2023屆江西省百校聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆江西省百校聯(lián)盟高三上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知命題：，，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由特稱命題的否定可直接得到結(jié)果.【詳解】由特稱命題的否定知：，.故選：D.2．已知a，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得充分性成立，舉出反例推出必要性不成立，得到答案.【詳解】因?yàn)閱握{(diào)遞增，且定義域?yàn)?，由“”成立可推出，繼而可得到；當(dāng)時(shí)，比如，，此時(shí)無意義，故推不出，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)可求得，再根據(jù)題意求得，進(jìn)而根據(jù)交集集運(yùn)算求解.【詳解】由解得，則，∵，則，∴，則，．故選：B．4．在中，點(diǎn)D滿足．記，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平面向量的基底運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】如圖所示，由圖易得，，故．故選:C．5．若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用商數(shù)關(guān)系式和二倍角公式化簡題設(shè)中的三角函數(shù)式可得，再根據(jù)二倍角的余弦公式可求的值.【詳解】因?yàn)椋?，故，因?yàn)?，故，所以，所以即，故，故選：D.6．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后判斷導(dǎo)函數(shù)的奇偶性，最后根據(jù)圖像特征，通過賦值法判斷的符號即可求解.【詳解】∵，∴，∴，∴為奇函數(shù)，從而的圖像在區(qū)間上關(guān)于原點(diǎn)對稱，由此可排除選項(xiàng)A、B，又∵，排除D，從而答案為C.故選：C.7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，滿足對任意，都有，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知函數(shù)圖像的對稱軸是直線，進(jìn)而得函數(shù)在上單調(diào)遞減，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間求解即可.【詳解】解：由，得函數(shù)圖像的對稱軸是直線，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得．所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：C．8．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．直線是圖像的一條對稱軸B．圖像的一個(gè)對稱中心為C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．將的圖像向左平移個(gè)單位長度后，可得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像【答案】B【分析】根據(jù)圖像最高點(diǎn)得到，由周期得到，再將點(diǎn)代入函數(shù)解析式中求得，再根據(jù)正弦型函數(shù)的圖像性質(zhì)，對選項(xiàng)逐一判斷即可得到結(jié)果.【詳解】由函數(shù)圖像可知，，最小正周期為，，將點(diǎn)代入函數(shù)解析式中，得：，結(jié)合，，故．A選項(xiàng)．當(dāng)時(shí)，，故直線不是圖像的一條對稱軸，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)．令，則，，當(dāng)時(shí)，，即圖像的一個(gè)對稱中心為，故B正確；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，由于正弦函數(shù)在上遞增，故在區(qū)間不是單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，將的圖像向左平移個(gè)單位長度后，得到的圖像，該函數(shù)不是偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選:B．9．設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造且、，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即可判斷a、b、c的大小關(guān)系.【詳解】由，令且，則，所以在上遞增，故，所以，即，故；由，設(shè)，則，，，在上單調(diào)遞增，故，，即．綜上，.故選：A10．奔馳定理：已知點(diǎn)O是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于點(diǎn)P，則利用垂心的性質(zhì)結(jié)合三角形面積的求法可得，再利用和可得，不妨設(shè)，利用可求出的值，從而可求出的值.【詳解】延長交于點(diǎn)P，是的垂心，，．同理可得，．又，．又，．不妨設(shè)，其中．，，解得．當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則A，B，C都是鈍角，不合題意，舍掉．故，則，故C為銳角，∴，解得，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查向量的線性運(yùn)算，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用垂心的性質(zhì)得，再結(jié)合已知條件得，設(shè)，再利用兩角和的正切公式可得，從而可求得結(jié)果，考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.11．已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（

