍成且被積函數(shù)含有以下形式：例計算其中解解小結(jié)：1當(dāng)積分區(qū)域由柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面圍成且被積函數(shù)含有以下形式：時用柱坐標(biāo)。2當(dāng)積分區(qū)域由球面與錐面，球面與平面圍成且被積函數(shù)含有形式時用球坐標(biāo)。２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上關(guān)于三 個坐標(biāo)軸補充：利用對稱性化簡三重積分計算使用對稱性時應(yīng)注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面對稱性；奇偶性．解積分域關(guān)于三個坐標(biāo)面都對稱，被積函數(shù)是奇函數(shù),例8

解利用球面坐標(biāo)五、重積分應(yīng)用★

二重積分1:二重積分被積函數(shù)等于1時,二重積分值等于積分區(qū)域面積.所以我們能夠利用二重積分求平面圖形面積.2:由二重積分幾何意義可知,二重積分可用來求體積.(當(dāng)被積函數(shù)大于零時，二重積分是以被積函數(shù)為曲頂、以積分區(qū)域為底曲頂柱體體積．)一、平面面積、體積、質(zhì)量3:由二重積分物理意義可知,二重積分可用來求平面薄片質(zhì)量.例1求由曲面與曲面所圍成立體體積.解由得從而投影曲線例2求面密度為圓板質(zhì)量.解由二重積分物理意義可知設(shè)光滑曲面設(shè)它在D上則(二)、★曲面面積投影為d

,若光滑曲面方程為則有若光滑曲面方程為則有解上半球面在面上投影由得令所以,整個球面面積為

占有空間有界域

空間形體，體密度為空間形體質(zhì)量(二)、★三重積分

占有空間有界域

空間形體體積為

占有空間有界域

空間形體，體密度為空間形體質(zhì)量例求由曲面與曲面所圍成立體體積.*用三重積分計算*(三)、物體重心若物體為占有xoy面上區(qū)域D平面薄片,則它質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度—對x軸

靜矩—對y軸