《數(shù)字信號處理》第一章離散時間信號與系統(tǒng) 課件

第一章

離散時間信號與系統(tǒng)第一章

離散時間信號與系統(tǒng)1學習目標掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義,掌握序列的基本運算，并會判斷序列的周期性。掌握線性/移不變/因果/穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)的概念并會判斷，掌握線性移不變系統(tǒng)及其因果性/穩(wěn)定性判斷的充要條件。理解常系數(shù)線性差分方程及其用迭代法求解單位抽樣響應。了解對連續(xù)時間信號的時域抽樣，掌握奈奎斯特抽樣定理，了解抽樣的恢復過程。學習目標掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義,掌握序列的基本21.1離散時間信號——序列信號是傳遞信息的函數(shù)。針對信號的自變量和函數(shù)值的取值，可分為三種信號：（1）連續(xù)時間信號 -----自變量取連續(xù)值，而函數(shù)值可連續(xù)可離散。當函數(shù)值是連續(xù)的，又常稱模擬信號，如語音信號、電視信號等。（2）離散時間信號 -----自變量取離散值，而函數(shù)值連續(xù)。（3）數(shù)字信號 -----自變量和函數(shù)值均取離散值。它是信號幅度離散化了的離散時間信號。1.1離散時間信號——序列信號是傳遞信息的函數(shù)。3離散時間信號是對模擬信號xa(t)進行等間隔采樣獲得的，采樣間隔為T，得到：一、離散時間信號——序列的概念0txa(t)0xa(nT)tT2T離散時間信號是對模擬信號xa(t)進行等間隔采樣獲得的，4這里

n取整數(shù)。對于不同的

n值，xa(nT)

是一個有序的數(shù)字序列，該數(shù)字序列就是離散時間信號。注意，這里的n取整數(shù)，非整數(shù)時無定義，另外，在數(shù)值上它等于信號的采樣值，即離散時間信號的表示方法：公式表示法、圖形表示法、集合符號表示法，如這里n取整數(shù)。對于不同的n值，xa(nT)是一個有5二、常用序列1.單位抽樣序列(n)01/t(t)0(1)t(t)1n0(n)二、常用序列1.單位抽樣序列(n)01/t(t)062.單位階躍序列u(n)t0u(t)1…0nu(n)2.單位階躍序列u(n)t0u(t)1…0nu(n)7(n)與u(n)之間的關系令n-k=m，有(n)與u(n)之間的關系令n-k=m，有83.矩形序列RN(n)N為矩形序列的長度0nR4(n)1233.矩形序列RN(n)N為矩形序列的長度0nR4(n)1294.實指數(shù)序列，a為實數(shù)0n0<a<10na>1a<-1或-1<a<0,序列的幅值擺動0n-1<a<00na<-14.實指數(shù)序列，a為實數(shù)0n0<a<10na>1a<-1或105.正弦序列式中，ω為數(shù)字域頻率，單位為弧度。如果正弦序列是由模擬信號xa(t)采樣得到的，那么Ω為模擬角頻率，單位為弧度/秒。T為信號的采樣周期，fs為信號的采樣頻率。5.正弦序列式中，ω為數(shù)字域頻率，單位為弧度。如果正弦序列116.復指數(shù)序列這里ω為數(shù)字域頻率，單位為弧度。當=0時，上式可表示成上式還可寫成表明復指數(shù)序列具有以2為周期的周期性，在以后的研究中，頻率域只考慮一個周期就夠了。6.復指數(shù)序列這里ω為數(shù)字域頻率，單位為弧度。當=0時127.周期序列如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，使下面等式成立：例：則稱x(n)為周期序列，最小周期為N。7.周期序列如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，使下面等式13一般正弦序列的周期性設那么如果則N，k均取整數(shù)式中，A為幅度，ω0為數(shù)字域頻率，為初相。一般正弦序列的周期性設那么如果則N，k均取整數(shù)式中，A為幅度14正弦序列的周期性討論：整數(shù)時，則正弦序列有周期，當k=1時，周期為有理數(shù)時，設=P/Q，要使N=(2/0)k=(P/Q)k為最小正整數(shù)，只有k=Q，即N=P時，所以正弦序列的周期為P無理數(shù)時，則正弦序列無周期。例如，正弦序列的周期性討論：整數(shù)時，則正弦序列有周期，當k=1時，15用單位采樣序列來表示任意序列用單位采樣序列來表示任意序列16三、序列的運算1.序列的加法x1(n)n0x2(n)n0x1(n)+x2(n)n0同序號的序列值逐項對應相加三、序列的運算1.序列的加法x1(n)n0x2(n)n0172.序列的乘法x1(n)n0x2(n)n00nx1(n)

