錯位相減法求和練習

錯位相減法求和練習通項公式特點：a=等差x等比，比如a=n-2，其中n代表一個等差數(shù)列的通項公式（關于n的一次nn函數(shù)），2n代表一個等比數(shù)列的通項公式（關于n的指數(shù)型函數(shù)），那么便可以使用錯位相減法方法詳解：以a—（2n一】）?2n為例，設其前n項和為Snn列：先將S寫成n項和的形式S—1?21+3?22+???+（2n—1）?2nn乘q：兩邊同時乘以等比部分的公比，得到一個新的等式，與原等式上下排列S—1?21+3?22+???+（2n—1）?2nn2S=n新等式的每項向后挪了一位。1?22+3-23+???+（2n-3）?2n+（2〃-1）?22S=n新等式的每項向后挪了一位。③差：然后兩式相減：—S—1?21+2（22+23++2n）—（2n—1）?2n+1除了首項與末項，中間部分呈n等比數(shù)列求和特點，代入公式求和，再解出S即可n—S—1?21+2（22+23+???+2n）—（2n—1）?2n+1n4(2n—1—1)(\=2+2—(2n—)2n+1=(3—2n)?2n+i—6所以S—（2n—3）?2n+1+6n通過“列，乘，差”三步解決錯位相減類問題。求出的結果檢驗匚與?是否相等來檢查是否算錯對“錯位相減法”的深層理解：通項公式的特點在錯位相減法的過程中體現(xiàn)了怎樣的作用？通過解題過程我們可以發(fā)現(xiàn)：等比的部分使得每項的次數(shù)逐次遞增，才保證在兩邊同乘公比時實現(xiàn)了“錯位”的效果。而等差的部分錯位部分“相減”后保持系數(shù)一致（其系數(shù)即為等差部分的公差），從而可圈在一起進行等比數(shù)列求和。體會到“錯位”與“相減”所需要的條件，則可以讓我們更靈活的使用這一方法進行數(shù)列求和1.［一般］(2020?安徽模擬)已知數(shù)列｛an｝是遞增的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，a2=9,S3=39.求數(shù)列｛an｝的通項公式；記b=匪1，求數(shù)列｛b｝的前n項和T.7TI-7T7T2.［困難］(2020?深圳模擬)已知數(shù)列｛an｝的首項引今，an+1an+an+1=2an(an^0J庶2)?證明：數(shù)列是等比數(shù)列；數(shù)列的前n項和S.n3.［—般］(2020?衡陽二模)已知Sn為數(shù)列｛an｝的前n項和，且n+2,屮*,(a1-2)n依次成等比數(shù)列.求數(shù)列｛an｝的通項公式；自11、若匕口二〒"，求數(shù)列｛bn｝的前n項和T”.4.［一般］(2020?濱州二模)已知｛an｝為等差數(shù)列，a3+a6=25,a8=23，｛b｝為等比數(shù)列，且a1=2b1，bjb5=a11-求｛an｝,｛bn｝的通項公式；記c=a?b，求數(shù)列｛c｝的前n項和T.nnnn1y，__:i-5.［—般］(2020?全國II卷模擬)已知數(shù)列｛a｝的前n項和為S,a〔=1，0°=石、-2a+1CnEN且12厶an+ln三2).證明：為等差數(shù)列：an311求數(shù)列的前n項和T.6.［一般］(2020?重慶模擬)已知公比大于1的等比數(shù)列｛an｝的前n項和為S“，a1=2，且a6，S4，-a2成等差數(shù)列.求a；n設匕“丄旦，求數(shù)列｛b｝的前n項和T.11Q""n7.［較易］(2020?咸陽一模)已知數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，且滿足Sn=2a-2n-1,(n@+)?求證：數(shù)列｛an+2｝是等比數(shù)列；求數(shù)列｛n?(a”+2)｝的前n項和.8.［一般］(2020?西安一模)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛an｝的前n項和為S,若a1=1,S“=a,求數(shù)列｛an｝的通項公式.若b“=nan+1，求數(shù)列｛b”｝的前n項和S”.(n+1)b=n9.［一般］(2020?淮南一模)已知等差數(shù)列｛log3an｝的首項為1,公差為1,等差數(shù)列｛b”｝滿足n2+2(n+1)b=n求數(shù)列｛an｝和數(shù)列｛bn｝的通項公式；若cn=亠，求數(shù)列｛cn｝的前n項和S.nnn10.［一般］(2020?資陽模擬)已知等差數(shù)列｛an｝的前n項和為S“，a1=1,且S4=a4+a5.求a；n求數(shù)列的前n項和T.■nn_n錯位相減法求和練習參考答案一、解答題（共10小題）1.【解答】解:（1）數(shù)列｛an｝是遞增的等比數(shù)列，設公比為q,由題意可得q>1,q1由a2=9,S3=39，可得^+9+9q=39，解得q=3或肓（舍去）’23qd則數(shù)列｛an｝的通項公式為a“=a2qn-2=9?3n-2=3n；（2）b=^^=（2n-1）?（￡）n,n,T=1?一+3?(—)2+5(—)3+???+(2n-1)?(—)T=1?(2)2+3?(2)3+5?(2)4+???+(2n-1)?(2)n+1,兩式相減可得號藥扣詰）2+（寺）3+...+?和一（2n-D?寺n+1冷+2?丄d

