2022-2023學年福建省泉州市晉峰中學高三數(shù)學文期末試卷含解析

2022-2023學年福建省泉州市晉峰中學高三數(shù)學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知直線經(jīng)過點和點，則直線的斜率為（

）A．B．C．D．不存在參考答案：B略2.定義集合運算：，設集合A＝{0，1}，B＝{1，2}，則集合的子集個數(shù)為（

）

A．4

B．8

C．16

D．32參考答案：B3.在長為的線段上任取一點，分別以線段的長為鄰邊做一個矩形，則該矩形面積大于的概率為（

）

參考答案：B略4.已知向量=，=，則（+）?=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2參考答案：C【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【分析】先計算和，再利用數(shù)量積的運算律計算．【解答】解：∵=（）2+（）2=1，=+=0，∴（+）?=+=1+0=1，故選C．5.已知數(shù)陣中，每行的3個數(shù)依次成等差數(shù)列，每列的3個數(shù)也依次成等差數(shù)列，若，則這9個數(shù)的和為(

)A．16

B．18

C．9

D．8參考答案：B略6.若復數(shù)Z=（a∈R，i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則在復平面內Z對應點的坐標為(

)A．（0，2） B．（0，3i） C．（0，3） D．（0，2i）參考答案：C【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【專題】數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)為純虛數(shù)求得a值，則答案可求．【解答】解：∵Z==是純虛數(shù)，∴，即a=6．∴Z=3i．∴在復平面內Z對應點的坐標為（0，3）．故選：C．【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎的計算題．7.函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，且函數(shù)在點處的切線為，如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，且，那么（

）A．是的極大值點

B．=是的極小值點

C．不是極值點

D．是極值點參考答案：B略8.已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)A．1

B．

C．

D．2

參考答案：C9.（5分）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（）A．y=xB．y=2x2﹣3C．D．y=x2，x∈[0，1]參考答案：B對于A，f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），是奇函數(shù)對于B，定義域為R，滿足f（x）=f（﹣x），是偶函數(shù)對于C，定義域為[0，+∞）不對稱，則不是偶函數(shù)；對于D，定義域為[0，1]不對稱，則不是偶函數(shù)故選B．10.已知函數(shù)那么的值是(

)A.0

B.1

C.ln(ln2)

D.2參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知是雙曲線-的左焦點，是雙曲線的虛軸，是的中點，過的直線交雙曲線于點，且，則雙曲線的離心率是

．參考答案：12.已知，，且，則

．參考答案：13.定義在上的函數(shù),如果存在函數(shù)為常數(shù),使得對一切實數(shù)都成立,則稱為函數(shù)的一個“承托函數(shù)”.現(xiàn)有如下命題：①對給定的函數(shù),其承托函數(shù)可能不存在,也可能有無數(shù)個；②為函數(shù)的一個承托函數(shù)；③定義域和值域都是的函數(shù)不存在承托函數(shù).其中正確的命題是

參考答案：對于①,若,則,就是它的一個承托函數(shù),且有無數(shù)個.又就沒有承托函數(shù),∴①正確；對于②,∵時,,,∴,∴不是的一個承托函數(shù)；對于③,若定義域和值域都是的函數(shù),則是的一個承托函數(shù).略14.已知曲線C的極坐標方程為，把曲線C的極坐標方程轉化為直角坐標方程為

