離散傅里葉變換課件

第4章離散傅里葉變換

4.1傅里葉變換的幾種形式4.2周期序列的離散傅里葉級數(shù)及性質(zhì)4.3離散傅里葉變換及性質(zhì)4.4頻率抽樣理論1第4章離散傅里葉變換4.1傅里葉變換的幾種形式14.1傅里葉變換的幾種形式

傅里葉變換就是建立以時間為自變量的“信號”與以頻率為自變量的“頻率函數(shù)(頻譜)”之間的某種變換關(guān)系。所以，當(dāng)自變量“時間”或“頻率”取連續(xù)值還是離散值，就形成各種不同形式的傅里葉變換對。在深入討論離散傅里葉變換DFT之前，先概述四種不同形式的傅里葉變換對。

24.1傅里葉變換的幾種形式傅里葉變換就4.1傅里葉變換的幾種形式1.連續(xù)時間、連續(xù)頻率——傅里葉變換

一個非周期實(shí)連續(xù)時間信號xa(t)的傅里葉變換，即頻譜Xa(jΩ)是一個連續(xù)的非周期函數(shù)。在“信號與系統(tǒng)”課程的內(nèi)容中，已知這一變換對為

可以看出，時域連續(xù)函數(shù)造成非周期的頻譜，而時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)。

34.1傅里葉變換的幾種形式1.連續(xù)時間、連續(xù)頻率——傅里4.1傅里葉變換的幾種形式2.連續(xù)時間、離散頻率——傅里葉級數(shù)

一個周期性連續(xù)時間信號xp(t)，其周期為Tp，該信號可展成傅里葉級數(shù)，其傅里葉級數(shù)的系數(shù)為Xp(jkΩ)，即xp(t)的傅里葉變換或頻譜Xp(jkΩ)是由各次諧波分量組成的，并且是非周期離散頻率函數(shù)。這一變換對為

式中，Ω=2πF=2π/Tp，為離散頻譜相鄰兩譜線之間的角頻率間隔，k為譜諧波序號?？梢姡瑫r域連續(xù)函數(shù)造成頻域非周期的頻譜函數(shù)，而頻域的離散頻譜就與時域的周期時間函數(shù)相對應(yīng)。44.1傅里葉變換的幾種形式2.連續(xù)時間、離散頻率——傅里4.1傅里葉變換的幾種形式3.離散時間、連續(xù)頻率——序列的傅里葉變換

在第3章里討論了一個非周期連續(xù)時間信號xa(t)經(jīng)過等間隔抽樣的信號（x(nT)），即離散時間信號——序列x(n)，其傅里葉變換是以2π為周期的連續(xù)函數(shù)。它們的變換關(guān)系為

這里的ω是數(shù)字頻率，它和模擬角頻率Ω的關(guān)系為ω=ΩT。若振幅特性的頻率軸用Ω表示，則周期為Ωs=2π/T。同樣可以看出，時域的離散化造成頻域的周期延拓，而時域的非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù)，這在第3章中討論過。54.1傅里葉變換的幾種形式3.離散時間、連續(xù)頻率——序列4.1傅里葉變換的幾種形式4.離散時間、離散頻率——離散傅里葉變換

從以上討論可發(fā)現(xiàn)：如果信號頻域是離散的，表現(xiàn)為周期性的時間函數(shù)。相反，在時域上是離散的，則該信號在頻域必然表現(xiàn)為周期性的頻率函數(shù)。這三種傅里葉變換至少在一個域（時域或頻域）中函數(shù)是連續(xù)的，因而都不適合在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算。同時，不難設(shè)想，一個離散周期序列，它一定具有既是周期又是離散的頻譜，這正是我們所期望的時域及頻域都是離散的情況，適合于進(jìn)行數(shù)字計(jì)算，便于計(jì)算機(jī)處理，也就是即將要研究的離散傅里葉變換。對它的全面討論將在后面內(nèi)容進(jìn)行。64.1傅里葉變換的幾種形式4.離散時間、離散頻率——離散4.1傅里葉變換的幾種形式

從以上簡單討論，可以總結(jié)得出一般的規(guī)律：一個域的離散對應(yīng)另一個域的周期延拓，一個域的連續(xù)必定對應(yīng)另一個域的非周期。表4-1對這四種傅里葉變換形式的特點(diǎn)作了簡要?dú)w納。表4-1四種傅里葉變換形式的歸納時間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期非周期和離散離散和非周期周期和連續(xù)離散和周期周期和離散74.1傅里葉變換的幾種形式從以上簡單討論，可以總圖4-1各種形式的傅里葉變換4.1傅里葉變換的幾種形式8圖4-1各種形式的傅里葉變換4.1傅里葉變換的幾種4.2周期序列的離散傅里葉級數(shù)及性質(zhì)

4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)

4.2.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）的性質(zhì)94.2周期序列的離散傅里葉級數(shù)及性質(zhì)4.2.14.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)設(shè)是一個周期為N的周期序列，即，r為任意整數(shù)。正如連續(xù)時間周期信號可以用傅里葉級數(shù)表示一樣，周期序列也可以用離散傅里葉級數(shù)來表示，該級數(shù)相當(dāng)于成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列（正弦型序列）之和。也就是說，復(fù)指數(shù)序列的頻率是周期序列的基頻（2π/N）的整數(shù)倍。這些復(fù)指數(shù)序ek(n)的形式為

104.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)設(shè)4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)因而可展成如下的離散傅里葉級數(shù)，即

（4－8）

式中，求和號前所乘的系數(shù)1/N是習(xí)慣上已經(jīng)采用的常數(shù)，是k次諧波的系數(shù)。下面我們來求解系數(shù)，這要利用復(fù)正弦序列的正交特性，即

將式（4－8）兩端同乘以，然后從n=0到N－1的一個周期內(nèi)求和，則得到

r=mN,m為整數(shù)其他r

114.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)因而可4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)把r換成k可得

