(整理)微分方程練習題

第7章微分方程練習題習題7.11．選擇題(1)()是微分方程((A))dy=(41．選擇題(1)()是微分方程((A))dy=(4x-1)dx.((C))y2-3y+2二0.(2)()不是微分方程((A))y'+3y=0.((C))3y2—2x+y二0.((D))Jsinxdx=0.d2y((B))=3x+sinx.dx2((D))(x2+y2)dx+(x2-y2)dy=0．(3)微分方程(y')2+3xy=4sinx的階數(shù)為()((A))2.((B))3.((C))1.((D))0.2.判斷函數(shù)是否為所給微分方程的解(填“是”或“否”)1)xy'=2y,y=5x2.(2)(x-2y)y'=2x-y,x2-x+y2=C.()(3)dx+siny=0,dyy=arccosx+C.()(4)y''=x2+y2,1y=.x()習題7.21.解微分方程(1)dy=1(2)dy=：1—y2dxxdx1-x2xxxxxxxx(4)y(1一x2)dy+x(1+y2)dx=0.(5)x2y'+xy二y,y|丄二4.x=22．解微分方程(1)(x+y)y'+(x-y)=0.(2)y2dydy+x2=xy—dxdxyy(3)y=+tan.xxxx(2)y'(2)y'cosx+ysinx=1.⑴y'+y二e-x.1.選擇題（1）（）是微分方程（（A））dy=(4x—1)dx.((B))y=2x+1.((C))y2—3y+2=0.((D))Jsinxdx=0.(2)(）不是微分方程（（A））y'+3y=0.d2y((B))=3x+sinx.dx2((C))3y2—2x+y=0.((D))(x2+y2)dx+(x2—y2)dy=0.（3）微分方程（y'）2+3xy=4sinx的階數(shù)為（）（（A））2.（（B））3.（（C））1.（（D））02.判斷函數(shù)是否為所給微分方程的解（填“是”或“否”）xy'=2y,y=5x2.⑵(x—2y)y'=2x—y,x2-x+y2=C.()(3)dx+siny=0,dyy=arccosx+C.()(4)y''=x2+y2,1y=.x()習題7.21.解微分方程(1)dy=1(2)dy=：1—y21dxxdx1—x2(4)y(1-x2)dy+x(1+y2)dx=0.(5)(5)x2y'+xy二y,y|丄二4.x=22.解微分方程(1)(x2.解微分方程(1)(x+y)y'+(x—y)=0.(2)y2dydy+x2=xy一dxdxyy(3)y=+tan.3．解微分方程(2)y'cosx+ysinx=(2)y'cosx+ysinx=1.⑶學+Z=匕dxxx(4)dy=y(4)dy=ydxx+y2(5)1xcosy+sin2y習題7.31.解下列微分方程(i)y"=x2.(2)y"=3、；y,y=1,y'=2.x=0x=0⑶⑶y"—y'=x.(4)xy"+y'=0.⑶⑶y"—y'=x.(4)xy"+y'=0.(5)yy(5)yy"—(y')2—y'二0.(6)yy'=y“，y|=1,y'|=1.x=0x=0(2)(2)y—9y=0.解下列微分方程（1）y+y—2y=0(3)(3)y+4y+4y=0.⑷y"-4y'+3y=0,y=—2,y'=0.x=0x=033333333⑸4y"+4y'+y=0,y=2,y'=0.x=0x=03．解下列微分方程⑵2y"—3yy=2ex.⑵2y"—3yy=2ex.⑶y"—10y'+9y=e2x,x=0y1x=0(4)yy2y8sin2x．(5)yysinx．(6)yysir2x0,y|x1,y|1.x程．程．習題7.41.—條曲線通過點P(O,1)，且該曲線上任一點M(x,y)處的切線斜率為3x2，求這曲線的方2.生物活體含有少量固定比的放射性i4C,其死亡時存在的14C量按與瞬時存量成比例的速率減少，其半衰期約為5730年，在1972年初長沙馬王堆一號墓發(fā)掘時，若測得墓中木炭1玄含量為原來的77.2％，試斷定馬王堆一號墓主人辛追的死亡時間.作直線運動物體的速度與物體到原點的距離成正比，已知物體在10s時與原點相距100m,在20s時與原點相距200m,求物體的運動規(guī)律.設Q是體積為V的某湖泊在t時的污染物總量，若污染源已排除.當采取某治污措施后,污染物的減少率以與污染總量成正比與湖泊體積成反比化，設k為比例系數(shù)，且Q(0)二q0,求k該湖泊的污染物的化規(guī)律，當V=0.38時，求99%污染物被清除的時間.5．