等差數列的通項公式上課

關于等差數列的通項公式上課第1頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五一般地，如果一個數列

a1,a2,a3，…，an…

從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數d，

a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d

那么這個數列就叫做等差數列。常數d叫做等差數列的公差。知識回顧an+1-an=d(n∈N*)第2頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五通項公式的推導1（歸納猜想）設一個等差數列{an}的首項是a1,公差是d,則有：

a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…所以有：an=a1+(n-1)d

當n=1時，上式也成立。所以等差數列的通項公式是：an=a1+(n-1)d（n∈N*）問an=?

通過觀察：a2，a3，a4都可以用a1與d

表示出來；a1與d的系數有什么特點？a1、an、n、d知三求一…a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,…an=a1+(n-1)da2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2da4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d第3頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五疊加得…等差數列的通項公式推導2（疊加）第4頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五例1.在等差數列｛an｝中,已知a3=10,a9=28,求a12。推廣：等差數列｛an｝中，am,an(n>m)等差數列的通項公式一般形式:

an=am+(n－m)d.

解：由題意得

a1+2d=10a1+8d=28所以a12=4+(12-1)×3=37注:a12=a1+11d=a1+2d+(12-3)d=a3+(12-3)d=a1+8d+(12-9)d=a9+(12-9)d解得：a1=4d=3練一練：已知a5=11,a8=5,求等差數列｛an｝的通項公式.第5頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五練習1、填空題：

(1)已知等差數列3，7，11，…，則a11=

(2)已知等差數列11，6，1，…，則an=

(3)已知等差數列10，8，6，…，中，-10是第（）項43-5n+1611第6頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五練習2.已知等差數列｛an｝的通項公式為an=2n–1.

求首項a1和公差d.變式引申:如果一個數列｛an｝的通項公式an=kn+d,其中k,b都是常數,那么這個數列一定是等差數列嗎?語言描述這種現象想一想！第7頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五性質一、思考：1.若在a,b中插入一個數A，使a，A，b成等差數列，那么A應該滿足什么條件？2.在-1與9之間順次插入a，b，c三個數，使這五個數成等差數列，求插入的三個數和等差數列的公差？第8頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五第9頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五

在等差數列中，為公差，若且求證：

證明：設首項為，則例4.等差數列的性質二第10頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五注意：①上面的命題的逆命題

是不一定成立的；②上面的命題中的等式兩邊有

相同數目的項，否則不成立。如a1+a2=a3成立嗎？第11頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五第12頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五在等差數列{an}中，已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.【解析】a4+a5+a6+a7=56，所以a4+a7=28，①又a4a7=187②，聯立①②解得a4=17，a7=11，

a4=11，a7=17，

或所以d=-2或2,從而a14=-3或31.例題分析第13頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五練習.在等差數列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8第14頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五等差數列的單調性由等差數列的定義知an＋1－an＝d，當d＞0時，an＋1＞an即{an}為遞增數列；當d＝0時，an＋1＝an

即{an}為常數列；當d＜0時，an＋1＜an

即{an}為遞減數列．第15頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五第16頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五（2）四個數成遞增等差數列，中間兩個數和為2，首末兩項的積為-8，求這四個數。練習：（1）三個數成等差數列，和為6，積為-24，求這三個數。第17頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五性質四、已知一個等差數列的首項為a1，公差為da1，a2，a3，……an（1）將前m項去掉，其余各項組成的數列是等差數列嗎？如果是，他的首項與公差分別是多少？am+1，am+2，……an是等差數列首項為am+1，公差為d，項數為n-m第18頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五性質四、已知一個等差數列的首項為a1，公差為da1，a2，a3，……an（2）取出數列中的所有奇數項，組成一個數列，是等差數列嗎？如果是，他的首項與公差分別是多少？a1，a3，a5，……是等差數列首項為a1，公差為2d取出的是所有偶數項呢？a2，a4，a6，……是等差數列首項為a2，公差為2d第19頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五性質四、已知一個等差數列的首項為a1，公差為da1，a2，a3，……an（3）取出數列中所有項是7的倍數的各項，組成一個數列，是等差數列嗎？如果是，他的首項與公差分別是多少？a7，a14，a21，……是等差數列首項為a7，公差為7d取出的是所有k倍數的項呢？ak，a2k，a3k，……是等差數列首項為ak，公差為kd第20頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五性質四、已知一個等差數列的首項為a1，公差為da1，a2，a3，……an（4）數列a1+a2，a3+a4，a5+a6，……是等差數列嗎？公差是多少？a1+a2，a2+a3，a3+a4，……是等差數列，公差為2d

數列a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差數列嗎？公差是多少？a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5……是等差數列，公差為3d。第21頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五例：第22頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五性質五、1、若數列{an}為等差數列，公差為d，則{kan}也為等差數列，公差為kd。2、若數列{an}與{bn}都為等差數列，則{an+bn}也為等差數列，{an-bn}也為等差數列，{pan+qbn}也為等差數列。第23頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五第24頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五1.等差數列{an}的前三項依次為a-6，2a-5，-3a+2，則a等于（)

A.-1B.1C.-2D.2B2.在數列{an}中a1=1，an=an+1+4，則a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=4-353.在等差數列{an}中

(1)

若a59=70，a80=112，求a101；

(2)

若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q

=0課堂練習第25頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五(4)第26頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五例3第27頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五練習已知，求的值。解:第28頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五小結★掌握等差數列的通項公式，并能運用公式解決一些簡單的問題

an=a1+(n－1)d★提高觀察、歸納、猜想、推理等數學能力第29頁，共31頁，2022年，5月20日，15點16分，星期五am+an=ap+aq【說明】3.更一般的情形，an=，d=1.{an}為等差數列2.a、b、c成等差數列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b為常數）a