這就是求k=0到N－1的N個諧波系數(shù)的公式。同時看出也是一個以N為周期的周期序列，即

124.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)124.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)定義WN為周期序列的傅里葉級數(shù)（DFS）變換對為式中，n和k都是離散變量。如果將n當(dāng)作時間變量，k當(dāng)作頻率變量，則DFS［·］表示時域到頻域的離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS［·］表示由頻域道時域的離散傅里葉級數(shù)反變換。從上面看出，只要知道周期序列一個周期的內(nèi)容，其他的內(nèi)容也都知道了。所以，這種無限長周期序列實(shí)際上只有一個周期中的N個序列值有信息。

(4-12)(4-13)134.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)定義WN為(例4-1設(shè)為周期脈沖串（4-14）因?yàn)閷τ?≤n≤N-1， ,所以利用式（4-6）求出 的DFS系數(shù)為（4-15）在這種情況下，對于所有的k值均相同。于是，將式（4-15）代入式（4-13）可以得出表示式（4-16）4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)14例4-1設(shè)為周期脈沖串（4-14）因?yàn)?/p>

例4-2

已知周期序列如圖4-2所示，其周期N=10,試求解它的傅里葉級數(shù)系數(shù)。圖4-2例4-2的周期序列（周期N=10）4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)15例4-2已知周期序列如由式（4-12）（4-17）這一有限求和有閉合形式（4-18）圖4-3圖4-2所示序列的傅里葉級數(shù)系數(shù)的幅值4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)16由式（4-12）（4-17）這一有限求和有閉合形式（4式（4-12）中的周期序列可看成是對的第一個周期x(n)作Z變換，然后將Z變換在Z平面單位圓上按等間隔角2π/N采樣而得到的。令0≤n≤N-1其他n

通常稱x(n)為的主值區(qū)序列，則x(n)的Z變換為（4-19）4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)17式（4-12）中的周期序列可把式（4-19）與式（4-12）比較可知（4-20）可以看出，當(dāng)0≤k≤N-1時，是對X(z)在Z平面單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣，在此區(qū)間之外隨著k的變化，的值呈周期變化。圖4-4畫出了這些特點(diǎn)。4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)18把式（4-19）與式（4-12）比較可知（4-20）可以jIm[z]234567(=N-1)k=02p/NRe[z]o|z|=114.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)圖4－4圖4－4是對X(z)在Z平面單位圓上的N點(diǎn)等間隔角點(diǎn)抽樣示意圖19jIm[z]234567(=N-1)k=02p/NRe[z]由于單位圓上的Z變換即為序列的傅里葉變換，所以周期序列 也可以解釋為 的一個周期x(n)的傅里葉變換的等間隔采樣。因?yàn)椋?-21）比較式（4-21）和式（4-12），可以看出這相當(dāng)于以2π/N的頻率間隔對傅里葉變換進(jìn)行采樣。（4-22）4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)20由于單位圓上的Z變換即為序列的傅里葉變換，所例4-3

為了舉例說明傅里葉級數(shù)系數(shù)和周期信號的一個周期的傅里葉變換之間的關(guān)系，我們再次研究圖4-2所示的序列。在序列的一個周期中：0≤n≤4其他（4-23）則的一個周期的傅里葉變換是（4-24）可以證明，若將ω=2πk/10代入式（4-18），即4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)21例4-3為了舉例說明傅里葉級數(shù)系數(shù)圖4-5對圖4-2所示序列的一個周期作傅里葉變換的幅值4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)22圖4-5對圖4-2所示序列的一個周期作傅里葉變換的幅值圖4-6圖4-3和圖4-5的重疊圖(它表明一個周期序列的DFS系數(shù)等于主值區(qū)序列的傅里葉變換的采樣)4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)23圖4-6圖4-3和圖4-5的重疊圖4.2.1周期序列由于可以用采樣Ｚ變換來解釋DFS，因此它的許多性質(zhì)與Ｚ變換性質(zhì)非常相似。但是，由于和兩者都具有周期性，這就使它與Z變換性質(zhì)還有一些重要差別。此外，DFS在時域和頻域之間具有嚴(yán)格的對偶關(guān)系，這是序列的Z變換表示所不具有的。設(shè)和 皆是周期為N的周期序列，它們各自的DFS分別為：4.2.2離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)24由于可以用采樣Ｚ變換來解釋DFS，因此它的許1.線性（4-25）式中，a和b為任意常數(shù)，所得到的頻域序列也是周期序列，周期為N。這一性質(zhì)可由DFS定義直接證明，留給讀者自己去做。4.2.2離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)251.線性（4-25）式中，a和b為任意常數(shù)，所得到的頻2.序列的移位（4-26）（4-27a）或證（4-27b）i=n+m

4.2.2離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)262.序列的移位（4-26）（4-27a）或證（4-由于都是以N為周期的周期函數(shù)，故由于與的對稱特點(diǎn)，可以用相似的方法證明式（4-27a）：4.2.2離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)27由于都是以N為周期的3.周期卷積如果則或證代入(4-28)4.2.2離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)283.周期卷積如果則或證代入(4-28)4.2.得將變量進(jìn)行簡單換元，即可得等價的表示式4.2.2離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)29得將變量進(jìn)行簡單換元，即可得等價的表示式4.2.2離散式（4-28）是一個卷積公式，但是它與非周期序列的線性卷積不同。首先， 和 （或和 都是變量m的周期序列，周期為N，故乘積也是周期為N的周期序列;其次，求和只在一個周期上進(jìn)行，即m=0到N-1，所以稱為周期卷積。4.2.2離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)30式（4-28）是一個卷積公式，但是它與非周周期卷積的過程可以用圖4-7來說明，這是一個N=7的周期卷積。每一個周期里有一個寬度為4的矩形脈沖，有一個寬度為3的矩形脈沖，圖中畫出了對應(yīng)于n=0,1,2時的。周期卷積過程中一個周期的某一序列值移出計(jì)算區(qū)間時，相鄰的同一位置的序列值就移入計(jì)算區(qū)間。運(yùn)算在m=0到N-1區(qū)間內(nèi)進(jìn)行，即在一個周期內(nèi)將 與 逐點(diǎn)相乘后求和，先計(jì)算出n=0,1,…,N-1的結(jié)果，然后將所得結(jié)果周期延拓，就得到所求的整個周期序列 。4.2.2離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)31周期卷積的過程可以用圖4-7來說明，這是一個N圖4-7兩個周期序列（N=7）的周期卷積4.2.2離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)32圖4-7兩個周期序列（N=7）的周期卷積4.2.2圖4-7兩個周期序列（N=7）的周期卷積4.2.2離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)33圖4-7兩個周期序列（N=7）的周期卷積4.2.2圖4-7兩個周期序列（N=7）的周期卷積4.2.2離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)34圖4-7兩個周期序列（N=7）的周期卷積4.2.2由于DFS和IDFS變換的對稱性，可以證明（請讀者自己證明）時域周期序列的乘積對應(yīng)著頻域周期序列的周期卷積。即，如果則