一質量為m的質點從水面由靜止狀態(tài)開始下降，所受阻力與下降速度成正比，求質點下降深度與時間t的函數(shù)關系.6.—彈簧掛有質量為2kg的物體時，彈簧伸長了0.098m,阻力與速度成正比，阻力系數(shù)卩=24N/(m/s).當彈簧受到強迫力f=100sinl0t(N)的作用后，物體產生了振動.求振動規(guī)律，設物體的初始位置在它的平衡位置，初速度為零.復習題七一、選擇題1?微分方程y‘2+y'y"3+xy4二0階數(shù)是()(A)1；(B)2；(C)3；(D)4.2.下列函數(shù)中，可以是微分方程y〃+y=0的解的函數(shù)是()(A)y(A)y二cosx；(b)y二x；(C)y=sinx；(D)y二ex.3.下列方程中是一階線性方程的是()dy二y2dx1-2xy(A)dy二y2dx1-2xy/?(C/?(C)xy=y2+x2sinx；(D)y"+y'—2y=0.TOC\o"1-5"\h\z4.方程y"一4y'+3y=0滿足初始條件y|=6,y'=10特解是()x=0x=0A)y=3ex+e3x；B)y=2ex+3e3x；CA)y=3ex+e3x；B)y=2ex+3e3x；125.在下列微分方程中，其通解為y=Ccosx+Csinx的是()12(A)y''—y'=0；(B)y"+y'=0；(C)y"+y=0；(D)y''—y=0.6?求微分方程y"+3y'+2y=x2的一個特解時，應設特解的形式為()(A)ax2；(B)ax2+bx+c；(C)x(ax2+bx+c)；(D)x2(ax2+bx+c).7?求微分方程y"-3y'+2y=sinx的一個特解時，應設特解的形式為()(A)bsinx；(B)acosx；(C)acosx+bsinx；(D)x(acosx+bsinx).二、填空題dy9?微分方程x—=y+x2sinx的通解是.dx微分方程y''+3y=0的通解是.微分方程y''+4y'+5y=0的通解是.以y=Cxex+Cex為通解的二階常數(shù)線性齊次分方程為.12微分方程4y''+4y'+y=0滿足初始條件y|=2,y'|=0的特解x=0x=0是微分方程y"-4y'+5y=0的特征根是.15?求微分方程y"+2y'=2x2—1的一個特解時，應設特解的形式為16.已知y=ex2及y=xex2都是微分方程y〃-4xy'+(4x2—2)y=0的解，則此方程的12通解為三、計算題17求下列微分方程的通解dyxy(2)y+y=cosx(1)(2)y+y=cosxdx1+x2(4)y+y=sinx.(3)sec2xtanydx+sec(4)y+y=sinx.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解(l)cosysinxdx—求下列微分方程滿足所給初始條件的特解(l)cosysinxdx—cosxsinydy=0,x=0⑵y"—5y'+6y=0,y=1,y'=2.x=0x=0(6)(6)y"+5y'+4y=3—2x.3⑶4y"3⑶4y"+16y'+15y二4e-2x,x=0二3,y'I11⑷2y''+5y'=29cosx,y|=0,y'=1.x=0x=0求一曲線方程，這曲線通過原點，并且它在點(x,y)處的切線斜率等于2x+y.當一人被殺害后，尸體的溫度從原來的37°C按牛頓冷卻律開始變涼，設3小時后尸體溫度為31°C，且周圍氣溫保持20OC不變.求尸體溫度H與時間t(h)的函數(shù)關系，并作函數(shù)草圖.最終尸體溫度將如何？若發(fā)現(xiàn)尸體時其溫度是25°C，時間為下午4時，死者是何時被害的？(4)(4)(4)(4)21?設有一質量為m的質點作直線運動，從速度等于零的時刻起，有一個與運動方向一致.大小與時間成正比（比例系數(shù)為匕）的力作用于它，此外還受一與速度成正比（比例系數(shù)為k2）的阻力作用.求質點運動的速度與時間的函數(shù)關系．dyyx+1⑶+=dxxxdy=ydy=ydxx+y2(5)1xcosy+sin2y1．解下列微分方程(5)yy"—(y'1．解下列微分方程(5)yy"—(y')2—y'=0.習題7.3y"二3、：y,y二1,y'|二2.x=0x=0(4)xy"+y'=0.(6)yy'=y",y=1,y'=1.x=0x=0解下列微分方程(2)y—9y=0.（1）y(2)y—9y=0.