·x2(n)同序號的序列值逐項對應相乘2.序列的乘法x1(n)n0x2(n)n00nx1(n)183.序列的移位當n0>0時，序列右移 ——延遲當n0<0時，序列左移 ——超前x(n)n0n0x(n-2)3.序列的移位當n0>0時，序列右移x(n)n0n0x194.序列的翻轉(zhuǎn)n0x(-n)x(-n)是x(n)的翻轉(zhuǎn)序列。x(-n)是以縱軸（n=0）為對稱軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。x(n)n04.序列的翻轉(zhuǎn)n0x(-n)x(-n)是x(n)的翻轉(zhuǎn)序205.尺度變換x(n)n0n0x(2n)是序列每隔m點取一點形成的，相當于時間軸n壓縮了m倍。

——抽取序列是序列相鄰抽樣點間補（m－1)個零值點，表示零值插值。

——插值序列5.尺度變換x(n)n0n0x(2n)是序列每隔m點取一點216.累加（等效積分）7.差分運算

前向差分 后向差分8.卷積和等效為翻褶、移位、相乘和相加四個步驟。6.累加（等效積分）7.差分運算8.卷積和等效為翻褶、221.2線性移不變系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)T[?]x(n)y(n)在時域離散系統(tǒng)中，最重要、最常用的是線性時不變系統(tǒng)。系統(tǒng)可定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一變換或運算，并用T[]表示，即1.2線性移不變系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)x(n)y(n)在時域離散231.2.1線性系統(tǒng)若系統(tǒng)滿足可加性與比例性,則稱此系統(tǒng)為離散時間線性系統(tǒng)。其中a、b為任意常數(shù)。設1.2.1線性系統(tǒng)若系統(tǒng)滿足可加性與比例性,則稱此系統(tǒng)為離24[例]是線性系統(tǒng)。證：所以，此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。[例]是線性系統(tǒng)。證：所以，此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。25[例]所代表的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。證：但是所以，此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。[例]所代表的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。證：但是所以，此系統(tǒng)不是線性26增量線性系統(tǒng)對增量線性系統(tǒng)，任意兩個輸入的差是兩個輸入差的線性函數(shù)增量線性系統(tǒng)對增量線性系統(tǒng)，任意兩個輸入的差是兩個輸入差的線271.2.2時不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）時不變系統(tǒng)T[?]x(n)y(n)若則n0為任意整數(shù)。輸入移動任意位（如n0位），其輸出也移動這么多位，而幅值卻保持不變。1.2.2時不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）時不變系統(tǒng)x(n)y(n28[例]證：所以，此系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。[例]證：所以，此系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。29[例]證：所以，此系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。同理，可證明所代表的系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。[例]證：所以，此系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。同理，可證明301.2.3線性時不變系統(tǒng)輸入與輸出

之間的關系T[?](n)h(n)一個既滿足疊加原理，又滿足時不變條件的系統(tǒng)，被稱為線性時不變系統(tǒng)(linearshiftinvariant,LTI)。線性時不變系統(tǒng)可用它的單位抽樣響應來表征。

單位取樣響應，也稱單位沖激響應，是指輸入為單位沖激序列時系統(tǒng)的輸出，一般用h(n)來表示：1.2.3線性時不變系統(tǒng)輸入與輸出

之間的關系T[?]31根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)又根據(jù)時不變性質(zhì)設系統(tǒng)的輸入用x(n)表示，而因此，系統(tǒng)輸出為通常把上式稱為離散卷積或線性卷積。這一關系常用符號“*”表示：根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)又根據(jù)時不變性質(zhì)設系統(tǒng)的輸入用x(n)32 線性時不變系統(tǒng)的一個重要特性是它的輸入與輸出序列之間存在著線性卷積關系：用單位取樣響應h(n)來描述系統(tǒng)h(n)x(n)y(n) 線性時不變系統(tǒng)的一個重要特性是它的輸入與輸出序列之間存在著33線性卷積的計算計算它們的卷積的步驟如下：(1)折疊：先在啞變量坐標軸k上畫出x(k)和h(k)，將h(k)以縱坐標為對稱軸折疊成h(-k)。(2)移位：將h(-k)移位n，得h(n-k)。當n為正數(shù)時，右移n；當n為負數(shù)時，左移n。(3)相乘：將h(n-k)和x(k)的對應取樣值相乘。(4)相加：把所有的乘積累加起來，即得y(n)。線性卷積的計算計算它們的卷積的步驟如下：34例