(4-29)4.2.2離散傅里葉級數(shù)(DFS)的性質(zhì)35由于DFS和IDFS變換的對稱性，可以證明（4.3.1離散傅里葉變換（DFT）的定義4.3.2DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)4.3離散傅里葉變換(DFT)及性質(zhì)364.3.1離散傅里葉變換（DFT）的定義4.3離散傅里4.3.1DFT的定義在實(shí)際應(yīng)用中，把無限長的周期序列送給計(jì)算機(jī)處理是不現(xiàn)實(shí)的，也是不必要的。而在上一節(jié)討論過，周期序列實(shí)際上只有有限個序列值有意義，它和有限長序列有著本質(zhì)的聯(lián)系。實(shí)際上，可以把長度為N有限長序列x(n)看成周期為N的周期序列的一個周期，這樣利用離散傅里葉級數(shù)計(jì)算周期序列的一個周期，也就是計(jì)算了有限長序列的離散傅里葉變換。本節(jié)將根據(jù)周期序列和有限長序列之間的這種本質(zhì)關(guān)系，由周期序列的離散傅里葉級數(shù)表示式推導(dǎo)得到有限長序列的離散頻域表示，即離散傅里葉變換（DFT）。

設(shè)x(n)為有限長序列，長度為N，即x(n)只在n=0到N-1點(diǎn)上有值，其他n時，x(n)=0。即

4.3.1離散傅里葉變換的定義374.3.1DFT的定義4.3.1離散傅里葉變換的定義

為了引用周期序列的概念，我們把它看成周期為N的周期序列的一個周期，而把看成x(n)的以N為周期的周期延拓，即表示成:

這個關(guān)系可以用圖4-8來表明。通常把的第一個周期n=0到n=N-1定義為“主值區(qū)間”，故x(n)是 的“主值序列”，即主值區(qū)間上的序列。而稱 為x(n)的周期延拓。對不同r值x(n+rN)之間彼此并不重疊，故上式可寫成

(4-32)(4-31)(4-30)38為了引用周期序列的概念，我們把它看成周期為N4.3.1離散傅里葉變換的定義N-1n-N0N-1n主值區(qū)間x(n)圖4-8有限長序列及其周期延拓394.3.1離散傅里葉變換的定義N-1n-N0N-1n主值區(qū)用((n))N表示（nmodN），其數(shù)學(xué)上就是表示“n對N取余數(shù)”，或稱“n對N取模值”。令0≤n1≤N-1,m為整數(shù)則n1為n對N的余數(shù)。例如，是周期為N=9的序列，則有：4.3.1離散傅里葉變換的定義40用((n))N表示（nmodN），其數(shù)學(xué)上利用前面的矩形序列RN(n)，式（4-30）可寫成(4-33)

同理，頻域的周期序列也可看成是對有限長序列X(k)的周期延拓，而有限長序列X(k)可看成是周期序列 的主值序列，即:(4-34)(4-35)我們再看表達(dá)DFS與IDFS的式(4-12)和式(4-13)：

4.3.1離散傅里葉變換的定義41利用前面的矩形序列RN(n)，式（4-30）可寫成(4-3

這兩個公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0到N-1的主值區(qū)間進(jìn)行，它們完全適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可以得到有限長序列的離散傅里葉變換的定義：

0≤k≤N-10≤n≤N-1（4-36）（4-37）4.3.1離散傅里葉變換的定義42這兩個公式的求和都只限定在n=0到N-1和k

x(n)和X(k)是一個有限長序列的離散傅里葉變換對。我們稱式(4-36)為x(n)的N點(diǎn)離散傅里葉變換(DFT),稱式(4-37)為X(k)的N點(diǎn)離散傅里葉反變換(IDFT)。已知其中的一個序列，就能惟一地確定另一個序列。這是因?yàn)閤(n)與X(k)都是點(diǎn)數(shù)為N的序列，都有N個獨(dú)立值（可以是復(fù)數(shù)），所以信息當(dāng)然等量。此外，值得強(qiáng)調(diào)的是，在使用離散傅里葉變換時，必須注意所處理的有限長序列都是作為周期序列的一個周期來表示的。換句話說，離散傅里葉變換隱含著周期性。

4.3.1離散傅里葉變換的定義43x(n)和X(k)是一個有限長序列的離散傅

例4-4已知序列x(n)=δ(n)，求它的N點(diǎn)DFT。

解單位脈沖序列的DFT很容易由DFT的定義式（4-36）得到：

k=0,1,…,N-1

δ(n)的X(k)如圖4-9。這是一個很特殊的例子，它表明對序列δ(n)來說，不論對它進(jìn)行多少點(diǎn)的DFT，所得結(jié)果都是一個離散矩形序列。4.3.1離散傅里葉變換的定義44例4-4已知序列x(n)=δ(n)，求它圖4-9序列δ(n)及其離散傅里葉變換45圖4-9序列δ(n)及其離散傅里葉變換45

例4-5

已知x(n)=cos(nπ/6)是一個長度N=12的有限長序列，求它的N點(diǎn)DFT。

解由DFT的定義式（4-36）利用復(fù)正弦序列的正交特性（4-3）式，再考慮到k的取值區(qū)間，可得4.3.1離散傅里葉變換的定義46例4-5已知x(n)=cos(nπ/6圖4-10有限長序列及其DFT4.3.1離散傅里葉變換的定義47圖4-10有限長序列及其DFT4.3.1離散傅里葉變換若x(n)是一個有限長序列，長度為N，對x(n)進(jìn)行Z變換比較Z變換與DFT，我們看到，當(dāng)z=W-kN時即（4-38）4.3.2DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系

