2023屆吉林省吉化第一高級中學(xué)高三考前熱身數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓與的圖象交于兩點，且在軸上，則下列說法中正確的是A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱C．函數(shù)在單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點成中心對稱2．若雙曲線的焦距為，則的一個焦點到一條漸近線的距離為（）A． B． C． D．3．若，，則的值為（）A． B． C． D．4．某市政府決定派遣名干部（男女）分成兩個小組，到該市甲、乙兩個縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少人，且女干部不能單獨成組，則不同的派遣方案共有（）種A． B． C． D．5．已知是第二象限的角，，則()A． B． C． D．6．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)滿足，且時，，則（）A．2 B． C．1 D．7．已知平面和直線a，b，則下列命題正確的是（）A．若∥，b∥，則∥ B．若，，則∥C．若∥，，則 D．若，b∥，則8．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．9．兩圓和相外切，且，則的最大值為（）A． B．9 C． D．110．過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點，直線（是坐標(biāo)原點）交的右支于點，若，且，則的離心率是（）A． B． C． D．11．某裝飾公司制作一種扇形板狀裝飾品，其圓心角為120°，并在扇形弧上正面等距安裝7個發(fā)彩色光的小燈泡且在背面用導(dǎo)線相連(弧的兩端各一個，導(dǎo)線接頭忽略不計)，已知扇形的半徑為30厘米，則連接導(dǎo)線最小大致需要的長度為（）A．58厘米 B．63厘米 C．69厘米 D．76厘米12．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A．k2+1C．k2+1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某班有學(xué)生52人,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機編號,用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個容量為4的樣本,已知5號、31號、44號學(xué)生在樣本中,則樣本中還有一個學(xué)生的編號是__________．14．已知三棱錐的四個頂點都在球O的球面上，，，，，E，F(xiàn)分別為，的中點，，則球O的體積為______.15．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求直線和曲線的普通方程；（2）設(shè)為曲線上的動點，求點到直線距離的最小值及此時點的坐標(biāo).16．已知兩圓相交于兩點,，若兩圓圓心都在直線上，則的值是________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)點，直線與曲線相交于，，求的值．18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，為的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)，求的取值范圍，并求取到最小值時所對應(yīng)的的值.19．（12分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓交于點,且點的縱坐標(biāo)是．（1）求的值:（2）若以軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標(biāo)為,求的值．20．（12分）如圖，在矩形中，，，點分別是線段的中點，分別將沿折起，沿折起，使得重合于點，連結(jié).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）一種游戲的規(guī)則為拋擲一枚硬幣，每次正面向上得2分，反面向上得1分.（1）設(shè)拋擲4次的得分為，求變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.（2）當(dāng)游戲得分為時，游戲停止，記得分的概率和為.①求；②當(dāng)時，記，證明：數(shù)列為常數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列.22．（10分）已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，離心率為，且過點.（1）求橢圓C的方程；（2）過左焦點的直線l與橢圓C交于不同的A，B兩點，若，求直線l的斜率k.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【答案解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【題目詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點的橫坐標(biāo)為，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，當(dāng)時，，即函數(shù)的一個對稱中心為，即函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱．故選B．【答案點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．2．B【答案解析】

根據(jù)焦距即可求得參數(shù)，再根據(jù)點到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【題目詳解】因為雙曲線的焦距為，故可得，解得，不妨??；又焦點，其中一條漸近線為，由點到直線的距離公式即可求的.故選：B.【答案點睛】本題考查由雙曲線的焦距求方程，以及雙曲線的幾何性質(zhì)，屬綜合基礎(chǔ)題.3．A【答案解析】

取，得到，取，則，計算得到答案.【題目詳解】取，得到；取，則.故.故選：.【答案點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，取和是解題的關(guān)鍵.4．C【答案解析】

在所有兩組至少都是人的分組中減去名女干部單獨成一組的情況，再將這兩組分配，利用分步乘法計數(shù)原理可得出結(jié)果.【題目詳解】兩組至少都是人，則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、，

又因為名女干部不能單獨成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為.故選：C.【答案點睛】本題考查排列組合的綜合問題，涉及分組分配問題，考查計算能力，屬于中等題.5．D【答案解析】

利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【題目詳解】因為,由誘導(dǎo)公式可得,,即,因為,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【答案點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;屬于中檔題.6．D【答案解析】

說明函數(shù)是周期函數(shù)，由周期性把自變量的值變小，再結(jié)合奇偶性計算函數(shù)值．【題目詳解】由知函數(shù)的周期為4，又是奇函數(shù)，，又，∴，∴．故選：D．【答案點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，掌握周期性與奇偶性的概念是解題基礎(chǔ)．7．C【答案解析】

根據(jù)線面的位置關(guān)系，結(jié)合線面平行的判定定理、平行線的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】A：當(dāng)時，也可以滿足∥，b∥，故本命題不正確；B：當(dāng)時，也可以滿足，，故本命題不正確；C：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知：當(dāng)∥，，時，能得到，故本命題是正確的；D：當(dāng)時，也可以滿足，b∥，故本命題不正確.故選：C【答案點睛】本題考查了線面的位置關(guān)系，考查了平行線的性質(zhì)，考查了推理論證能力.8．A【答案解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則，可得，然后利用復(fù)數(shù)模的概念，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：由，所以所以故選：A【答案點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，考驗計算，屬基礎(chǔ)題.9．A【答案解析】

由兩圓相外切，得出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【題目詳解】因為兩圓和相外切所以，即當(dāng)時，取最大值故選：A【答案點睛】本題主要考查了由圓與圓的位置關(guān)系求參數(shù)，屬于中檔題.10．D【答案解析】

