數(shù)學(xué)期望和方差課件

分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，但在實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的分布函數(shù)較難確定，而它的一些數(shù)字特征較易確定．并且在很多實(shí)際問題中，只需知道隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征也就夠了.另一方面，對于一些常用的重要分布，如二項(xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等，只要知道了它們的某些數(shù)字特征，就能完全確定其具體的分布.第四章 數(shù)學(xué)期望和方差 分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，但在實(shí)際問題中

隨機(jī)變量的平均取值——數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量取值平均偏離平均值的情況——方差描述兩個隨機(jī)變量之間的某種關(guān)系的數(shù)——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容隨機(jī)變量的平均取值——數(shù)學(xué)期望本引例:測量50個圓柱形零件直徑(見下表)

則這50個零件的平均直徑為尺寸（cm）89101112數(shù)量（個）8715101050§4.1數(shù)學(xué)期望引例:測量50個圓柱形零件直徑(見下表)換個角度看,從這50個零件中任取一個,它的尺寸為隨機(jī)變量X,則X

的概率分布為XP

89101112則這50個零件的平均直徑為稱之為這5個數(shù)字的加權(quán)平均,數(shù)學(xué)期望的概念源于此.換個角度看,從這50個零件中任取一個,它XP8數(shù)學(xué)期望的定義定義1.1

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為若無窮級數(shù)絕對收斂，則稱其和為隨機(jī)變量

X

的數(shù)學(xué)期望或均值，記作E(X).數(shù)學(xué)期望的定義定義1.1 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為若常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望0－1分布

這時(shí)P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.

故

E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)=p.常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望0－1分布(2)二項(xiàng)分布X的取值為0,1,…,n.且

P(X=k)=Cnk

pk

(1-p)n-k,k=0,1,…,n.(2)二項(xiàng)分布X的取值為0,1,…,n.且(3)泊松分布X的可能取值為0,1,2,…，且(3)泊松分布X的可能取值為0,1,2,…，且(4)幾何分布X的可能取值為1,2,…,且P(X=k)=qk-1p,k=1,2,….p+q=1.(4)幾何分布X的可能取值為1,2,…,且注:在第三個等號中利用了等式這可以由等式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)數(shù)得到.注:在第三個等號中利用了等式這可以由等式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)數(shù)得例1 對產(chǎn)品進(jìn)行抽樣，只要發(fā)現(xiàn)廢品就認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格，并結(jié)束抽樣。若抽樣到第n件仍未發(fā)現(xiàn)廢品則認(rèn)為這批產(chǎn)品合格.假設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大，抽查到廢品的概率是p，試求平均需抽查的件數(shù).例1 對產(chǎn)品進(jìn)行抽樣，只要發(fā)現(xiàn)廢品就認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格，并結(jié)解：設(shè)X為停止檢查時(shí)，抽樣的件數(shù)，則X的可能取值為1,2,…,n，且解：設(shè)X為停止檢查時(shí)，抽樣的件數(shù)，則X的可能取值為1,2,…數(shù)學(xué)期望和方差課件定義1.2

設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為f(x)，若積分絕對收斂，則稱此積分為隨機(jī)變量X

的數(shù)學(xué)期望或均值，記作E(X).注意：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)就是加權(quán)平均數(shù)，它是一個數(shù)，不再是隨機(jī)變量。定義1.2 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為f(x)常見連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望

(5)指數(shù)分布E()隨機(jī)變量X的密度為：常見連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望

(5)指數(shù)分布E()隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差課件設(shè)X的數(shù)學(xué)期望有限,概率密度f(x)關(guān)于定理1證明 g(x)是奇函數(shù).設(shè)X的數(shù)學(xué)期望有限,概率密度f(x)關(guān)于定理1證推論推論例2設(shè)X的概率密度為：求E(X).解:注:由于f(x)是偶函數(shù)，由定理1.1也知E(X)=0.例2設(shè)X的概率密度為：求E(X).解:注:由于f(x)是注意：不是所有的隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望.例如：Cauchy分布的密度函數(shù)為但發(fā)散.它的數(shù)學(xué)期望不存在.注：雖然f(x)是偶函數(shù)，但不能用定理1.1.注意：不是所有的隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望.例如：Cauchy分布

設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的數(shù)學(xué)期望，而是X的某個函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，比如說g(X)的數(shù)學(xué)期望.那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？更一般的，已知隨機(jī)向量(X1,X2…,Xn)的聯(lián)合分布，