48若x(n)是一個有限長序列，長度為N，對x(n 表明是Z平面單位圓上幅角為的點(diǎn)，也即將Z平面單位圓N等分后的第k點(diǎn)，所以X(k)也就是對X(z)在Z平面單位圓上N點(diǎn)等間隔采樣值，如圖4-11所示。此外，由于序列的傅里葉變換X(ejω)即是單位圓上的Z變換，根據(jù)式（4-38），DFT與序列傅里葉變換的關(guān)系為（4-39）（4-40）4.3.2DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系

49 表明是

式（4-39）說明X(k)也可以看作序列x(n)的傅里葉變換X(ejω)在區(qū)間［0,2π］上的N點(diǎn)等間隔采樣，其采樣間隔為ωN=2π/N，這就是DFT的物理意義。顯而易見，DFT的變換區(qū)間長度N不同，表示對X(ejω)在區(qū)間［0,2π］上的采樣間隔和采樣點(diǎn)數(shù)不同，所以DFT的變換結(jié)果也不同。

圖4-11DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系

4.3.2DFT與序列傅里葉變換、Z變換的關(guān)系

50式（4-39）說明X(k)也可以看作序列x(

本節(jié)討論離散傅里葉變換（DFT）的一些性質(zhì)，它們本質(zhì)上和周期序列的離散傅立葉級數(shù)（DFS）概念有關(guān)，而且是由有限長序列及其離散傅里葉變換（DFT）表示式隱含的周期性得出的。以下討論的序列都是N點(diǎn)有限長序列，用DFT［·］表示N點(diǎn)DFT，且設(shè)：DFT［x1(n)］=X1(k)DFT［x2(n)］=X2(k)4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

51本節(jié)討論離散傅里葉變換（DFT）的一些性質(zhì)，它2.圓周移位（1）定義：一個長度為N的有限長序列x(n)的圓周移位定義為

y(n)=x((n+m))NRN(n)（4-42）我們可以這樣來理解上式所表達(dá)的圓周移位的含義。具體計(jì)算步驟為：i）將x(n)以N為周期進(jìn)行周期延拓得到周期序列;ii）將加以移位：

1.線性式中，a,b為任意常數(shù)。該式可根據(jù)DFT定義證明。4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

522.圓周移位y(n)=x((n+m))NRN(n)（4-4iii）對移位的周期序列 取主值區(qū)間（n=0到N-1）上的序列值，即x((n+m))NRN(n)。所以，一個有限長序列x(n)的圓周移位序列y(n)仍是一個長度為N的有限長序列，這一過程用圖4-12（a）、（b）、（c）、（d）來表達(dá)。從圖上可以看出，由于是周期序列的移位，當(dāng)我們只觀察0≤n≤N-1這一主值區(qū)間時，某一采樣從該區(qū)間的一端移出時，與其相同值的采樣又從該區(qū)間的另一端循環(huán)移進(jìn)。因而，可以想象x(n)是排列在一個N等分的圓周上，序列x(n)的圓周移位，就相當(dāng)于x(n)在此圓周上旋轉(zhuǎn)，如圖4-12（e）、（f）、(g)所示，因而稱為圓周移位。若將x(n)向左圓周移位時，此圓是順時針旋轉(zhuǎn);將x(n)向右圓周移位時，此圓是逆時針旋轉(zhuǎn)。此外，如果圍繞圓周觀察幾圈，那么看到的就是周期序列。

4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

53iii）對移位的周期序列 取圖4-12圓周移位過程示意圖4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

54圖4-12圓周移位過程示意圖4.3.3離散傅里葉變（2）時域圓周移位定理設(shè)x(n)是長度為N的有限長序列，y(n)為x(n)圓周移位，即則圓周移位后的DFT為

證利用周期序列的移位性質(zhì)加以證明。

4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

55（2）時域圓周移位定理則圓周移位后的DFT為證利用周期再利用DFS和DFT關(guān)系這表明，有限長序列的圓周移位在離散頻域中引入一個和頻率成正比的線性相移，而對頻譜的幅度沒有影響。4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

56再利用DFS和DFT關(guān)系這表明，有限長序列的圓周移位在離散（3）

頻域圓周移位定理

對于頻域有限長序列X(k)，也可看成是分布在一個N等分的圓周上，所以對于X(k)的圓周移位，利用頻域與時域的對偶關(guān)系，可以證明以下性質(zhì)：若則這就是調(diào)制特性。它說明，時域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。

4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

57（3）頻域圓周移位定理則這就是調(diào)制特性。它說明，時域序3.圓周卷積（1）時域圓周卷積定理設(shè)x1(n)和x2(n)都是點(diǎn)數(shù)為N的有限長序列（0≤n≤N-1），且有：若則4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

(4-45)

583.圓周卷積若則4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)(4

一般稱式(4-45)所表示的運(yùn)算為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)圓周卷積。下面先證明式(4-45)，再說明其計(jì)算方法。

證這個卷積相當(dāng)于周期序列和作周期卷積后再取其主值序列。先將Y(k)周期延拓，即

根據(jù)DFS的周期卷積公式

4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

59一般稱式(4-45)所表示的運(yùn)算為x1(n)由于0≤m≤N-1為主值區(qū)間， ，因此將 式經(jīng)過簡單換元，也可證明4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

60由于0≤m≤N-1為主值區(qū)間， ，因此將

圓周卷積過程可以用圖4-13來表示。分為5步：i）周期延拓：先作出x1(n)和x2(n)。將x2(m)在參變量坐標(biāo)m上延拓成周期為N的周期序列x2((m))N

；ii）反轉(zhuǎn)：將x2((m))N反轉(zhuǎn)形成x2((-m))N

；iii）移位和取主值：將x2((-m))N移n位并取主值序列得到x2((n－m))NRN(n)；iv）相乘：將相同m值x2((n－m))NRN(n)與x1(m)相乘；V）相加：將iv）中得到的乘積累加起來，便得到圓周卷積y(n)。可以看出,它和周期卷積過程是一樣的，只不過這里要取主值序列。特別要注意，兩個長度小于等于N的序列的N點(diǎn)圓周卷積長度仍為N，這與一般的線性卷積不同。圓周卷積用符號來表示。圓周內(nèi)的N表示所作的是N點(diǎn)圓周卷積。4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