）A．是的一個(gè)周期 B．在區(qū)間單調(diào)遞減C．是偶函數(shù) D．在區(qū)間只有1個(gè)零點(diǎn)【答案】C【分析】根據(jù)周期性的定義判斷A，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的單調(diào)性，即可判斷B，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷C，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理判斷D；【詳解】解：對于A：，故A錯(cuò)誤；對于B：當(dāng)時(shí)，，，則在上，，，，單調(diào)遞減；在上，，，，單調(diào)遞增，故在上不單調(diào)，B錯(cuò)誤；對于C：定義域?yàn)?，且，，，故是偶函?shù)，故C正確；當(dāng)，，，所以，則在區(qū)間無零點(diǎn)，在上單調(diào)遞減，，，由零點(diǎn)存在定理可知在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，同理：可證在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，D錯(cuò)誤．故選：C．12．已知，，其中，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，可知與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)可得的圖象，數(shù)形結(jié)合可知，則令，結(jié)合已知等式可用表示出，得到；令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，從而推導(dǎo)得到，由此可得的取值范圍.【詳解】由得：，設(shè)，則與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，可作出大致圖象如下圖所示，由圖象可知：，，設(shè)；由得：，則，，，，令，則，令，則，令，則，在上單調(diào)遞減，，即，在上單調(diào)遞減，，即，在上單調(diào)遞減，，即，，則，，又恒成立，的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，本題求解的關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知等式將表示為關(guān)于變量的函數(shù)的形式，采用數(shù)形結(jié)合的方式確定的范圍后，利用導(dǎo)數(shù)求得關(guān)于的函數(shù)的最值，從而求得的范圍.二、填空題13．已知曲線在處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)________．【答案】?12-0.5【分析】求導(dǎo)，得到曲線在的導(dǎo)數(shù)值，即斜率。然后根據(jù)與直線垂直，得到斜率乘積為，即可得到結(jié)果.【詳解】，，曲線在處的切線斜率為，直線的斜率為m，曲線在處的切線與直線垂直，，．故答案為：-0.514．已知為R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則________．【答案】【分析】先利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得，然后根據(jù)已知的解析式可求出的值，從而可求得答案.【詳解】因?yàn)闉镽上的奇函數(shù)，所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以，即因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以．故答案為：15．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，若S為的面積，則的最小值為______.【答案】【分析】應(yīng)用正弦定理邊角關(guān)系、和角正弦公式可得，根據(jù)三角形性質(zhì)有，再應(yīng)用余弦定理、三角形面積公式以及基本不等式求目標(biāo)式的最小值，注意取最小值的條件.【詳解】由題設(shè)及正弦定理邊角關(guān)系，，即，而，故，又，則，故，而，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故的最小值為.故答案為：16．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程恰好有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么的值為___________.【答案】【分析】先依題意畫函數(shù)圖象，令，判斷方程有兩個(gè)不同t根，分別與圖象有3和4個(gè)交點(diǎn)，即得、，再利用韋達(dá)定理去求參數(shù)即得的值.【詳解】根據(jù)已知部分的函數(shù)解析式和偶函數(shù)對稱性，畫圖象如圖，令，則原方程可化為，根據(jù)圖象可知，要使原方程恰好有個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，只需有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根、，由韋達(dá)定理可知，，，解得，，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根或已知根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(或取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.三、解答題17．設(shè)命題對任意，不等式恒成立，命題存在，使得不等式成立．(1)若p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)若為假命題，為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題知，恒成立，進(jìn)而求函數(shù)在上的最小值，并解二次不等式即可得答案；（2）若為真，則，進(jìn)而得，再結(jié)合題意，分若q為假命題，p為真命題和若p為假命題，q為真命題兩種情況討論求解即可.【詳解】(1)解：若為真，恒成立，因?yàn)?，函?shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，，解得：．所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2)解：若為真，存在，使得不等式成立，所以，只需，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，，所以，，即；若為假命題，為真命題，則p，q一真一假．若q為假命題，p為真命題，則，即；若p為假命題，q為真命題，則，即．綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．18．在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角B的大??