Y=

g(X1,X2…,Xn)是(X1,X2…,Xn)的函數(shù),需要計(jì)算Y的數(shù)學(xué)期望，應(yīng)該如何計(jì)算呢？我們下面就來處理這個問題.§4.2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的數(shù)A.隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

設(shè)X=(X1,…,Xn)為離散型隨機(jī)向量，概率分布為Z=g(X1,…,Xn),若級數(shù)絕對收斂，則A.隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)X=(X1,…,Xn)隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（續(xù)）

設(shè)X=(X1,…,Xn)為連續(xù)型隨機(jī)向量，聯(lián)合密度函數(shù)為

Z=g(X1,…,Xn),若積分絕對收斂，則隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（續(xù)）設(shè)X=(X1,…,Xn)為例3 設(shè)離散型隨機(jī)向量X的概率分布如下表所示，求Z=X2的期望.X0

?11

E(Z)=g(0)0.5+g(-1)0.25+g(1)0.25解:=0.5注:這里的

例3 設(shè)離散型隨機(jī)向量X的概率分布如下表所示，求Z=X2的期例4

設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125解:=4.25注:這里的例4 設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求例5

設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),

Y=eaX,求E(Y).解:例5 設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),解:例6

設(shè)X~

U[0,],Y=sinX,求E(Y).解:X的概率密度為所以例6 設(shè)X~U[0,],Y=sinX,求E(Y例7解：(1)設(shè)整機(jī)壽命為N,

五個獨(dú)立元件,壽命分別為都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，若將它們(1)串聯(lián)；(2)并聯(lián)成整機(jī)，求整機(jī)壽命的均值.

例7解：(1)設(shè)整機(jī)壽命為N,五個獨(dú)立元件,壽命分別即

N~E(5),

(2)設(shè)整機(jī)壽命為M,即N~E(5),(2)設(shè)整機(jī)壽命為M,

可見，并聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命比串聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命長11倍之多.注：128頁的4.20與此例為同一模型?？梢姡⒙?lián)組成整機(jī)的平均壽命比串聯(lián)組成整機(jī)的平均壽B.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

E(C)=C

E(aX)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y).B.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E(C)=CE(aX)注：性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互獨(dú)立.注：性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X反例XYpij-101-1010p?jpi?反例XYpij-10XY

P-101但XYP-10

若X≥0，且EX存在，則EX≥0.推論:

若X≤Y，則EX≤EY.證明：設(shè)

X為連續(xù)型，密度函數(shù)為f(x),則由X≥0得：所以證明：由已知Y-X≥0，則E(Y-X)≥0.而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)≤E(Y).若X≥0，且EX存在，則EX≥0.推論:若X≤例1性質(zhì)2和3性質(zhì)4 設(shè)X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X與Y相互獨(dú)立，求E(3X＋2XY－Y＋5).解：由已知，有E(X)＝10,E(Y)＝3.例1性質(zhì)2和3性質(zhì)4 設(shè)X～N(10,4)，Y～U[1,5例2 二項(xiàng)分布B(n,p),設(shè)單次實(shí)驗(yàn)成功的概率是p，問n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，期望幾次成功？解:引入則

X＝是n次試驗(yàn)中的成功次數(shù).因此，這里，X～B(n,p).例2 二項(xiàng)分布B(n,p),設(shè)單次實(shí)驗(yàn)成功的概率是p，例3

將4個可區(qū)分的球隨機(jī)地放入4個盒子中，每盒容納的球數(shù)無限，求空著的盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解一:設(shè)

X為空著的盒子數(shù),則X的概率分布為XP0123例3 將4個可區(qū)分的球隨機(jī)地放入4個盒子中，每盒容納解二:再引入Xi,i=

1,2,3,4.Xi

P10解二:再引入Xi,i=1,2,3,4.Xi例4

將n個球放入M個盒子中,設(shè)每個球落入各個盒子是等可能的,求有球的盒子數(shù)X的期望.解:引入隨機(jī)變量:則X=X1+X2+…+XM,于是E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(XM).每個隨機(jī)變量Xi都服從兩點(diǎn)分布,i=1,2,…,M.例4 將n個球放入M個盒子中,設(shè)每個球落入各個盒子是等可能的 因?yàn)槊總€球落入每個盒子是等可能的均為1/M，所以，對第i個盒子,沒有一個球落入這個盒子內(nèi)的概率為(1-1/M).

故，n個球都不落入這個盒子內(nèi)的概率為(1-1/M)n，即 因?yàn)槊總€球落入每個盒子是等可能的均為1/M，所以，對第i個注：129頁4.27以此題為模型.注：129頁4.27以此題為模型.§4.2隨機(jī)變量的方差

前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均,是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征.