N61圓周卷積過程可以用圖4-13來表示。分為5步圖4-13圓周卷積過程示意圖4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

62圖4-13圓周卷積過程示意圖4.3.3離散傅里葉變圖4-13圓周卷積過程示意圖4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

63圖4-13圓周卷積過程示意圖4.3.3離散傅里葉變N或N記為：4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

64N或N記為：4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)64N

（2）頻域圓周卷積定理

利用時域與頻域的對稱性，可以證明頻域圓周卷積定理（請讀者自己證明）。若x1(n)，x2(n)皆為N點(diǎn)有限長序列，則

即時域序列相乘，乘積的DFT等于各個DFT的圓周卷積再乘以1/N。

4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

65N（2）頻域圓周卷積定理x1(n)，x2(4.有限長序列的線性卷積與圓周卷積時域圓周卷積在頻域上相當(dāng)于兩序列的DFT的乘積，而計(jì)算DFT可以采用它的快速算法——快速傅里葉變換（FFT）（見第5章），因此圓周卷積與線性卷積相比，計(jì)算速度可以大大加快。但是，在許多實(shí)際問題中常需要計(jì)算線性卷積，例如一個FIR數(shù)字濾波器的輸出等于輸入與濾波器的單位沖激響應(yīng)的線性卷積。如果能將線性卷積轉(zhuǎn)化為圓周卷積，就能夠用圓周卷積來計(jì)算線性卷積而加快計(jì)算速度。因此，需要討論圓周卷積與線性卷積在什么條件下相等及如何用圓周卷積運(yùn)算來代替線性卷積運(yùn)算的問題。

設(shè)x1(n)是N1點(diǎn)的有限長序列（0≤n≤N1-1），x2(n)是N2點(diǎn)的有限長序列（0≤n≤N2-1）。4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

664.有限長序列的線性卷積與圓周卷積時域圓周卷積它們的線性卷積

x1(m)的非零區(qū)間為0≤m≤N1-1x2(n-m)的非零區(qū)間為0≤n-m≤N2-1(4-43)4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

67它們的線性卷積x1(m)的非零區(qū)間為0≤m≤N1-1x2將兩個不等式相加，得到0≤n≤N1+N2-2在上述區(qū)間外，不是x1(m)=0就是x2(n-m)=0，因而y1(n)=0。所以y1(n)是N1+N2-1點(diǎn)有限長序列，即線性卷積的長度等于參與卷積的兩序列的長度之和減1。例如，圖4-14中，x1(n)為N1=4的矩形序列（圖4-14（a）），x2(n)為N2=5的矩形序列（圖4-14（b）），則它們的線性卷積y1(n)為N=N1+N2-1=8點(diǎn)的有限長序列（圖4-14（c））。4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

68將兩個不等式相加，得到0≤n≤N1+N2-2再來看x1(n)與x2(n)的圓周卷積。先討論進(jìn)行L點(diǎn)的圓周卷積，再討論L取何值時，圓周卷積才能代表線性卷積。設(shè)y(n)=x1(n)x2(n)是兩序列的L點(diǎn)圓周卷積，L≥max［N1,N2］，這就要將x1(n)與x2(n)都看成是L點(diǎn)的序列。在這L個序列值中，x1(n)只有前N1個是非零值，后L-N1個均為補(bǔ)充的零值。同樣，x2(n)只有前N2個是非零值，后L-N2個均為補(bǔ)充的零值。則L（4-47）4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

L

為了分析其圓周卷積，我們先將序列x1(n)與x2(n)以L為周期進(jìn)行周期延拓

69再來看x1(n)與x2(n)的圓周卷積。先討論進(jìn)行L點(diǎn)的圓周將它們代入式（4－47）得其周期卷積序列為

（4-48）4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

70將它們代入式（4－47）得其周期卷積序列為（4-48）4

前面已經(jīng)分析了y1(n)具有N1+N2－1個非零值。因此可以看到，如果周期卷積的周期L<N1+N2－1，那么y1(n)的周期延拓就必然有一部分非零序列值要交疊起來，從而出現(xiàn)混疊現(xiàn)象。只有在L≥

N1+N2－1時，才沒有交疊現(xiàn)象。這時,在y1(n)的周期延拓中，每一個周期L內(nèi)，前N1+N2－1個序列值正好是y1(n)的全部非零序列值，而剩下的L-(N1+N2－1)個點(diǎn)上的序列值則是補(bǔ)充的零值。所以L點(diǎn)圓周卷積y(n)是線性卷積yl(n)以L為周期的周期延拓序列的主值序列。4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

71前面已經(jīng)分析了y1(n)具有N1+N2－1個非所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要條件為（4-49）滿足此條件后就有

即 x1(n)○x2(n)=x1(n)*x2(n)L

圖4-14（d）、（e）、（f）正反映了（4-46）式的圓周卷積與線性卷積的關(guān)系。在圖4-14（d）中，L=6小于N1+N2-1=8，這時產(chǎn)生混疊現(xiàn)象，其圓周卷積不等于線性卷積；而在圖4-14（e）、（f）中,L=8和L=10，這時圓周卷積結(jié)果與線性卷積相同，所得y(n)的前8點(diǎn)序列值正好代表線性卷積結(jié)果。所以只要L≥N1+N2-

1，圓周卷積結(jié)果就能完全代表線性卷積。

(4-50)4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

72所以要使圓周卷積等于線性卷積而不產(chǎn)生混疊的必要條件為（4-圖4-14線性卷積與圓周卷積4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

73圖4-14線性卷積與圓周卷積4.3.3離散傅里葉變換例4-6

一個有限長序列為

（1）計(jì)算序列x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換。（2）若序列y(n)的DFT為

式中，X(k)是x(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換，求序列y(n)。

4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

（3）若10點(diǎn)序列y(n)的10點(diǎn)離散傅里葉變換是

式中,X(k)是序列x(n)的10點(diǎn)DFT，W(k)是序列w(n)的10點(diǎn)DFT

0≤n≤6其他求序列y(n)。

74例4-6一個有限長序列為（1）計(jì)算序列x(n)的1

解（1）由式（4-36）可求得x(n)的10點(diǎn)DFT

（2）X(k)乘以一個WNkm形式的復(fù)指數(shù)相當(dāng)于是x(n)圓周移位m點(diǎn)。本題中m=-2,x(n)向左圓周移位了2點(diǎn)，就有y(n)=x((n+2))10R10(n)=2δ(n-3)+δ(n-8)4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