；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量的數(shù)量積公式整理等式為，利用正弦定理化邊為角，結(jié)合正弦的和角公式，整理即可求解；（2）由切化弦公式整理等式為，利用正弦定理化角為邊，結(jié)合（1）中可得，再根據(jù)余弦定理表示可得，，等式兩邊同時(shí)除以，可求得的值，即可求解.【詳解】(1)由題意得，所以，則由正弦定理得，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以?2)，則，又，可得，因?yàn)?，所以，則，所以，所以，則．19．函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，為圖象的最高點(diǎn)，、為圖象與軸的交點(diǎn)，且為正三角形.（1）求的值及函數(shù)的值域；（2）若，且，求的值.【答案】（2），函數(shù)的值域?yàn)?（2）.【分析】(1)將函數(shù)化簡整理，根據(jù)正三角形的高為，可求出，進(jìn)而可得其值域；(2)由得到，再由求出，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】(1)由已知可得，又正三角形的高為，則，所以函數(shù)的最小正周期，即，得，函數(shù)的值域?yàn)椋?2)因?yàn)?，?1)得，即，由，得，即＝，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟記正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.20．已知函數(shù)．(1)若0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）0是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則直接由得出答案，后多次求導(dǎo)檢驗(yàn)即可；（2）在R上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，再通過參變分離得，構(gòu)建新函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可得出答案.【詳解】(1)由題意得：，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，，故．檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，令，則，所以，得，則在上遞增，，則時(shí)，，時(shí)，，則在上遞減，在上遞增，故是函數(shù)的極小值點(diǎn)．(2)，，若在R上是增函數(shù)，即恒成立，得，設(shè)，則，令得，令得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，故．21．江西某中學(xué)校園內(nèi)有塊扇形空地，經(jīng)測量其半徑為，圓心角為，學(xué)校準(zhǔn)備在此扇形空地上修建一所矩形室內(nèi)籃球場，初步設(shè)計(jì)方案1如圖1所示．(1)取弧的中點(diǎn)，連接，設(shè)，試用表示方案1中矩形的面積，并求其最大值；(2)你有沒有更好的設(shè)計(jì)方案2來獲得更大的籃球場面積？若有，在圖2中畫出來，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)答案見解析(2)有，作圖見解析，證明見解析【分析】（1）用表示表示、，結(jié)合三角恒等變換化簡矩形面積的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的基本性質(zhì)可求得矩形面積的最大值；（2）在半徑上截取線段為矩形的一邊，作得矩形，設(shè)，，化簡矩形面積關(guān)于的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的基本性質(zhì)可求得矩形面積的最大值，比較兩個(gè)方案中矩形面積的大小，即可得解.【詳解】(1)解：如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，顯然矩形關(guān)于對稱，而點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，，．在中，，，，，即，而，故矩形的面積．，，．故當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，此時(shí)，矩形面積的最大值為．(2)解：如圖所示，在半徑上截取線段為矩形的一邊，作得矩形，設(shè)，，可得，，則，所以矩形的面積為，，可得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最大值為，即教室面積的最大值為，現(xiàn)將兩種方案的最大值進(jìn)行比較大?。?，方案2更合算．22．已知函數(shù)．(1)若時(shí)，試討論的單調(diào)性；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍．【答案】(1)具體見解析(2)或【分析】（1）由題意，明確函數(shù)解析式，求導(dǎo)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，討論導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的取值范圍，可得答案；（2）先研究時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，再根據(jù)零點(diǎn)的定義，驗(yàn)證不是零點(diǎn)，整理函數(shù)，化簡研究存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，可得答案.【詳解】(1)，，，若，則令，解得，，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，令，得，①當(dāng)，即時(shí)，，解得或，在和上單調(diào)遞減，，解得，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，，解得或，在和上單調(diào)遞減，，解得，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)，即時(shí)，恒成立，故在單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．(2).當(dāng)時(shí)，，，令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