但是在一些場合，僅僅知道隨機(jī)變量取值的平均是不夠的.§4.2隨機(jī)變量的方差 前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例如，甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近，所以乙炮的射擊效果好.

中心中心例如，甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的

為此需要引進(jìn)另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這個數(shù)字特征就是我們下面要介紹的方差為此需要引進(jìn)另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值A(chǔ).方差的概念設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X),若E(X-E(X))2存在,則稱它為X的方差（此時(shí)，也稱X的方差存在)，記為Var(X)或D(X),即定義稱Var(X)的算術(shù)平方根為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為(X).Var(X)=E(X-E(X))2A.方差的概念設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X),若E(若X的取值比較分散，則方差較大.刻劃了隨機(jī)變量的取值相對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度.若X的取值比較集中，則方差較??；Var(X)=E[X-E(X)]2

方差若X的取值比較分散，則方差較大.刻劃了隨機(jī)變量的取值相對于其注意：1)Var(X)0，即方差是一個非負(fù)實(shí)數(shù).2）當(dāng)X服從某分布時(shí)，我們也稱某分布的方差為Var(X).方差是刻劃隨機(jī)變量取值的分散程度的一個特征.注意：1)Var(X)0，即方差是一個非負(fù)實(shí)數(shù).方差的計(jì)算公式(1)若X為離散型，概率分布為(2)若X為連續(xù)型，概率密度為f(x),則則方差的計(jì)算公式(1)若X為離散型，概率分布為(2)若X計(jì)算方差常用的公式證明:計(jì)算方差常用的公式證明:常見隨機(jī)變量的方差

(1)參數(shù)為p的0－1分布

概率分布為：前面已經(jīng)計(jì)算過：E(X)=p，又所以常見隨機(jī)變量的方差

(1)參數(shù)為p的0－1分布概率分

(2)二項(xiàng)分布B(n,p)

概率分布為：

已計(jì)算過：E(X)=np，又

所以(2)二項(xiàng)分布B(n,p)概率分布為：已計(jì)算過：E(

(3)泊松分布P(λ)

概率分布為：

已計(jì)算過：E(X)=λ，又

所以(3)泊松分布P(λ)概率分布為：已計(jì)算過：E(X)=

(4)區(qū)間[a,b]上的均勻分布U[a,b]

概率密度為：

已計(jì)算過：E(X)=(a+b)/2，又

所以(4)區(qū)間[a,b]上的均勻分布U[a,b]概率密度為：

(5)指數(shù)分布E(λ)

概率密度為：

已計(jì)算過：E(X)=1/λ，又

所以(5)指數(shù)分布E(λ)概率密度為：已計(jì)算過：E(X)(6)正態(tài)分布N(,2)

概率密度為：

已計(jì)算過：E(X)=

，所以(6)正態(tài)分布N(,2)概率密度為：已計(jì)算過：EB.方差的性質(zhì)性質(zhì)1 若X=C，C為常數(shù)，則

Var(X)=0.性質(zhì)2

若b為常數(shù),隨機(jī)變量X的方差存在，則bX的方差存在,且Var(bX)=b2Var(X)Var(aX+b)=a2Var(X)結(jié)合性質(zhì)1與性質(zhì)2就有B.方差的性質(zhì)性質(zhì)1 若X=C，C為常數(shù)，則性質(zhì)2 若b性質(zhì)3 若隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的方差都存在，則X1+X2+...+Xn的方差存在，且性質(zhì)3 若隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的方差都存在性質(zhì)4若隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，則n＝2時(shí)就有Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2E(X-EX)(Y-EY)若X,Y獨(dú)立，Var(XY)=Var(X)+Var(Y)性質(zhì)4若隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，則n＝2性質(zhì)5 對任意常數(shù)C,Var(X)

E(X–C)2,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X).性質(zhì)5 對任意常數(shù)C,Var(X)E(X–C)性質(zhì)6注:以后若無特殊說明,都認(rèn)為隨機(jī)變量的方差大于0.Var(X)=0P(X=E(X))=1稱X以概率1等于常數(shù)E(X).性質(zhì)6注:以后若無特殊說明,都認(rèn)為隨機(jī)變量的方差大于0.例1 設(shè)X~B(n,p)，求Var(X).解：

引入隨機(jī)變量故則由于相互獨(dú)立，且例1 設(shè)X~B(n,p)，求Var(X).解：例2 （標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量） 設(shè)隨機(jī)變量

X

的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,則稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.顯然，例2 （標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量） 設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)、例3則:

設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，有共同的期望和方差，證明:例3則: 設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，有共同的期望例4

已知隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，且每個Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+…+Xn.求E(Y2).解：由已知，則有因此，例4 已知隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，且每個Xi的例5

設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(1,2),Y～N(0,1),

試求Z=2X-Y+3的期望和方差.