（3）X(k)乘以W(k)相當(dāng)于x(n)與w(n)的圓周卷積。為了進(jìn)行圓周卷積，可以先計(jì)算線性卷積再將結(jié)果周期延拓并取主值序列。x(n)與w(n)的線性卷積為

z(n)=x(n)*w(n)=｛1,1,1,1,1,3,3,2,2,2,2,2｝75解（1）由式（4-36）可求得x(n)的10點(diǎn)DF圓周卷積為

在0≤n≤9求和中，僅有序列z(n)和z(n+10)有非零值，用表列出z(n)和z(n+10)的值，對n=0,1,2,…,9求和，得到：n01234567891011Z(n)z(n+10)111113322222000000002200y(n)3311133222____所以10點(diǎn)圓周卷積為

y(n)=｛3,3,1,1，1,3,3,2,2,2｝4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

76圓周卷積為在0≤n≤9求和中，僅有序5共軛對稱性（1）復(fù)共軛序列的DFT設(shè)x*(n)為x(n)的共軛復(fù)序列，則DFT［x*(n)］=X*((-k))NRN(k)=X*((N-k))NRN(k)=X*(N-k)0≤k≤N-1

且X(N)=X(0)

（4-51）證0≤k≤N-14.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

775共軛對稱性DFT［x*(n)］=X*((-k))NR這里利用了

因?yàn)閄(k)的隱含周期性，故有X(N)=X(0)。用同樣的方法可以證明也即

（4-52）4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

78這里利用了因?yàn)閄(k)的隱含周期性，故有X(N)=X(0)（2）DFT的共軛對稱性在前面章節(jié)里討論了序列傅里葉變換的一些對稱性質(zhì)，且定義了共軛對稱序列與共軛反對稱序列的概念。在那里，對稱性是指關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的縱坐標(biāo)的對稱性。DFT也有類似的對稱性，但在DFT中，涉及的序列x(n)及其離散傅里葉變換X(k)均為有限長序列，且定義區(qū)間為0到N－1，所以，這里的對稱性是指關(guān)于N/2

點(diǎn)的對稱性。設(shè)有限長序列x(n)的長度為N點(diǎn)，則它的圓周共軛對稱分量xep(n)和圓周共軛反對稱分量xop(n)分別定義為:

（4-53）（4-54）4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

79（2）DFT的共軛對稱性（4-53）（4-54）4.3.則兩者滿足:

０≤n≤N-1０≤n≤N-1（4-55）（4-56）

如同任何實(shí)函數(shù)都可以分解成偶對稱分量和奇對稱分量一樣，任何有限長序列x(n)都可以表示成其圓周共軛對稱分量xep(n)和圓周共軛反對稱分量xop(n)之和，即

x(n)=xep(n)+xop(n)0≤n≤N-1（4-57）

由式（4-53）及式（4-54），并利用式（4-51）及式（4-52），可得圓周共軛對稱分量及圓周共軛反對稱分量的DFT分別為：4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

80則兩者滿足:０≤n≤N-1０≤n≤N-1（4-55）DFT［xep(n)］=Ｒe［X(k)］DFT［xop(n)］=jIm［X(k)］(4-58)(4-59)證利用式（4-52），可得

則式(4-58)得證。同理可證式（4-59）。

4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

81DFT［xep(n)］=Ｒe［X(k)］(4-58)(4-5下面我們再來討論序列實(shí)部與虛部的DFT。若用xr(n)及xi(n)分別表示有限長序列x(n)的實(shí)部及虛部，即

x(n)=xr(n)+jxi(n)

(4-60)式中：

則有：

4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

式中，Xep(k)為X(k)的圓周共軛對稱分量且Xep(k)=X*ep(N-k)，Xop(k)為X(k)的圓周共軛反對稱分量且Xop(k)=-X*op(N-k)。

(4-62)(4-61)82下面我們再來討論序列實(shí)部與虛部的DFT。x(n)=xr(證利用式（4-51），有

這說明復(fù)序列實(shí)部的DFT等于序列DFT的圓周共軛對稱分量。同理可證式（4-62）。式（4-62）說明復(fù)序列虛部乘以j的DFT等于序列DFT的圓周共軛反對稱分量。

4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

此外，根據(jù)上述共軛對稱特性可以證明有限長實(shí)序列DFT的共軛對稱特性。若x(n)是實(shí)序列，這時x(n)=x*(n)，兩邊進(jìn)行離散傅里葉變換并利用式（4-51），有X(k)=X*((N-k))NRN(k)=X*(N-k)(4-63)由上式可看出X(k)只有圓周共軛對稱分量。若x(n)是純虛序列，則顯然X(k)只有圓周共軛反對稱分量，即滿足X(k)=-X*((N-k))NRＮ(k)=-X*(N-k)(4-64)

83證利用式（4-51），有這說明復(fù)序列實(shí)部的DFT等于表4-2序列及其DFT的奇、偶、虛、實(shí)關(guān)系x(n)[或X（k）]X（k）[或x(n)]偶對稱奇對稱實(shí)數(shù)虛數(shù)實(shí)數(shù)偶對稱實(shí)數(shù)奇對稱虛數(shù)偶對稱虛數(shù)奇對稱偶對稱奇對稱實(shí)部為偶對稱、虛部為奇對稱實(shí)部為奇對稱、實(shí)部為偶對稱實(shí)數(shù)偶對稱虛數(shù)奇對稱虛數(shù)偶對稱實(shí)數(shù)奇對稱4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

84表4-2序列及其DFT的奇、偶、虛、實(shí)關(guān)系偶對稱偶對稱6.DFT形式下的帕塞伐定理證

如果令y(n)=x(n)，則式（4-65）變成

4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

即

這表明一個序列在時域計(jì)算的能量與在頻域計(jì)算的能量是相等的。

856.DFT形式下的帕塞伐定理證如果令y(n)=x(n)，表4-3DFT性質(zhì)表(序列長皆為Ｎ點(diǎn))4.3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)

