空間曲線曲率和撓率的介紹

關(guān)于空間曲線曲率和撓率的介紹第1頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五微分幾何的應(yīng)用理論物理廣義相對論將物理量解釋為幾何量。具體的說，空間和時間結(jié)合在一起由一個流形描述：不同的參照系給出不同的局部坐標(biāo)；不同參照系之間的關(guān)系即是坐標(biāo)變換。時空流形的度量由所謂Lorentz度量給出，象Riemann幾何一樣計算出曲率等幾何量。Einstein方程說：時空的物理量（能量動量張量）等于時空的幾何量（Ricci曲率張量）。第2頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五給出類曲線得一單位向量，

稱為曲線（C）上P

點的單位切向量。

稱為曲線在P

點的主法向量,

它垂直于單位切向量。稱為曲線在P點的次法向量。把兩兩正交的單位向量稱為曲線在P

點的伏雷內(nèi)（Frenet)標(biāo)架。1.空間曲線的基本三棱形、伏雷內(nèi)標(biāo)架第3頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五3)由任意兩個基本向量所確定的平面分別叫做:密切平面：法平面：從切平面：而由三個基本向量和上面三個平面所構(gòu)成的圖形叫做曲線的基本三棱形。2)對于曲線（C）的一般參數(shù)表示有第4頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五

4）伏雷內(nèi)（Frenet)公式由定義可得又于是有這個公式稱為空間曲線的伏雷內(nèi)（Frenet)公式。它的系數(shù)組成一反稱方陣第5頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五2.空間曲線的曲率，撓率設(shè)空間曲線(C)為的，且以s為參數(shù)。定義（C）在P點的曲率為

越小就越接近曲線在P點的彎曲程度,進(jìn)一步令則的極限就應(yīng)該是曲線在P點的彎曲程度。曲率的幾何意義是曲線的切向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度。曲率越大，曲線的彎曲程度就越大，因此它反映了曲線的彎曲程度。1）曲率第6頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五例.

求半徑為R

的圓上任意點處的曲率.解:

如圖所示,可見:R

愈小,則K

愈大,圓弧彎曲得愈厲害;R

愈大,則K

愈小,圓弧彎曲得愈小.第7頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五第8頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五例：

空間曲線，為直線的充要條件是曲率證明：若為直線

其中

都是常向量，

并且

，則

反之,若,則于是所以該曲線是直線.第9頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五2)撓率

與曲率類似有

定義曲線（C）在P點的撓率為撓率的絕對值是曲線的次法向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度。撓率恒為零的曲線是平面曲線第10頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五3曲率和撓率的一般參數(shù)表示式給出類的曲線（C）：所以因此由此得到曲率的一般參數(shù)的表示式1）曲率第11頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五

由可得撓率公式為第12頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五有曲率近似計算公式則曲率計算公式為二階可導(dǎo),設(shè)曲線弧說明:若曲線由參數(shù)方程給出,則若曲線方程為則若曲線由參數(shù)方程給出,則第13頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五4）密切園（曲率園）

過曲線（C）上一點P

的主法線的正側(cè)取線段PC，使PC

的長為1/k。以C

為園心，以1/k為半徑在密切平面上確定一個園，這個園稱為曲線在P點的密切園或曲率園，園的中心叫曲率中心，園的半徑叫曲率半徑。第14頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五曲率中心軌跡設(shè)對應(yīng)Y=(x,y,z)，則有容易證明C在P點與曲率圓相切，且在P點的曲率相同在點P

處曲率圓與曲線有下列密切關(guān)系:(1)有公切線;(2)凹向一致;(3)曲率相同.第15頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五例

求圓柱螺線r={acost,asint,bt}(a>0,b>0均為常數(shù))

的曲率、撓率、曲率中心和曲率圓.解

={-asint,acost,b}，

={-acost,-asint,0}，

={asint,-acost,0}.于是

=

=所以圓柱螺線的曲率和撓率都是常數(shù).第16頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五.故曲率中心的半徑向量為可以求出密切平面為于是曲率圓為第17頁，共20頁，2022年，5月20日，15點6分，星期五設(shè)曲線方程為且求曲線上點M

處的曲率半徑及曲率中心設(shè)點M

處的曲率圓方程為故曲率半徑公式為滿足方程組的坐標(biāo)公式.機(jī)