由已知，有E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=0,D(Y)=1,

且X和Y獨(dú)立.因此，解:例5 設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(1,2),D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9.E(Z)=2E(X)－E(Y)+3=2+3=5,注：由此可知Z～N（5,9）.D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9.E(Z)=一般地，一般地，C.兩個不等式

定理3.2(馬爾可夫(Markov)不等式)對隨機(jī)變量X和任意的

0，有C.兩個不等式

定理3.2(馬爾可夫(Markov)不等證明:設(shè)為連續(xù)型,密度函數(shù)為f(x),則證明:設(shè)為連續(xù)型,密度函數(shù)為f(x),則上式常稱為切比雪夫（Chebyshev）不等式

在馬爾可夫不等式中取α=2,X為X-EX得是概率論中的一個基本不等式.

上式常稱為切比雪夫（Chebyshev）不等式在馬爾可夫不例6

已知某種股票每股價(jià)格X的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元，求a，使股價(jià)超過1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解：由切比雪夫不等式令例6 已知某種股票每股價(jià)格X的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元定理3.3

(內(nèi)積不等式或Cauchy-Schwarz不等式)設(shè)EX2

<∞，EY2

<∞則有定理3.3

(內(nèi)積不等式或Cauchy-Schwarz不等證明:注意到對任意的t,有所以g(t)作為t的二次多項(xiàng)式,其判別式≤0,即證明:注意到對任意的t,有所以g(t)作為t§4.4協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題

對于二維隨機(jī)變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布§4.4協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題對于二維隨機(jī)變量(X,

這說明對于二維隨機(jī)變量，除了每個隨機(jī)變量各自的概率特性以外，相互之間可能還有某種聯(lián)系. 問題是用一個什么樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系.

數(shù)反映了隨機(jī)變量X,Y之間的某種關(guān)系.這說明對于二維隨機(jī)變量，除了每個隨機(jī)變量各A.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)定義稱為X,Y的協(xié)方差.記為可以證明協(xié)方差矩陣為半正定矩陣.為（X,Y）的協(xié)方差矩陣.稱A.協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)定義稱為X,Y的協(xié)方差.記若Var(X)>0,Var(Y)>0,稱為X,Y的相關(guān)系數(shù)，記為事實(shí)上，若稱X,Y不相關(guān).無量綱的量若Var(X)>0,Var(Y)>0,稱利用函數(shù)的期望或方差計(jì)算協(xié)方差

若(X,Y)為離散型，

若(X,Y)為連續(xù)型，

利用函數(shù)的期望或方差計(jì)算協(xié)方差若(X,Y)為離散例1求Cov(X,Y),XY10pqXP

10pqY

P

已知X,Y的聯(lián)合分布為XYpij1010p0

0q0<p<1p+q=1解:10pqXY

P例1求Cov(X,Y),XY10數(shù)學(xué)期望和方差課件例2.設(shè)(X,Y)~N(1,12,2,22,),求

XY解:例2.設(shè)(X,Y)~N(1,12,定理：若(X,Y)~N(1,12,2,22,),則X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)因此，定理：若(X,Y)~N(1,12,協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

協(xié)方差的性質(zhì)

協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

協(xié)方差的性質(zhì)

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立—Cauchy-Schwarz不等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式成立—Cauchy-Schwarz不等式相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

Cauchy-Schwarz不等式的等號成立即Y與X有線性關(guān)系的概率等于1，這種線性關(guān)系為相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)Cauchy-Schwarz不等式即Y與

X,Y不相關(guān)注：X與Y不相關(guān)僅僅是不線性相關(guān)，可以非線性相關(guān).X,Y不相關(guān)注：X與Y不相關(guān)僅僅是不線性相關(guān)，可以非

X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)若X,Y服從二維正態(tài)分布，X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)X,Y相互獨(dú)立X,Y不相關(guān)若X,Y服從二維正態(tài)例：最小二乘法的思想 若X,Y是兩個隨機(jī)變量，用X的線性函數(shù)去逼近Y所產(chǎn)生的均方誤差為當(dāng)取使得均方誤差最小.若則線性逼近無意義.例：最小二乘法的思想 若X,Y是兩個隨機(jī)變量，用X的數(shù)學(xué)期望和方差課件例3