86表4-3DFT性質(zhì)表(序列長皆為Ｎ點(diǎn))4.3.3離在4.2節(jié)中已說到，周期序列的離散傅立葉級數(shù)的系數(shù)的值和的一個周期的z變換在單位圓的N個均分點(diǎn)上的抽樣值相等，這就實(shí)現(xiàn)了頻域的抽樣。時域抽樣定理告訴我們，在一定的條件下，可以通過時域離散抽樣恢復(fù)原來的連續(xù)信號。那么，能不能通過頻域女士抽樣恢復(fù)原來的信號（或頻率函數(shù)）？若能，其條件是什么？內(nèi)插公式又是什么形式？本節(jié)就上述問題進(jìn)行討論。首先，考慮一個任意的絕對可和的非周期序列x(n)，它的Z變換為由于絕對可和，所以其傅里葉變換存在且連續(xù)，故Z變換收斂域包括單位圓。如果我們對X(z)在單位圓上進(jìn)行N點(diǎn)等距采樣：（4-67）4.4抽樣z變換——頻域抽樣理論

87在4.2節(jié)中已說到，周期序列的離散傅立葉級數(shù)的問題在于，這樣采樣以后是否仍能不失真地恢復(fù)出原序列x(n)。也就是說，頻率采樣后從X(k)的反變換中所獲得的有限長序列，即xN(n)=IDFT［X(k)］，能不能代表原序列x(n)？為此，我們先來分析X(k)的周期延拓序列的離散傅里葉級數(shù)的反變換，令其為。將式（4-67）代入此式，可得

由于

m=n+rN,r為任意整數(shù)其他m

4.4抽樣z變換——頻域抽樣理論

88問題在于，這樣采樣以后是否仍能不失真地恢復(fù)出原序列x(n)。所以

（4-68）這說明由得到的周期序列是原非周期序列x(n)的周期延拓，其時域周期為頻域采樣點(diǎn)數(shù)N。在第1章1.2節(jié)中已經(jīng)知道，時域采樣造成頻域的周期延拓，這里又看到一個對稱的特性，即頻域采樣同樣會造成時域的周期延拓。4.4抽樣z變換——頻域抽樣理論

89所以（4-68）這說明由

（1）如果x(n)是有限長序列，點(diǎn)數(shù)為M，則當(dāng)頻域采樣不夠密，即當(dāng)N<M時，x(n)以N為周期進(jìn)行延拓，就會造成混疊。這時，從就不能不失真地恢復(fù)出原信號x(n)來。因此，對于M點(diǎn)的有限長序列x(n)

0≤n≤M-1其他n

頻域采樣不失真的條件是頻域采樣點(diǎn)數(shù)N要大于或等于時域采樣點(diǎn)數(shù)M（時域序列長度），即滿足

N≥M

（4-69）此時可得到

N≥M

（4-70）也就是說，點(diǎn)數(shù)為N（或小于N）的有限長序列，可以利用它的Z變換在單位圓上的N個等間隔點(diǎn)上的采樣值精確地表示。4.4抽樣z變換——頻域抽樣理論

90（1）如果x(n)是有限長序列，點(diǎn)數(shù)為M，則當(dāng)

（2）如果x(n)不是有限長序列（即無限長序列），則時域周期延拓后，必然造成混疊現(xiàn)象，因而一定會產(chǎn)生誤差;當(dāng)n增加時信號衰減得越快，或頻域采樣越密（即采樣點(diǎn)數(shù)N越大），則誤差越小，即xN(n)越接近x(n)。既然N個頻域采樣X(k)能不失真地代表N點(diǎn)有限長序列x(n)，那么這N個采樣值X(k)也一定能夠完全地表達(dá)整個X(z)及頻率響應(yīng)X(ejω)。討論如下：將4.4抽樣z變換——頻域抽樣理論

代入X(z)式子中，得到

由于WN-Nk=1，因此

（4-71）91（2）如果x(n)不是有限長序列（即無限長序列式中

（4-73）稱為內(nèi)插函數(shù)。令其分子為零，得

r=0,1,…,k,…,N-1即內(nèi)插函數(shù)在單位圓的N等分點(diǎn)上（也即采樣點(diǎn)上）有N個零點(diǎn)。而分母為零，則有z=WN-k=的一個極點(diǎn)，它將和第k個零點(diǎn)相抵消。因而，插值函數(shù)Φk(z)只在本身采樣點(diǎn)r=k處不為零，在其他（N-1）個采樣點(diǎn)r上（r=0,1,…,N-1，但r≠k）都是零點(diǎn)（有（N-1）個零點(diǎn)）。而它在z=0處還有（N-1）階極點(diǎn)，如圖4-15所示。這就是用N個頻率采樣X(k)來表示X(z)的內(nèi)插公式。它可以表示為

（4-72）4.4抽樣z變換——頻域抽樣理論

92式中（4-73）稱為內(nèi)插函數(shù)。令其分子為零，得r=0,圖4-15內(nèi)插函數(shù)的零極點(diǎn)

4.4抽樣z變換——頻域抽樣理論

93圖4-15內(nèi)插函數(shù)的零極點(diǎn)4.4抽樣z變換——頻域

現(xiàn)在來討論頻率響應(yīng)，即求單位圓上z=ejω的Z變換。由式（4-72）可得（4-74）而（4-75）4.4抽樣z變換——頻域抽樣理論

94現(xiàn)在來討論頻率響應(yīng)，即求單位圓上z=ejω的Z可將Φk(ejω)表示成更為方便的形式:式中：

（4-76）（4-77）這樣式（4-76）又可改寫為

（4-78）頻域插值函數(shù)的幅度特性及相位特性如圖4－16所示。其中相位是線性相移加上一個的整數(shù)倍地相移，后一個相移是由于每隔2

/N的整數(shù)倍相位翻轉(zhuǎn)[由正變負(fù)或由負(fù)變正]，因而每隔2

/N的整數(shù)倍相位要加上。4.4抽樣z變換——頻域抽樣理論

95可將Φk(ejω)表示成更為方便的形式:式中：（4-76圖4-16內(nèi)插函數(shù)幅度特性與相位特性(N=5)