已知x(n)和h(n)分別為：和a為常數(shù)，且1<a，試求x(n)和h(n)的線性卷積。計算線性卷積時，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮，下面舉例說明。例

已知x(n)和h(n)分別為：和a為常數(shù)，且1<a，試35解

參看圖，分段考慮如下：(1)對于n<0；(2)對于0≤n≤4；(3)對于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6；(4)對于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10；(5)對于(n-6)>4，即n>10。0nx(n)40nh(n)6n-6mh(n-m)n解

參看圖，分段考慮如下：(1)對于n<0；0nx(n)436圖解說明0mx(m)40mh(m)6-6mh(0-m)06(1)n<0n-6mh(n-m)n0(2)0≤n≤4n-6mh(n-m)n04圖解說明0mx(m)40mh(m)6-6mh(0-m)06(37(3)4<n≤6n-6mh(n-m)n046n-6mh(n-m)n06(4)6<n≤1010(5)n>10n-6mh(n-m)n04(2)0≤n≤4n-6mh(n-m)n04圖解說明(3)4<n≤6n-6mh(n-m)n046n-6mh(n38(2)在0≤n≤4區(qū)間上n-6mh(n-m)n040mx(m)4(2)在0≤n≤4區(qū)間上n-6mh(n-m)n040mx(m39(3)在4<n≤6區(qū)間上n-6mh(n-m)n0460mx(m)4(3)在4<n≤6區(qū)間上n-6mh(n-m)n0460mx(40(4)在6<n≤10區(qū)間上n-6mh(n-m)n06100mx(m)4(4)在6<n≤10區(qū)間上n-6mh(n-m)n06100m41綜合以上結(jié)果，y(n)可歸納如下：綜合以上結(jié)果，y(n)可歸納如下：42卷積結(jié)果y(n)如圖所示6ny(n)1004卷積結(jié)果y(n)如圖所示6ny(n)100443[例]設有一線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為解：分段考慮如下：(1)對于n<0；(2)對于0≤n≤N－1；(3)對于nN。[例]設有一線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為解：分段考慮如下44(2)在0n<N區(qū)間上(2)在0n<N區(qū)間上45(3)在nN區(qū)間上(1)(2)(3)y(n)(3)在nN區(qū)間上(1)(2)(3)y(n)46例設有一線性時不變系統(tǒng)，其3142x(m)m01234215h(m)m10234解：m0-2-3-4-11h(-m)例設有一線性時不變系統(tǒng)，其3142x(m)m0123421547-3-1120mh(1-m)-23-1120mh(2-m)-2ny(n)-1120-2345665241322103142x(m)m01234-3-1120mh(1-m)-23-1120mh(2-m)-48對有限長序列相卷，可用豎乘法注：1.各點要分別乘、分別加且不跨點進位；2.卷和結(jié)果的起始序號等于兩序列的其實序號之和。對有限長序列相卷，可用豎乘法注：1.各點要分別乘、分別加且49由上面幾個例子的討論可見，h(n)x(n)y(n)設x(n)和h(n)兩序列的長度分別是N和M，線性卷積后的序列長度為(N+M-1)。由上面幾個例子的討論可見，h(n)x(n)y(n)設x(n)50線性卷積滿足以下運算規(guī)律：交換律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)線性卷積滿足以下運算規(guī)律：交換律h(n)x(n)y(n)x(51結(jié)合律分配律h1(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)+h1(n)+h2(n)x(n)y(n)結(jié)合律分配律h1(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)52序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身：如果序列與一個移位的單位取樣序列(n-n0)進行線性卷積，就相當于將序列本身移位n0：序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身：如果序列與一個53[例]h1(n)x(n)y(n)h2(n)求系統(tǒng)的輸出y(n)。m(n)解：設級聯(lián)的第一個系統(tǒng)輸出m(n)[例]h1(n)x(n)y(n)h2(n)求系統(tǒng)的輸出y(n54《數(shù)字信號處理》第一章離散時間信號與系統(tǒng)課件551.2.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性在系統(tǒng)中，若輸出y(n)只取決于n時刻，以及n時刻以前的輸入，即稱該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。對于線性時不變系統(tǒng)，具有因果性的充要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應滿足：如因果系統(tǒng)是指輸出的變化不領先于輸入的變化的系統(tǒng)。1.2.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性在系統(tǒng)中，若輸出y(n)只取56穩(wěn)定系統(tǒng)對一個線性時不變系統(tǒng)來說，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位取樣響應絕對可和，即穩(wěn)定系統(tǒng)是指對于每個有界輸入x(n)，都產(chǎn)生有界輸出y(n)的系統(tǒng)。即如果|x(n)|≤M(M為正常數(shù))，有|y(n)|<+∞，則該系統(tǒng)被稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)對一個線性時不變系統(tǒng)來說，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位取57[例]設某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解：由于n<0時，h(n)=0，故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。所以時，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。[例]設某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為式中a是實常數(shù)，試58[例]設某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解：(1)討論因果性由于n<0時，h(n)0，故此系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。