設(shè)(X,Y)~N(1,4;1,4;0.5),

Z=X+Y,

求

XZ解:例3 設(shè)(X,Y)~N(1,4;1,4;例4

設(shè)XN(0,4),YP(2),XY=1/2,求E(X+Y)2.解:E(X+Y)2=[E(X+Y)]2+Var(X+Y)=[EX+EY)]2+Var(X)+Var(Y)+2cov(X,Y)由題設(shè)知:EX=0,Var(X)=4,EY=2,Var(Y)=2,XY=1/2,而例4 設(shè)XN(0,4),YP(2),XY=1/注意到把條件代入即得

E(X+Y)2=注意到把條件代入即得矩

設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y),k,l為非負(fù)整數(shù)。

mk

=E(Xk)稱為X的k階原點(diǎn)矩，

k

=E(X-E(X))k稱為X的k階中心矩，

mkl=E(XkYl)稱為X和Y的(k,l)階混合原點(diǎn)矩，

kl=E[(X-E(X))k(Y-E(Y))l]稱為X和Y的(k,l)階混合中心矩.顯然數(shù)學(xué)期望為1階原點(diǎn)矩,方差為2階中心矩,而協(xié)方差為(1,1)階混合中心矩.矩 設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y),k,l為非負(fù)整數(shù)。 分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，但在實(shí)際問題中，隨機(jī)變量的分布函數(shù)較難確定，而它的一些數(shù)字特征較易確定．并且在很多實(shí)際問題中，只需知道隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征也就夠了.另一方面，對于一些常用的重要分布，如二項(xiàng)分布、泊松分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布等，只要知道了它們的某些數(shù)字特征，就能完全確定其具體的分布.第四章 數(shù)學(xué)期望和方差 分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，但在實(shí)際問題中

隨機(jī)變量的平均取值——數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量取值平均偏離平均值的情況——方差描述兩個隨機(jī)變量之間的某種關(guān)系的數(shù)——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)本章內(nèi)容隨機(jī)變量的平均取值——數(shù)學(xué)期望本引例:測量50個圓柱形零件直徑(見下表)

則這50個零件的平均直徑為尺寸（cm）89101112數(shù)量（個）8715101050§4.1數(shù)學(xué)期望引例:測量50個圓柱形零件直徑(見下表)換個角度看,從這50個零件中任取一個,它的尺寸為隨機(jī)變量X,則X

的概率分布為XP

89101112則這50個零件的平均直徑為稱之為這5個數(shù)字的加權(quán)平均,數(shù)學(xué)期望的概念源于此.換個角度看,從這50個零件中任取一個,它XP8數(shù)學(xué)期望的定義定義1.1

設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為若無窮級數(shù)絕對收斂，則稱其和為隨機(jī)變量

X

的數(shù)學(xué)期望或均值，記作E(X).數(shù)學(xué)期望的定義定義1.1 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布為若常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望0－1分布

這時(shí)P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.

故

E(X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)=p.常見離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望0－1分布(2)二項(xiàng)分布X的取值為0,1,…,n.且

P(X=k)=Cnk

pk

(1-p)n-k,k=0,1,…,n.(2)二項(xiàng)分布X的取值為0,1,…,n.且(3)泊松分布X的可能取值為0,1,2,…，且(3)泊松分布X的可能取值為0,1,2,…，且(4)幾何分布X的可能取值為1,2,…,且P(X=k)=qk-1p,k=1,2,….p+q=1.(4)幾何分布X的可能取值為1,2,…,且注:在第三個等號中利用了等式這可以由等式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)數(shù)得到.注:在第三個等號中利用了等式這可以由等式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)數(shù)得例1 對產(chǎn)品進(jìn)行抽樣，只要發(fā)現(xiàn)廢品就認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格，并結(jié)束抽樣。若抽樣到第n件仍未發(fā)現(xiàn)廢品則認(rèn)為這批產(chǎn)品合格.假設(shè)產(chǎn)品數(shù)量很大，抽查到廢品的概率是p，試求平均需抽查的件數(shù).例1 對產(chǎn)品進(jìn)行抽樣，只要發(fā)現(xiàn)廢品就認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格，并結(jié)解：設(shè)X為停止檢查時(shí)，抽樣的件數(shù)，則X的可能取值為1,2,…,n，且解：設(shè)X為停止檢查時(shí)，抽樣的件數(shù)，則X的可能取值為1,2,…數(shù)學(xué)期望和方差課件定義1.2