gJ沖1—3⑵"訂1'化簡可得T_=1-(n+1)?(=)n.2.【解答】，/an+1a2.【解答】，/an+1an+an+1=2an，

，?=—.32???數(shù)列｛丄-1｝為等比數(shù)列;%(1)證明:???-anan+l又2,「1),11（2）解：由（1）可得:巴化吃=1十II,ii口—=n4^TIl￡n+...+,2nn~ln+???++2n2n+L?1丁1丄注?1丁1丄注1n‘+…+戶-itl7xTT-n__2+n口1計1gil^l22+n（2）由（1）知，5■口2口+1??幾“十“十…十"322+n（2）由（1）知，5■口2口+1??幾“十“十…十"357如-1如+12^7^'號十十*十’加一1加H211-12n2324可得兩式相減，嚴十12n+L???數(shù)列｛—｝的前n項和Sn=T”i口=9x-,Z.3.【解答】解：（1）依題意，由n+2,.瓦，（a「2）n依次成等比數(shù)列，可得S=(a._2)n(n+2),n1則當n=1時，a]=S]=3(a.-2),解得a.=3,S=n(n+2).n當n22時，a=S-S.=n(n+2)-(n-1)(n+1)=2n+1?nnn一1T當n=1時，a,=3也滿足a=2n+1，1n?a=2n+1，nCN*?n51知+12211-1237+15知+5?T?T=5-n如+52n4.【解答】解：（1）設等差數(shù)列｛an｝的公差為d，由題意可得*

2a1+7d=25aI+7d=23

解得T，d=3則a=2+3(n-l)=3n-1,nGN*；n設等比數(shù)列｛bn｝的公比為q,由a1=2b1，b2b5=a11.可得b1=1,方円5=32,解得q=2,則b=2n-i,nGN*；n(2)由(1)可得c=ab=(3n-1)?2n-1,nn則T=2?2o+5?21+8?22+?—+(3n-1)?2n-1,n2T=2?2+5?22+8?23+?—+(3n-1)?2n,n兩式相減可得-T=2+3兩式相減可得-T=2+3(21+22+???+2n-1)-n(3n-1)?2n=2+3?2(1-嚴)P2(3n-1)?2n,化簡可得T=4+(3n-4)?2n.n5.【解答】(I)證明：依題意，由=2a+1,可得a=2aa,+arjnnnn+1n+1an+l即an-an+1=2anan+「兩邊同時除以aa［，可得■丄=2(n±2).anHan???丄-丄=3-1=2，也滿足上式.a2al?°?數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.an(II)解：由(I)得,—=1+2(n-1)=2n-1,an3n則=(2n-1)?3n.an?T=1X3+3X32+-+(2n-1)?3n,n3T=1X32+3X33+-+(2n-3)?3n+(2n-1)?3n+1,n兩式相減，可得-2T=3+2X32+2X33+…+2?3n-(2n-1)?3n+1,n=3+18X(1+3+32+—+3n-2)-(2n-1)?3n+1=3+18X-(2n-1)?3n+11-3=2(1-n)?3n+1-6.T=(n-1)?3n+1+3.n6.【解答】解：(1)a1=2,由a6,S4,

-a2成等差數(shù)列可得2S4=a6-a2,即2(1-J)1-Q=2Xq5-2Xq^q=2,7.【解答】8.【解答】(2)bn_加+12n，5723十一卜加-1岸口+1nrnlnilnT057，如-1，如+1，n22222n+l巧護十…審審巧廠2n+l廠2n+5一弋市解：(I)證明：令n=l,則a]=3.VS=2a-2n-1,(nGN)①nn/.Si=2ai-2(n-1)-1,(n22,nGN)②①-②得：a=2a-2a.-2,a=2a.+2,nnn-1nn-1?石???｛an+2｝是等比數(shù)列.（II）由（I）知：數(shù)列｛an+2｝是首項為：a1+2=5,公比為2的等比數(shù)列.???％+<二5X,???"（務+力二即口時,設數(shù)列｛n?（a+2）｝的前n項和為T,則=7T（1<+2-22+3<???24寺（1?護心2乜?瀘+???+n■嚴1）④③-④得：弋寺伐巴5彳+…甘-川円）=f已毛P???丁門二5（門?1）2n+5-'nnH-111-2"'n2]'解：(1)由題意，由S=a+1,可得+1當n±2時，S1=a,-1-匚IrH~]兩式相減,得a=S-S1=a1-a,即=2,-1n+1?a】=1,a2=S]=l,?:當n三2時,a=2n-1,n驗證n=1時不成立，???數(shù)列｛an｝的通項公式為(2)由(1)知，b=n?2n,nCN*.n.°.S=1?2+2?22+3?23+?—+(n-1)?2n-i+n?2n,n2S=1?22+2?23+???+(n-1)?2n+n?2n+i,n兩式相減，可得2-曠"1"】-S=2+22+23+???+2n-n?2n+1=?一n?2n+1=(1-n)?2n+1-2,n.°.S=(n-1)?2n+1+2.n9.【解答】解：（I）由條件可知，log3a”=9.【解答】解：（I）由條件可知，log3a”=1+n-1=n,???務二護._口+片T(口+1〕b□二n，十2n+k，?b]=■由題意｛bn｝為等差數(shù)列,.b=2+（n-1）n??2b^=b1+b3,=n+1；8+k解得k=1,15+k（II）由（I）知,_b