(2)討論穩(wěn)定性所以時，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。[例]設某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為式中a是實常數(shù)，試591.3線性常系數(shù)差分方程一個N階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)線性常系數(shù)微分方程離散時間線性時不變系統(tǒng)線性常系數(shù)差分方程求解差分方程的基本方法有三種：經(jīng)典法求齊次解、特解、全解遞推法求解時需用初始條件啟動計算變換域法將差分方程變換到Z域進行求解1.3線性常系數(shù)差分方程一個N階線性常系數(shù)差分方程用下式60[例]設差分方程為求輸出序列設系統(tǒng)參數(shù)設輸入為初始條件為解：[例]設差分方程為求輸出序列設系統(tǒng)參數(shù)設輸入為初始條件為解：61依次類推初始條件為依次類推初始條件為62延時延時a0x(n)x(n)a1x(n-1)-b1y(n-1)a0x(n-1)a1-b1y(n)差分方程表示法的另一優(yōu)點是可以直接得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)延時延時a0x(n)x(n)a1x(n-1)-b1y(n-1631.4連續(xù)時間信號的抽樣連續(xù)時間信號離散時間信號采樣內(nèi)插信號經(jīng)過采樣以后，將發(fā)生一些什么變化？例如，信號頻譜將發(fā)生怎樣變化；經(jīng)過采樣后信號內(nèi)容會不會有丟失；如果信號沒有被丟失，其反變換應該怎樣進行，即由數(shù)字信號恢復成模擬信號應該具備那些條件等。1.4連續(xù)時間信號的抽樣連續(xù)時間離散時間采樣內(nèi)插信號經(jīng)過采641.4.1采樣S0tT2T0tP(t)T0txa(t)最高頻率為fc

1.4.1采樣S0tT2T0tP(t)T0txa(t)65理想采樣一、理想采樣xa(t)P(t)0txa(t)^0t0tT1T理想采樣一、理想采樣xa(t)P(t)0txa(t)^0t66定義單位沖擊函數(shù)t0(t)(1)單位沖擊函數(shù)有一個重要的性質(zhì)：采樣性若f(t)為連續(xù)函數(shù)，則有將上式推廣，可得t0(t-t0)定義單位沖擊函數(shù)t0(t)(1)單位沖擊函數(shù)有一個重要的67二、頻譜的周期延拓即即-1二、頻譜的周期延拓即即-168由于是周期函數(shù)可用傅立葉級數(shù)表示，即采樣角頻率系數(shù)由于是周期函數(shù)可用傅立葉級數(shù)表示，即采樣角頻率系69《數(shù)字信號處理》第一章離散時間信號與系統(tǒng)課件70對稱性移頻特性根據(jù)對稱性移頻特性根據(jù)710(S)S2S-S-2SS0(S)S2S-S-2SS72采樣信號的傅氏變換為采樣信號的傅氏變換為73即 采樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓，其延拓周期為s。即 采樣信號的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓，其延拓周期為74討論：S/2CS2S3S0-S(c)-CCS/20(a)最高截止頻率S/20-S2SS(b)討論：S/2CS2S3S0-S(c)-C75稱Nyquist采樣率稱折疊頻率CS/2S0-S~稱Nyquist范圍采樣定理：要想采樣后能夠不失真地還原出原信號，則采樣頻率必須大于兩倍原信號頻譜的最高截止頻率（s2C）。由上面的分析有，頻譜發(fā)生混疊的原因有兩個：1.采樣頻率低2.連續(xù)信號的頻譜沒有被限帶稱Nyquist采樣率稱折疊頻率CS/2S0-S~760C