設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為f(x)，若積分絕對收斂，則稱此積分為隨機(jī)變量X

的數(shù)學(xué)期望或均值，記作E(X).注意：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)就是加權(quán)平均數(shù)，它是一個數(shù)，不再是隨機(jī)變量。定義1.2 設(shè)X為連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為f(x)常見連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望

(5)指數(shù)分布E()隨機(jī)變量X的密度為：常見連續(xù)型分布的數(shù)學(xué)期望

(5)指數(shù)分布E()隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望和方差課件設(shè)X的數(shù)學(xué)期望有限,概率密度f(x)關(guān)于定理1證明 g(x)是奇函數(shù).設(shè)X的數(shù)學(xué)期望有限,概率密度f(x)關(guān)于定理1證推論推論例2設(shè)X的概率密度為：求E(X).解:注:由于f(x)是偶函數(shù)，由定理1.1也知E(X)=0.例2設(shè)X的概率密度為：求E(X).解:注:由于f(x)是注意：不是所有的隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望.例如：Cauchy分布的密度函數(shù)為但發(fā)散.它的數(shù)學(xué)期望不存在.注：雖然f(x)是偶函數(shù)，但不能用定理1.1.注意：不是所有的隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望.例如：Cauchy分布

設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的數(shù)學(xué)期望，而是X的某個函數(shù)的數(shù)學(xué)期望，比如說g(X)的數(shù)學(xué)期望.那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？更一般的，已知隨機(jī)向量(X1,X2…,Xn)的聯(lián)合分布，

Y=

g(X1,X2…,Xn)是(X1,X2…,Xn)的函數(shù),需要計(jì)算Y的數(shù)學(xué)期望，應(yīng)該如何計(jì)算呢？我們下面就來處理這個問題.§4.2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的數(shù)A.隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

設(shè)X=(X1,…,Xn)為離散型隨機(jī)向量，概率分布為Z=g(X1,…,Xn),若級數(shù)絕對收斂，則A.隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)X=(X1,…,Xn)隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（續(xù)）

設(shè)X=(X1,…,Xn)為連續(xù)型隨機(jī)向量，聯(lián)合密度函數(shù)為

Z=g(X1,…,Xn),若積分絕對收斂，則隨機(jī)向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（續(xù)）設(shè)X=(X1,…,Xn)為例3 設(shè)離散型隨機(jī)向量X的概率分布如下表所示，求Z=X2的期望.X0

?11

E(Z)=g(0)0.5+g(-1)0.25+g(1)0.25解:=0.5注:這里的

例3 設(shè)離散型隨機(jī)向量X的概率分布如下表所示，求Z=X2的期例4

設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125解:=4.25注:這里的例4 設(shè)二維離散型隨機(jī)向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求例5

設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),

Y=eaX,求E(Y).解:例5 設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,p),解:例6

設(shè)X~

U[0,],Y=sinX,求E(Y).解:X的概率密度為所以例6 設(shè)X~U[0,],Y=sinX,求E(Y例7解：(1)設(shè)整機(jī)壽命為N,

五個獨(dú)立元件,壽命分別為都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，若將它們(1)串聯(lián)；(2)并聯(lián)成整機(jī)，求整機(jī)壽命的均值.

例7解：(1)設(shè)整機(jī)壽命為N,五個獨(dú)立元件,壽命分別即

N~E(5),

(2)設(shè)整機(jī)壽命為M,即N~E(5),(2)設(shè)整機(jī)壽命為M,

可見，并聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命比串聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命長11倍之多.注：128頁的4.20與此例為同一模型?？梢?，并聯(lián)組成整機(jī)的平均壽命比串聯(lián)組成整機(jī)的平均壽B.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

E(C)=C

E(aX)=aE(X)

E(X+Y)=E(X)+E(Y)

當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí)，E(XY)=E(X)E(Y).B.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)E(C)=CE(aX)注：性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定相互獨(dú)立.注：性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X反例XYpij-101-1010p?jpi?反例XYpij-10XY

P-101但XYP-10

若X≥0，且EX存在，則EX≥0.推論:

若X≤Y，則EX≤EY.證明：設(shè)