(3)y"+4y，+4y=0.TOC\o"1-5"\h\z⑷y"—4y'+3y=0,(3)y"+4y，+4y=0.x=0x=0⑸4y"+4y'+y=0,y|=2,y，|=0.x=0x=0解下列微分方程⑵2y"—3yy=2ex.(1)⑵2y"—3yy=2ex.⑶y"-⑶y"-10y'+9y=e2x,yx=0yx=033(5)y''+y=sinx.⑷y"+y'-2y(5)y''+y=sinx.⑹y''+y+sin2x=0,y=1,y'=1.x=Kx=K習題7.41?一條曲線通過點P(0,1),且該曲線上任一點M(x,y)處的切線斜率為3x2，求這曲線的方程．2.生物活體含有少量固定比的放射性14C,其死亡時存在的14C量按與瞬時存量成比例的速率減少，其半衰期約為5730年，在1972年初長沙馬王堆一號墓發(fā)掘時，若測得墓中木炭14C含量為原來的77.2％，試斷定馬王堆一號墓主人辛追的死亡時間.3.作直線運動物體的速度與物體到原點的距離成正比，已知物體在10s時與原點相距100m,在20s時與原點相距200m,求物體的運動規(guī)律.設Q是體積為V的某湖泊在t時的污染物總量，若污染源已排除.當采取某治污措施后,污染物的減少率以與污染總量成正比與湖泊體積成反比化，設k為比例系數(shù)，且Q(0)二Q0,求k該湖泊的污染物的化規(guī)律，當v=0.38時，求99%污染物被清除的時間.一質量為m的質點從水面由靜止狀態(tài)開始下降，所受阻力與下降速度成正比，求質點下降深度與時間t的函數(shù)關系.—彈簧掛有質量為2kg的物體時，彈簧伸長了0.098m,阻力與速度成正比，阻力系數(shù)卩=24N/(m/s).當彈簧受到強迫力f=100sinl0t(N)的作用后，物體產生了振動.求振動規(guī)律，設物體的初始位置在它的平衡位置，初速度為零.復習題七復習題七一、選擇題1?微分方程y‘2+y'y"3+xy4二0階數(shù)是（）（A）1；（B）2；（C）3；（D）4．2.下列函數(shù)中，可以是微分方程y〃+y=0的解的函數(shù)是（）(A)y(A)y二cosx；(B)y二x；(C)y=sinx；(D)y=ex.dy二ydy二y2dx1-2xy/?(C)xy=y2+x2sinx；(D)y"+y'—2y=0.3．下列方程中是一階線性方程的是（）(A)(y-3)lnxdx-xdy=0；4.方程y"一4y'+3y=0滿足初始條件y|=6,y'=10特解是()x=0x=0A)y=3ex+e3x；B)y=2ex+3e3x；CA)y=3ex+e3x；B)y=2ex+3e3x；125?在下列微分方程中，其通解為y蟲嚴x+C2Sinx的是（）（A）y''-y'=0；（B）y''+y'=0；（C）y''+y=0；（D）y''-y=0.TOC\o"1-5"\h\z6?求微分方程y"+3y'+2y=x2的一個特解時，應設特解的形式為（）(A)ax2；(B)ax2+bx+c；(C)x(ax2+bx+c)；(D)x2(ax2+bx+c).7?求微分方程y"一3y'+2y=sinx的一個特解時，應設特解的形式為()(A)bsinx；(B)acosx；(C)acosx+bsinx；(D)x(acosx+bsinx).二、填空題9?微分方程xdy=y+x2sinx的通解是.dx微分方程y''+3y=0的通解是.微分方程y''+4y'+5y=0的通解是.以y=Cxex+Cex為通解的二階常數(shù)線性齊次分方程為.12微分方程4y''+4y'+y=0滿足初始條件y|=2,y'|=0的特解x=0x=0是.微分方程y"-4y'+5y=0的特征根是.1515?求微分方程y"+2y'=2x2-1的一個特解時，應設特解的形式為1515?求微分方程y"+2y'=2x2-1的一個特解時，應設特解的形式為16.已知y=ex2及y=xex2都是微分方程y"—4xy'+(4x2-2)y二0的解，則此方程的12通解為三、計算題17.求下列微分方程的通解(1)dy(1)dy=xydx1+x2sec2xsec2xtanydx+sec2ytanxdy=0.(4)y+y=sinx.(6)y"+5y'+4y=3—2x.18．求下列微分方程滿足所給初始條件的特解(l)cosysinxdx-cosxsinydy=18．求下列微分方程滿足所給初始條件的特解(l)cosysinxdx-cosxsinydy=0,x=0⑵y"—5y，+6y=0,y|=1,y[=2.x=0x=03⑶4y〃+16y'+15y=4e-2x,11x=0x=0⑷2y"+5y'=29cosx,