如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為，連接并延長交右支于，連接，設(shè)，利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得到，，結(jié)合、可求離心率.【題目詳解】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為，連接，連接并延長交右支于.因為，故四邊形為平行四邊形，故.又雙曲線為中心對稱圖形，故.設(shè)，則，故，故.因為為直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故選：D.【答案點睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構(gòu)造關(guān)于的方程，本題屬于難題.11．B【答案解析】

由于實際問題中扇形弧長較小，可將導(dǎo)線的長視為扇形弧長，利用弧長公式計算即可.【題目詳解】因為弧長比較短的情況下分成6等分，所以每部分的弦長和弧長相差很小，可以用弧長近似代替弦長，故導(dǎo)線長度約為63(厘米).故選：B.【答案點睛】本題主要考查了扇形弧長的計算，屬于容易題.12．C【答案解析】

首先分析題目求用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【題目詳解】當(dāng)n=k時，等式左端=1+1+…+k1，當(dāng)n=k+1時，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了項（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故選：C．【答案點睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題./二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．18【答案解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個個體的編號求出另一個個體的編號.【題目詳解】解：根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,已知其中三個個體的編號為5,31,44,故還有一個抽取的個體的編號為18,故答案為:18【答案點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡單題.14．【答案解析】

可證，則為的外心，又則平面即可求出，的值，再由勾股定理求出外接球的半徑，最后根據(jù)體積公式計算可得.【題目詳解】解：，，，因為為的中點，所以為的外心，因為，所以點在內(nèi)的投影為的外心，所以平面，平面，所以，所以，又球心在上，設(shè)，則，所以，所以球O體積，.故答案為：【答案點睛】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，屬于中檔題．15．（1），；（2），.【答案解析】

（1）利用代入消參的方法即可將兩個參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；（2）利用參數(shù)方程，結(jié)合點到直線的距離公式，將問題轉(zhuǎn)化為求解二次函數(shù)最值的問題，即可求得.【題目詳解】（1）直線的普通方程為.在曲線的參數(shù)方程中，，所以曲線的普通方程為.（2）設(shè)點.點到直線的距離.當(dāng)時，，所以點到直線的距離的最小值為.此時點的坐標(biāo)為.【答案點睛】本題考查將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，以及利用參數(shù)方程求距離的最值問題，屬中檔題.16．【答案解析】

根據(jù)題意，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得與直線垂直，且的中點在這條直線上，列出方程解得即可得到結(jié)論.【題目詳解】由,，設(shè)的中點為，根據(jù)題意，可得,且，解得，,，故.故答案為：.【答案點睛】本題考查相交弦的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于利用相交弦的性質(zhì)，即兩圓的連心線垂直平分相交弦，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ），；（Ⅱ）.【答案解析】

（Ⅰ）由（為參數(shù)）直接消去參數(shù)，可得直線的普通方程，把兩邊同時乘以，結(jié)合，可得曲線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）把代入，化為關(guān)于的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及參數(shù)的幾何意義求解．【題目詳解】解：（Ⅰ）由（為參數(shù)），消去參數(shù)，可得．∵，∴，即．∴曲線的直角坐標(biāo)方程為；（Ⅱ）把代入，得．設(shè)，兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，．不妨設(shè)，，∴．【答案點睛】本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，明確直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵，是中檔題．18．（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）的取值范圍是；對應(yīng)的的值為.【答案解析】

（1）當(dāng)時，求的導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點，，且，利用導(dǎo)函數(shù)，可得的范圍，再表達(dá)，構(gòu)造新函數(shù)可求的取值范圍，從而可求取到最小值時所對應(yīng)的的值．【題目詳解】（1）函數(shù)由條件得函數(shù)的定義域：，當(dāng)時，，所以：，時，，當(dāng)時，，當(dāng)，時，，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：，；（2）由條件得：，，由條件得有兩根：，，滿足，△，可得：或；由，可得：．，函數(shù)的對稱軸為，，所以：，；，可得：，，，則：，所以：；所以：，令，，，則，因為：時，，所以：在，上是單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，因為：，（1），，（1），所以，；即的取值范圍是：，；，所以有，則，；所以當(dāng)取到最小值時所對應(yīng)的的值為；【答案點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間問題，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于難題．19．（1）（2）【答案解析】

（1）依題意,任意角的三角函數(shù)的定義可知,,進(jìn)而求出．在利用余弦的和差公式即可求出.（2）根據(jù)鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標(biāo)是,得出,進(jìn)而得出,利用正弦的和差公式即可求出,結(jié)合為銳角,為鈍角,即可得出的值.【題目詳解】解：因為銳角的終邊與單位圓交于點,點的縱坐標(biāo)是,所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知,．從而．（1）于是．（2）因為鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標(biāo)是,所以,從而．于是．因為為銳角,為鈍角,所以從而．【答案點睛】本題本題考查正弦函數(shù)余弦函數(shù)的定義,考查正弦余弦的兩角和差公式,是基礎(chǔ)題.20．（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【答案解析】

（Ⅰ）根據(jù)，，可得平面，故而平面平面．（Ⅱ）過作于，則可證平面，故為所求角，在中利用余弦定理計算，再計算．【題目詳解】解：（Ⅰ）因為，，，平面，平面所以平面，又平面，所以平面平面；（Ⅱ）過作于，則由平面，且平面知，所以平面，從而是直線與平面所成角.因為，，，所以，從而.【答案點睛】本題考查了面面垂直的判定，考查直線與平面所成角的計算，屬于中檔題．21．（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為6；（2）①；②證明見解析【答案解析】

（1）變量的所有可能取值為4，5，6，7，8，分別求出