X為連續(xù)型，密度函數(shù)為f(x),則由X≥0得：所以證明：由已知Y-X≥0，則E(Y-X)≥0.而E(Y-X)=E(Y)-E(X),所以，E(X)≤E(Y).若X≥0，且EX存在，則EX≥0.推論:若X≤例1性質(zhì)2和3性質(zhì)4 設(shè)X～N(10,4)，Y～U[1,5]，且X與Y相互獨(dú)立，求E(3X＋2XY－Y＋5).解：由已知，有E(X)＝10,E(Y)＝3.例1性質(zhì)2和3性質(zhì)4 設(shè)X～N(10,4)，Y～U[1,5例2 二項(xiàng)分布B(n,p),設(shè)單次實(shí)驗(yàn)成功的概率是p，問n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，期望幾次成功？解:引入則

X＝是n次試驗(yàn)中的成功次數(shù).因此，這里，X～B(n,p).例2 二項(xiàng)分布B(n,p),設(shè)單次實(shí)驗(yàn)成功的概率是p，例3

將4個可區(qū)分的球隨機(jī)地放入4個盒子中，每盒容納的球數(shù)無限，求空著的盒子數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解一:設(shè)

X為空著的盒子數(shù),則X的概率分布為XP0123例3 將4個可區(qū)分的球隨機(jī)地放入4個盒子中，每盒容納解二:再引入Xi,i=

1,2,3,4.Xi

P10解二:再引入Xi,i=1,2,3,4.Xi例4

將n個球放入M個盒子中,設(shè)每個球落入各個盒子是等可能的,求有球的盒子數(shù)X的期望.解:引入隨機(jī)變量:則X=X1+X2+…+XM,于是E(X)=E(X1)+E(X2)+…+E(XM).每個隨機(jī)變量Xi都服從兩點(diǎn)分布,i=1,2,…,M.例4 將n個球放入M個盒子中,設(shè)每個球落入各個盒子是等可能的 因?yàn)槊總€球落入每個盒子是等可能的均為1/M，所以，對第i個盒子,沒有一個球落入這個盒子內(nèi)的概率為(1-1/M).

故，n個球都不落入這個盒子內(nèi)的概率為(1-1/M)n，即 因?yàn)槊總€球落入每個盒子是等可能的均為1/M，所以，對第i個注：129頁4.27以此題為模型.注：129頁4.27以此題為模型.§4.2隨機(jī)變量的方差

前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均,是隨機(jī)變量的一個重要的數(shù)字特征.

但是在一些場合，僅僅知道隨機(jī)變量取值的平均是不夠的.§4.2隨機(jī)變量的方差 前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例如，甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近，所以乙炮的射擊效果好.

中心中心例如，甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的

為此需要引進(jìn)另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值在其中心附近的離散程度.這個數(shù)字特征就是我們下面要介紹的方差為此需要引進(jìn)另一個數(shù)字特征,用它來度量隨機(jī)變量取值A(chǔ).方差的概念設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X),若E(X-E(X))2存在,則稱它為X的方差（此時(shí)，也稱X的方差存在)，記為Var(X)或D(X),即定義稱Var(X)的算術(shù)平方根為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差，記為(X).Var(X)=E(X-E(X))2A.方差的概念設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X),若E(若X的取值比較分散，則方差較大.刻劃了隨機(jī)變量的取值相對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度.若X的取值比較集中，則方差較?。籚ar(X)=E[X-E(X)]2

方差若X的取值比較分散，則方差較大.刻劃了隨機(jī)變量的取值相對于其注意：1)Var(X)0，即方差是一個非負(fù)實(shí)數(shù).2）當(dāng)X服從某分布時(shí)，我們也稱某分布的方差為Var(X).方差是刻劃隨機(jī)變量取值的分散程度的一個特征.注意：1)Var(X)0，即方差是一個非負(fù)實(shí)數(shù).方差的計(jì)算公式(1)若X為離散型，概率分布為(2)若X為連續(xù)型，概率密度為f(x),則則方差的計(jì)算公式(1)若X為離散型，概率分布為(2)若X計(jì)算方差常用的公式證明:計(jì)算方差常用的公式證明:常見隨機(jī)變量的方差

(1)參數(shù)為p的0－1分布

概率分布為：前面已經(jīng)計(jì)算過：E(X)=p，又所以常見隨機(jī)變量的方差

(1)參數(shù)為p的0－1分布概率分

(2)二項(xiàng)分布B(n,p)

概率分布為：

已計(jì)算過：E(X)=np，又

所以(2)二項(xiàng)分布B(n,p)概率分布為：已計(jì)算過：E(

(3)泊松分布P(λ)

概率分布為：

已計(jì)算過：E(X)=λ，又

所以(3)泊松分布P(λ)概率分布為：已計(jì)算過：E(X)=

(4)區(qū)間[a,b]上的均勻分布U[a,b]