。參考答案：15.設，則

。參考答案：由，得，即，平方得，所以。16.已知向量、的夾角為150°，，，則=

.參考答案：117.平面向量，，滿足，，，則向量與夾角為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數(shù)f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax（a∈R）．（1）試討論函數(shù)f（x）的單調性；（2）如果a＞0且關于x的方程f（x）=m有兩解x1，x2（x1＜x2），證明x1+x2＞2a．參考答案：【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；（2）得，把=代入（*）式，令，得只需證．令（0＜t＜1），根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可．【解答】解：（1）由f（x）=﹣a2lnx+x2﹣ax，可知=．因為函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），所以，①若a＞0，則當x∈（0，a）時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減，當x∈（a，+∞）時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增；②若a=0，則當f'（x）=2x＞0在x∈（0，+∞）內恒成立，函數(shù)f（x）單調遞增；③若a＜0，則當時，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減，當時，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增．（2）要證x1+x2＞2a，只需證．設g（x）=f'（x）=﹣，因為，所以g（x）=f'（x）為單調遞增函數(shù)．所以只需證，即證，只需證．（*）又，，所以兩式相減，并整理，得．把=代入（*）式，得只需證，可化為．令，得只需證．令（0＜t＜1），則=，所以φ（t）在其定義域上為增函數(shù)，所以φ（t）＜φ（1）=0．綜上得原不等式成立．【點評】本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及不等式的證明，考查轉化思想以及換元思想，是一道綜合題．19.(本題滿分13分)某網(wǎng)站用“10分制”調查一社區(qū)人們的幸福度。現(xiàn)從調查人群中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉）：

幸福度730

8666677889997655

（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；

（2）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸?！?。求從這16人中隨機選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕剩?（3）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記表示“極幸?！钡娜藬?shù)，求的分布列及數(shù)學期望。參考答案：解：（Ⅰ）眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75

……………2分（2）設表示所取3人中有個人是“極幸福”，至多有1人是“極幸?！庇洖槭录?，則分20.(本題滿分18分）已知半橢圓與半橢圓組成的曲線稱為“果圓”，其中。如圖，設點，，是相應橢圓的焦點，，和，是“果圓”與，軸的交點，（1）若三角形是邊長為1的等邊三角形，求“果圓”的方程；（2）若，求的取值范圍；（3）一條直線與果圓交于兩點，兩點的連線段稱為果圓的弦。是否存在實數(shù)，使得斜率為的直線交果圓于兩點，得到的弦的中點的軌跡方程落在某個橢圓上？若存在，求出所有的值；若不存在，說明理由。參考答案：（1），，

于是，所求“果圓”方程為

，

（2）由題意，得

，即．

，，得．

又．

．

（3）設“果圓”的方程為，．

記平行弦的斜率為．當時，直線與半橢圓的交點是，與半橢圓的交點是．的中點滿足得．

，．

綜上所述，當時，“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上．

當時，以為斜率過的直線與半橢圓的交點是．

由此，在直線右側，以為斜率的平行弦的中點軌跡在直線上，即不在某一橢圓上．

當時，可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上．21.已知橢圓E：過點P（1，），離心率e=，右頂點為A，右焦點為F．（1）求橢圓E的標準方程；（2）若經(jīng)過F的直線l（不與x軸重合）交橢圓E與B，C兩點，延長BA，CA，分別交右準線于M，N兩點．求證：FN⊥FM．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【分析】（1）利用橢圓E：過點P（1，），離心率e=，確定橢圓的幾何量，即可求橢圓E的標準方程；（2）分類討論，確定直線BA、CA的方程，求出M、N的坐標，利用驗證向量的數(shù)量積為0，即可證得結論．【解答】（1）解：由題意，∵橢圓E：過點P（1，），離心率e=，∴，∵a2=b2+c2∴a2=4，b2=3∴橢圓E的標準方程為．…（2）證明：由（1）知，A（2，0），F(xiàn)（1，0），右準線方程為x=4．當直線l與x軸垂直時，l方程為x=1，可得B，C兩點坐標分別為，．所以直線BA方程為，當x=4時，得y=﹣3，即M（4，﹣3）；直線CA方程為，當x=4時，得y=3，即N（4，3）．因此∴，即FN⊥FM．…當直線l與x軸不垂直時，設其方程為y=k（x﹣1）（k≠0）．由題意得，解之得x=，代入直線l方程得B（），C（）．…直線BA方程為，當x=4時，得M（4，），所以=（3，）．…同理可求得=（3，）．…∴=9+=9+=0，∴FN⊥FM．綜上，對于任意與x軸不重合的直線l，都有FN⊥FM．…22.已知，函數(shù)的最小值為1.（1）求證：；（2）若恒成立，求實數(shù)的最大值.參考答案：（Ⅰ）詳見解析，（Ⅱ）實數(shù)的最大值為.試題分析：（1）根據(jù)絕對值