線性代數(shù)-第五章釋疑解難

3)

A

的行(列)向量組是Rn

的一組規(guī)范正交基.2.設a1

,a2

,…,an

是線性無關向量組,與之等價的正交向量組是否唯一?答一般不唯一.這是因為在正交化過程中,由于第一步中b1

的取法不同,由此求出的與a1

,a2

,…,an等價的正交向量組b1

,b2

,…,bn

可能會不同.3.

如何求方陣

A

的特征值和特征向量?答

特征值的求法:

解特方程|

A

-

E

|

=

0就可以求出矩陣A

的特征值.注意如果A

為n階方陣,則它的特征方程是關于

的n次代數(shù)方程,從而它有n個特征根(如果i

為特征方程的k

重根,則應把它看作k

個根).特征向量的求法:

若求對應于i的特征向量,只要解齊次線性方程組(A

-

iE

)x

=

0就可以了.此齊次方程的任何一個非零解向量都是A

的對應于i

的一個特征向量,而齊次方程的通解就是對應于i

的所有特征向量.注意:

如果

i

為特征方程的

k

重根,

則齊次線性方程組

(A

-

iE

)x

=

0

的基礎解系的含解向量的個數(shù)可能為

k,也能可小于

k,所以對應于

i的特征向量中,

其線性無關的向量個數(shù)最多只有k

個,也可能少于k

個.4.

n階矩陣A是否一定有n個線性無關的特征向量?答

不一定.

當

A的

n個特征值兩兩互異時,A

有

n個線性無關的特征向量.否則,就不一定.

例如

2

1

2

A

5

3

3

1

0

2是3

階方陣,它的三個特征值1

=2

=3

=-1,

A

的對應于i

=-1

(1

i

3)的全部特征向量為k(1,

1,-1)T

.它們也是A

的全部特征向量即A

只有一個線性無關的特征向量.5.

一個特征向量只對應于一個特征值,反之,一個特征值是否只對應于一個特征向量?答

否.

設

是

n

階方陣

A

的

k

重特征值,

則

可以對應于多個線性無關的特征向量.例如,

3

42

3

2

4A

2

02有一個二重特征值1

=2

=-1,-1就對應著兩個線性無關的特征向量

0

1

1

1

a

0

,

a

2

.

2

1如何證明方陣A

能對角化?答證明方陣A

能對角化,有下述幾種方法:計算方陣A

的特征值.如果A

的所有特征值兩兩互異,則A

能對角化.如果A

的特征方程有重根但能找到n個線性無關的特征向量,則A與對角矩陣相似.2)

不計算矩陣A的特征值.只需證明A的特征值兩兩互異,即可證明A

能對角化.3)

不計算矩陣

A的特征值、特征向量,只證明存在可逆矩陣

P

和對角矩陣

,

使

P-1AP

=

.7.已知n階方陣A

可對角化,如可求可逆矩陣P

,使P-1AP

=diag(1

,2

,…,n)?答n階方陣A

可對角化,是指存在一個可逆方陣P,使P-1AP=diag(1

,2

,…,n)=

.由此可知1

,2

,…,n

是A

的特征值,設P

=(a1

,a2

,…,an),由AP=P

,可得Aai

=1ai,于是ai

是A

的對應于i

的特征向量.求可逆矩陣P

的問題就轉化為求A

的特征向量.其具體步驟如下:Step1

：求出矩陣

A

的所有特征值，設

A

有s

個不同的特征值

1，2，…

，

s

，它們的重數(shù)分別為

n1，n2，…，ns

,

n1

+

n2

+

…+

ns

=

n.Step2

:對A

的每個特征值

i

,求(A-i

E)x=0的基礎解系,

設為

pii

=1,2,…,

s.以這些向量為列構造矩陣,

p21,p22

,,

p2n

,,

ps1,ps2,,psn

)2

s11nP

(

p11,p12

,,

pΛ

diag(λ1,,λ1,λ2

,λ2

,,λs

,,λs

)n1

n2

ns則

P-1AP

=

.要注意矩陣P

的列與對角矩陣

主對角線上的元素(A

的特征值)之間的對應關系.8.

二次型的標準形是否唯一?答

不唯一.因為采用不同的方法(實質上是采用不同的變換),所化成的標準形,可能是不同的.

即使采用同

法,由于變換的方法不同,所得的標準形也可能不同.例如:用正交變換

x

=Py

化f=xTAx

為f=

iyi

,其平方項的系數(shù)1

,22

,…,n

,除了排列次序以外是唯一確定的.它們都是二次型f

的矩陣A

的特征值.如果用可逆線性變換x=Cy

化f

=xTAx為f

=kiyi

,其平方項系數(shù)不唯一,隨C

而變化,且可以不2是A

的特征值.9.

如何將一個實二次型化為標準形?答

將一個實二次型化為標準形,

主要有以下三種方法:方法1:方法2:方法3:正交變換法;配方法;初等變換法.這里介紹用正交變換將二次型化為標準形.其基本思想為:若已知

f=xTAx,則

A是一個實對稱矩陣,

故存在一個正交矩陣P,使

P-1AP=

=diag(1,…,n)

為對角矩陣.

令

x=

Py,

則

f

=xTAx=

yTy

=

iyi2用正交變換化二次型為標準形的具體步驟如下:Step1:

將二次表示成矩陣形式f=xTAx,求出A;求出A

的所有特征值1,2,…,n;Step2:Step3:求出正交矩陣P,使P-1AP

=

diag(1,

…

,

n)

=

(P

的列向量依次為i

單位特征向量)作正交變換x=Py,則得f

的標準形f

=

xTAx

=

yTy

=

iyi2Step4:由上面步驟可以看出,用正交變換化實二次型為標準形與用正交矩陣化實對稱矩陣為對角矩陣,是同一問題的兩種不同提法,其實質相同.如何判斷一個二次型

f=xTAx是正定的?答

判斷一個二次型

f

=

xTAx

是正定的方法很多,常用的方法有:慣性指數(shù)法:即f的正慣性指數(shù)為n(A的階),負慣性指數(shù)為零;主子式法:

即

A

的所有主子式0kD

aa11

a12

a1k21

a22

a2k

ak1

ak

2

akk(k

=1,2,…,

n)3)特征值法:即A

的所有特征值都大于零.在什么情況下使用何種方法,這就要視

f的情況靈活運用.例如當A

的特征值容易求時,使用特征值法比較簡單,且它的意義直觀;當n比較小時,可使用主子式法;而當n比較大時,求每個主子式就比較麻煩.還有其他特殊的方法,也可以通過判斷A

是正定矩陣,得出二次型的正定性.11.兩個正定矩陣之和、差、積是否還是正定矩陣？答兩個正定矩陣之和必是正定矩陣.即設

A,B

是n階正定矩陣,則A+B

仍是正定矩陣.事實上,因為AT

=A,BT

=B,所以(A+B)T

=AT+BT=A

+B.即

A

+B是實對稱矩陣.

又因

A、B

均是正定矩陣,

故對任意

n

維向量

x

0,

均有

xTAx>0,

xTBx

>0,

所以

xT

(A

+B)

x

=

xTAx

+

xTBx

>

0,即

A

+

B

是正定矩陣.AB不一定是正定矩陣.因為AB不一定是實對稱矩陣.事實上,如果AB

BA