概率密度為：

已計(jì)算過：E(X)=(a+b)/2，又

所以(4)區(qū)間[a,b]上的均勻分布U[a,b]概率密度為：

(5)指數(shù)分布E(λ)

概率密度為：

已計(jì)算過：E(X)=1/λ，又

所以(5)指數(shù)分布E(λ)概率密度為：已計(jì)算過：E(X)(6)正態(tài)分布N(,2)

概率密度為：

已計(jì)算過：E(X)=

，所以(6)正態(tài)分布N(,2)概率密度為：已計(jì)算過：EB.方差的性質(zhì)性質(zhì)1 若X=C，C為常數(shù)，則

Var(X)=0.性質(zhì)2

若b為常數(shù),隨機(jī)變量X的方差存在，則bX的方差存在,且Var(bX)=b2Var(X)Var(aX+b)=a2Var(X)結(jié)合性質(zhì)1與性質(zhì)2就有B.方差的性質(zhì)性質(zhì)1 若X=C，C為常數(shù)，則性質(zhì)2 若b性質(zhì)3 若隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的方差都存在，則X1+X2+...+Xn的方差存在，且性質(zhì)3 若隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn的方差都存在性質(zhì)4若隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，則n＝2時(shí)就有Var(XY)=Var(X)+Var(Y)2E(X-EX)(Y-EY)若X,Y獨(dú)立，Var(XY)=Var(X)+Var(Y)性質(zhì)4若隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，則n＝2性質(zhì)5 對任意常數(shù)C,Var(X)

E(X–C)2,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)C=E(X).性質(zhì)5 對任意常數(shù)C,Var(X)E(X–C)性質(zhì)6注:以后若無特殊說明,都認(rèn)為隨機(jī)變量的方差大于0.Var(X)=0P(X=E(X))=1稱X以概率1等于常數(shù)E(X).性質(zhì)6注:以后若無特殊說明,都認(rèn)為隨機(jī)變量的方差大于0.例1 設(shè)X~B(n,p)，求Var(X).解：

引入隨機(jī)變量故則由于相互獨(dú)立，且例1 設(shè)X~B(n,p)，求Var(X).解：例2 （標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量） 設(shè)隨機(jī)變量

X

的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,則稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量.顯然，例2 （標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量） 設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)、例3則:

設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，有共同的期望和方差，證明:例3則: 設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，有共同的期望例4

已知隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，且每個Xi的期望都是0，方差都是1，令Y=X1+X2+…+Xn.求E(Y2).解：由已知，則有因此，例4 已知隨機(jī)變量X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立，且每個Xi的例5

設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(1,2),Y～N(0,1),

試求Z=2X-Y+3的期望和方差.

由已知，有E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=0,D(Y)=1,

且X和Y獨(dú)立.因此，解:例5 設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，且X～N(1,2),D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9.E(Z)=2E(X)－E(Y)+3=2+3=5,注：由此可知Z～N（5,9）.D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9.E(Z)=一般地，一般地，C.兩個不等式

定理3.2(馬爾可夫(Markov)不等式)對隨機(jī)變量X和任意的

0，有C.兩個不等式

定理3.2(馬爾可夫(Markov)不等證明:設(shè)為連續(xù)型,密度函數(shù)為f(x),則證明:設(shè)為連續(xù)型,密度函數(shù)為f(x),則上式常稱為切比雪夫（Chebyshev）不等式

在馬爾可夫不等式中取α=2,X為X-EX得是概率論中的一個基本不等式.

上式常稱為切比雪夫（Chebyshev）不等式在馬爾可夫不例6

已知某種股票每股價(jià)格X的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元，求a，使股價(jià)超過1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解：由切比雪夫不等式令例6 已知某種股票每股價(jià)格X的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元定理3.3

(內(nèi)積不等式或Cauchy-Schwarz不等式)設(shè)EX2

<∞，EY2

<∞則有定理3.3

(內(nèi)積不等式或Cauchy-Schwarz不等證明:注意到對任意的t,有所以g(t)作為t的二次多項(xiàng)式,其判別式≤0,即證明:注意到對任意的t,有所以g(t)作為t§4.4協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題

對于二維隨機(jī)變量(X,Y):已知聯(lián)合分布邊緣分布§4.4協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)問題對于二維隨機(jī)變量(X,

這說明對于二維隨機(jī)變量，除了每個隨機(jī)變量各自的概率特性以外，相互之間可能還有某種聯(lián)系. 問題是用一個什么樣的數(shù)去反映這種聯(lián)系.

數(shù)