2C

3C

4C

可選s=(34)C

低通采樣0C2C3C4C可選s=(34)C77頻域分析且在時，0TS/2-S/2G(j)g(t)1.4.2采樣的恢復頻域分析且在時，0TS/2-S/278時，000時，00079時域分析g(t)時，0T時域分析g(t)時，0T80或稱為內(nèi)插函數(shù)或稱為內(nèi)插函數(shù)81《數(shù)字信號處理》第一章離散時間信號與系統(tǒng)課件82采樣內(nèi)插公式采樣內(nèi)插公式說明：只要滿足采樣頻率高于兩倍信號最高截止頻率，則整個連續(xù)時間信號就可以用它的采樣值來完全代表，而不會丟失任何信息。采樣內(nèi)插公式采樣內(nèi)插公式說明：只要滿足采樣頻率高于兩倍信號最83tnT(n+1)T(n+2)T(n+3)T(n-1)T內(nèi)插函數(shù)采樣的內(nèi)插恢復Homework：P41－1467891112tnT(n+1)T(n+2)T(n+3)T(n-1)T內(nèi)插函84第一章

離散時間信號與系統(tǒng)第一章

離散時間信號與系統(tǒng)85學習目標掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義,掌握序列的基本運算，并會判斷序列的周期性。掌握線性/移不變/因果/穩(wěn)定的離散時間系統(tǒng)的概念并會判斷，掌握線性移不變系統(tǒng)及其因果性/穩(wěn)定性判斷的充要條件。理解常系數(shù)線性差分方程及其用迭代法求解單位抽樣響應。了解對連續(xù)時間信號的時域抽樣，掌握奈奎斯特抽樣定理，了解抽樣的恢復過程。學習目標掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義,掌握序列的基本861.1離散時間信號——序列信號是傳遞信息的函數(shù)。針對信號的自變量和函數(shù)值的取值，可分為三種信號：（1）連續(xù)時間信號 -----自變量取連續(xù)值，而函數(shù)值可連續(xù)可離散。當函數(shù)值是連續(xù)的，又常稱模擬信號，如語音信號、電視信號等。（2）離散時間信號 -----自變量取離散值，而函數(shù)值連續(xù)。（3）數(shù)字信號 -----自變量和函數(shù)值均取離散值。它是信號幅度離散化了的離散時間信號。1.1離散時間信號——序列信號是傳遞信息的函數(shù)。87離散時間信號是對模擬信號xa(t)進行等間隔采樣獲得的，采樣間隔為T，得到：一、離散時間信號——序列的概念0txa(t)0xa(nT)tT2T離散時間信號是對模擬信號xa(t)進行等間隔采樣獲得的，88這里

n取整數(shù)。對于不同的

n值，xa(nT)

是一個有序的數(shù)字序列，該數(shù)字序列就是離散時間信號。注意，這里的n取整數(shù)，非整數(shù)時無定義，另外，在數(shù)值上它等于信號的采樣值，即離散時間信號的表示方法：公式表示法、圖形表示法、集合符號表示法，如這里n取整數(shù)。對于不同的n值，xa(nT)是一個有89二、常用序列1.單位抽樣序列(n)01/t(t)0(1)t(t)1n0(n)二、常用序列1.單位抽樣序列(n)01/t(t)0902.單位階躍序列u(n)t0u(t)1…0nu(n)2.單位階躍序列u(n)t0u(t)1…0nu(n)91(n)與u(n)之間的關系令n-k=m，有(n)與u(n)之間的關系令n-k=m，有923.矩形序列RN(n)N為矩形序列的長度0nR4(n)1233.矩形序列RN(n)N為矩形序列的長度0nR4(n)12934.實指數(shù)序列，a為實數(shù)0n0<a<10na>1a<-1或-1<a<0,序列的幅值擺動0n-1<a<00na<-14.實指數(shù)序列，a為實數(shù)0n0<a<10na>1a<-1或945.正弦序列式中，ω為數(shù)字域頻率，單位為弧度。如果正弦序列是由模擬信號xa(t)采樣得到的，那么Ω為模擬角頻率，單位為弧度/秒。T為信號的采樣周期，fs為信號的采樣頻率。5.正弦序列式中，ω為數(shù)字域頻率，單位為弧度。如果正弦序列956.復指數(shù)序列這里ω為數(shù)字域頻率，單位為弧度。當=0時，上式可表示成上式還可寫成表明復指數(shù)序列具有以2為周期的周期性，在以后的研究中，頻率域只考慮一個周期就夠了。6.復指數(shù)序列這里ω為數(shù)字域頻率，單位為弧度。當=0時967.周期序列如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，使下面等式成立：例：則稱x(n)為周期序列，最小周期為N。7.周期序列如果對所有n存在一個最小的正整數(shù)N，使下面等式97一般正弦序列的周期性設那么如果則N，k均取整數(shù)式中，A為幅度，ω0為數(shù)字域頻率，為初相。一般正弦序列的周期性設那么如果則N，k均取整數(shù)式中，A為幅度98正弦序列的周期性討論：整數(shù)時，則正弦序列有周期，當k=1時，周期為有理數(shù)時，設=P/Q，要使N=(2/0)k=(P/Q)k為最小正整數(shù)，只有k=Q，即N=P時，所以正弦序列的周期為P無理數(shù)時，則正弦序列無周期。例如，正弦序列的周期性討論：整數(shù)時，則正弦序列有周期，當k=1時，99用單位采樣序列來表示任意序列用單位采樣序列來表示任意序列100三、序列的運算1.序列的加法x1(n)n0x2(n)n0x1(n)+x2(n)n0同序號的序列值逐項對應相加三、序列的運算1.序列的加法x1(n)n0x2(n)n01012.序列的乘法x1(n)n0x2(n)n00nx1(n)

·x2(n)同序號的序列值逐項對應相乘2.序列的乘法x1(n)n0x2(n)n00nx1(n)1023.序列的移位當n0>0時，序列右移 ——延遲當n0<0時，序列左移 ——超前x(n)n0n0x(n-2)3.序列的移位當n0>0時，序列右移x(n)n0n0x1034.序列的翻轉(zhuǎn)n0x(-n)x(-n)是x(n)的翻轉(zhuǎn)序列。x(-n)是以縱軸（n=0）為對稱軸將序列x(n)加以翻轉(zhuǎn)。x(n)n04.序列的翻轉(zhuǎn)n0x(-n)x(-n)是x(n)的翻轉(zhuǎn)序1045.尺度變換x(n)n0n0x(2n)是序列每隔m點取一點形成的，相當于時間軸n壓縮了m倍。

——抽取序列是序列相鄰抽樣點間補（m－1)個零值點，表示零值插值。

——插值序列5.尺度變換x(n)n0n0x(2n)是序列每隔m點取一點1056.累加（等效積分）7.差分運算

前向差分 后向差分8.卷積和等效為翻褶、移位、相乘和相加四個步驟。6.累加（等效積分）7.差分運算8.卷積和等效為翻褶、1061.2線性移不變系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)T[?]x(n)y(n)在時域離散系統(tǒng)中，最重要、最常用的是線性時不變系統(tǒng)。系統(tǒng)可定義為將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一變換或運算，并用T[]表示，即1.2線性移不變系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)x(n)y(n)在時域離散1071.2.1線性系統(tǒng)若系統(tǒng)滿足可加性與比例性,則稱此系統(tǒng)為離散時間線性系統(tǒng)。其中a、b為任意常數(shù)。設1.2.1線性系統(tǒng)若系統(tǒng)滿足可加性與比例性,則稱此系統(tǒng)為離108[例]是線性系統(tǒng)。證：所以，此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。[例]是線性系統(tǒng)。證：所以，此系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。109[例]所代表的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。證：但是所以，此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。[例]所代表的系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。證：但是所以，此系統(tǒng)不是線性110增量線性系統(tǒng)對增量線性系統(tǒng)，任意兩個輸入的差是兩個輸入差的線性函數(shù)增量線性系統(tǒng)對增量線性系統(tǒng)，任意兩個輸入的差是兩個輸入差的線1111.2.2時不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）時不變系統(tǒng)T[?]x(n)y(n)若則n0為任意整數(shù)。輸入移動任意位（如n0位），其輸出也移動這么多位，而幅值卻保持不變。1.2.2時不變系統(tǒng)（移不變系統(tǒng)）時不變系統(tǒng)x(n)y(n112[例]證：所以，此系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。[例]證：所以，此系統(tǒng)是時不變系統(tǒng)。113[例]證：所以，此系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。同理，可證明所代表的系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。[例]證：所以，此系統(tǒng)不是時不變系統(tǒng)。同理，可證明1141.2.3線性時不變系統(tǒng)輸入與輸出

之間的關系T[?](n)h(n)一個既滿足疊加原理，又滿足時不變條件的系統(tǒng)，被稱為線性時不變系統(tǒng)(linearshiftinvariant,LTI)。線性時不變系統(tǒng)可用它的單位抽樣響應來表征。

單位取樣響應，也稱單位沖激響應，是指輸入為單位沖激序列時系統(tǒng)的輸出，一般用h(n)來表示：1.2.3線性時不變系統(tǒng)輸入與輸出

之間的關系T[?]115根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)又根據(jù)時不變性質(zhì)設系統(tǒng)的輸入用x(n)表示，而因此，系統(tǒng)輸出為通常把上式稱為離散卷積或線性卷積。這一關系常用符號“*”表示：根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)又根據(jù)時不變性質(zhì)設系統(tǒng)的輸入用x(n)116 線性時不變系統(tǒng)的一個重要特性是它的輸入與輸出序列之間存在著線性卷積關系：用單位取樣響應h(n)來描述系統(tǒng)h(n)x(n)y(n) 線性時不變系統(tǒng)的一個重要特性是它的輸入與輸出序列之間存在著117線性卷積的計算計算它們的卷積的步驟如下：(1)折疊：先在啞變量坐標軸k上畫出x(k)和h(k)，將h(k)以縱坐標為對稱軸折疊成h(-k)。(2)移位：將h(-k)移位n，得h(n-k)。當n為正數(shù)時，右移n；當n為負數(shù)時，左移n。(3)相乘：將h(n-k)和x(k)的對應取樣值相乘。(4)相加：把所有的乘積累加起來，即得y(n)。線性卷積的計算計算它們的卷積的步驟如下：118例

已知x(n)和h(n)分別為：和a為常數(shù)，且1<a，試求x(n)和h(n)的線性卷積。計算線性卷積時，一般要分幾個區(qū)間分別加以考慮，下面舉例說明。例

已知x(n)和h(n)分別為：和a為常數(shù)，且1<a，試119解

參看圖，分段考慮如下：(1)對于n<0；(2)對于0≤n≤4；(3)對于n>4，且n-6≤0，即4<n≤6；(4)對于n>6，且n-6≤4，即6<n≤10；(5)對于(n-6)>4，即n>10。0nx(n)40nh(n)6n-6mh(n-m)n解

參看圖，分段考慮如下：(1)對于n<0；0nx(n)4120圖解說明0mx(m)40mh(m)6-6mh(0-m)06(1)n<0n-6mh(n-m)n0(2)0≤n≤4n-6mh(n-m)n04圖解說明0mx(m)40mh(m)6-6mh(0-m)06(121(3)4<n≤6n-6mh(n-m)n046n-6mh(n-m)n06(4)6<n≤1010(5)n>10n-6mh(n-m)n04(2)0≤n≤4n-6mh(n-m)n04圖解說明(3)4<n≤6n-6mh(n-m)n046n-6mh(n122(2)在0≤n≤4區(qū)間上n-6mh(n-m)n040mx(m)4(2)在0≤n≤4區(qū)間上n-6mh(n-m)n040mx(m123(3)在4<n≤6區(qū)間上n-6mh(n-m)n0460mx(m)4(3)在4<n≤6區(qū)間上n-6mh(n-m)n0460mx(124(4)在6<n≤10區(qū)間上n-6mh(n-m)n06100mx(m)4(4)在6<n≤10區(qū)間上n-6mh(n-m)n06100m125綜合以上結(jié)果，y(n)可歸納如下：綜合以上結(jié)果，y(n)可歸納如下：126卷積結(jié)果y(n)如圖所示6ny(n)1004卷積結(jié)果y(n)如圖所示6ny(n)1004127[例]設有一線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為解：分段考慮如下：(1)對于n<0；(2)對于0≤n≤N－1；(3)對于nN。[例]設有一線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為解：分段考慮如下128(2)在0n<N區(qū)間上(2)在0n<N區(qū)間上129(3)在nN區(qū)間上(1)(2)(3)y(n)(3)在nN區(qū)間上(1)(2)(3)y(n)130例設有一線性時不變系統(tǒng)，其3142x(m)m01234215h(m)m10234解：m0-2-3-4-11h(-m)例設有一線性時不變系統(tǒng)，其3142x(m)m01234215131-3-1120mh(1-m)-23-1120mh(2-m)-2ny(n)-1120-2345665241322103142x(m)m01234-3-1120mh(1-m)-23-1120mh(2-m)-132對有限長序列相卷，可用豎乘法注：1.各點要分別乘、分別加且不跨點進位；2.卷和結(jié)果的起始序號等于兩序列的其實序號之和。對有限長序列相卷，可用豎乘法注：1.各點要分別乘、分別加且133由上面幾個例子的討論可見，h(n)x(n)y(n)設x(n)和h(n)兩序列的長度分別是N和M，線性卷積后的序列長度為(N+M-1)。由上面幾個例子的討論可見，h(n)x(n)y(n)設x(n)134線性卷積滿足以下運算規(guī)律：交換律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)線性卷積滿足以下運算規(guī)律：交換律h(n)x(n)y(n)x(135結(jié)合律分配律h1(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)+h1(n)+h2(n)x(n)y(n)結(jié)合律分配律h1(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)136序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身：如果序列與一個移位的單位取樣序列(n-n0)進行線性卷積，就相當于將序列本身移位n0：序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身：如果序列與一個137[例]h1(n)x(n)y(n)h2(n)求系統(tǒng)的輸出y(n)。m(n)解：設級聯(lián)的第一個系統(tǒng)輸出m(n)[例]h1(n)x(n)y(n)h2(n)求系統(tǒng)的輸出y(n138《數(shù)字信號處理》第一章離散時間信號與系統(tǒng)課件1391.2.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性在系統(tǒng)中，若輸出y(n)只取決于n時刻，以及n時刻以前的輸入，即稱該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。對于線性時不變系統(tǒng)，具有因果性的充要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應滿足：如因果系統(tǒng)是指輸出的變化不領先于輸入的變化的系統(tǒng)。1.2.4系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性在系統(tǒng)中，若輸出y(n)只取140穩(wěn)定系統(tǒng)對一個線性時不變系統(tǒng)來說，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位取樣響應絕對可和，即穩(wěn)定系統(tǒng)是指對于每個有界輸入x(n)，都產(chǎn)生有界輸出y(n)的系統(tǒng)。即如果|x(n)|≤M(M為正常數(shù))，有|y(n)|<+∞，則該系統(tǒng)被稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)對一個線性時不變系統(tǒng)來說，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是單位取141[例]設某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解：由于n<0時，h(n)=0，故此系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。所以時，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。[例]設某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為式中a是實常數(shù)，試142[例]設某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為式中a是實常數(shù)，試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。解：(1)討論因果性由于n<0時，h(n)0，故此系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)。

(2)討論穩(wěn)定性所以時，此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。[例]設某線性時不變系統(tǒng)，其單位取樣響應為式中a是實常數(shù)，試1431.3線性常系數(shù)差分方程一個N階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)線性常系數(shù)微分方程離散時間線性時不變系統(tǒng)線性常系數(shù)差分方程求解差分方程的基本方法有三種：經(jīng)典法求齊次解、特解、全解遞推法求解時需用初始條件啟動計算變換域法將差分方程變換到Z域進行求解1.3線性常系數(shù)差分方程一個N階線性常系數(shù)差分方程用下式144[例]設差分方程為求輸出序列設系統(tǒng)參數(shù)設輸入為初始條件為解：[例]設差分方程為求輸出序列設系統(tǒng)參數(shù)設輸入為初始條件為解：145依次類推初始條件為依次類推初始條件為146延時延時a0x(n)x(n)a1x(n