4.4抽樣z變換——頻域抽樣理論

96圖4-16內(nèi)插函數(shù)幅度特性與相位特性(N=5)4.4

當(dāng)變量ω=0時，

Φ(ω)=1，當(dāng)（i=1,2,…,N-1)時，Φ(ω)=0。因而可知，滿足以下關(guān)系：（4-79）4.4抽樣z變換——頻域抽樣理論

也就是說，函數(shù) 在本采樣點(diǎn) ，而在其他采樣點(diǎn) 上，函數(shù)。整個X(ejω)就是由N個函數(shù)分別乘上X(k)后求和。所以很明顯，在每個采樣點(diǎn)上X(ejω)就精確地等于X(k)（因?yàn)槠渌c(diǎn)的插值函數(shù)在這一點(diǎn)上的值為零，沒有影響）即97當(dāng)變量ω=0時，Φ(ω)=1，當(dāng)

各采樣點(diǎn)之間的X(ejω)值由各采樣點(diǎn)的加權(quán)插值函數(shù) 在所求ω點(diǎn)上的值的疊加得到的。

k=0,1,…,N-1請注意，一般來說，這里的X(ejω)和X(k)都是復(fù)數(shù)。

4.4抽樣z變換——頻域抽樣理論

98各采樣點(diǎn)之間的X(ejω)值由各采樣點(diǎn)的加權(quán)第4章離散傅里葉變換

4.1傅里葉變換的幾種形式4.2周期序列的離散傅里葉級數(shù)及性質(zhì)4.3離散傅里葉變換及性質(zhì)4.4頻率抽樣理論99第4章離散傅里葉變換4.1傅里葉變換的幾種形式14.1傅里葉變換的幾種形式

傅里葉變換就是建立以時間為自變量的“信號”與以頻率為自變量的“頻率函數(shù)(頻譜)”之間的某種變換關(guān)系。所以，當(dāng)自變量“時間”或“頻率”取連續(xù)值還是離散值，就形成各種不同形式的傅里葉變換對。在深入討論離散傅里葉變換DFT之前，先概述四種不同形式的傅里葉變換對。

1004.1傅里葉變換的幾種形式傅里葉變換就4.1傅里葉變換的幾種形式1.連續(xù)時間、連續(xù)頻率——傅里葉變換

一個非周期實(shí)連續(xù)時間信號xa(t)的傅里葉變換，即頻譜Xa(jΩ)是一個連續(xù)的非周期函數(shù)。在“信號與系統(tǒng)”課程的內(nèi)容中，已知這一變換對為

可以看出，時域連續(xù)函數(shù)造成非周期的頻譜，而時域的非周期造成頻域是連續(xù)的譜密度函數(shù)。

1014.1傅里葉變換的幾種形式1.連續(xù)時間、連續(xù)頻率——傅里4.1傅里葉變換的幾種形式2.連續(xù)時間、離散頻率——傅里葉級數(shù)

一個周期性連續(xù)時間信號xp(t)，其周期為Tp，該信號可展成傅里葉級數(shù)，其傅里葉級數(shù)的系數(shù)為Xp(jkΩ)，即xp(t)的傅里葉變換或頻譜Xp(jkΩ)是由各次諧波分量組成的，并且是非周期離散頻率函數(shù)。這一變換對為

式中，Ω=2πF=2π/Tp，為離散頻譜相鄰兩譜線之間的角頻率間隔，k為譜諧波序號。可見，時域連續(xù)函數(shù)造成頻域非周期的頻譜函數(shù)，而頻域的離散頻譜就與時域的周期時間函數(shù)相對應(yīng)。1024.1傅里葉變換的幾種形式2.連續(xù)時間、離散頻率——傅里4.1傅里葉變換的幾種形式3.離散時間、連續(xù)頻率——序列的傅里葉變換

在第3章里討論了一個非周期連續(xù)時間信號xa(t)經(jīng)過等間隔抽樣的信號（x(nT)），即離散時間信號——序列x(n)，其傅里葉變換是以2π為周期的連續(xù)函數(shù)。它們的變換關(guān)系為

這里的ω是數(shù)字頻率，它和模擬角頻率Ω的關(guān)系為ω=ΩT。若振幅特性的頻率軸用Ω表示，則周期為Ωs=2π/T。同樣可以看出，時域的離散化造成頻域的周期延拓，而時域的非周期對應(yīng)于頻域的連續(xù)，這在第3章中討論過。1034.1傅里葉變換的幾種形式3.離散時間、連續(xù)頻率——序列4.1傅里葉變換的幾種形式4.離散時間、離散頻率——離散傅里葉變換

從以上討論可發(fā)現(xiàn)：如果信號頻域是離散的，表現(xiàn)為周期性的時間函數(shù)。相反，在時域上是離散的，則該信號在頻域必然表現(xiàn)為周期性的頻率函數(shù)。這三種傅里葉變換至少在一個域（時域或頻域）中函數(shù)是連續(xù)的，因而都不適合在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算。同時，不難設(shè)想，一個離散周期序列，它一定具有既是周期又是離散的頻譜，這正是我們所期望的時域及頻域都是離散的情況，適合于進(jìn)行數(shù)字計(jì)算，便于計(jì)算機(jī)處理，也就是即將要研究的離散傅里葉變換。對它的全面討論將在后面內(nèi)容進(jìn)行。1044.1傅里葉變換的幾種形式4.離散時間、離散頻率——離散4.1傅里葉變換的幾種形式

從以上簡單討論，可以總結(jié)得出一般的規(guī)律：一個域的離散對應(yīng)另一個域的周期延拓，一個域的連續(xù)必定對應(yīng)另一個域的非周期。表4-1對這四種傅里葉變換形式的特點(diǎn)作了簡要?dú)w納。表4-1四種傅里葉變換形式的歸納時間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)和非周期非周期和連續(xù)連續(xù)和周期非周期和離散離散和非周期周期和連續(xù)離散和周期周期和離散1054.1傅里葉變換的幾種形式從以上簡單討論，可以總圖4-1各種形式的傅里葉變換4.1傅里葉變換的幾種形式106圖4-1各種形式的傅里葉變換4.1傅里葉變換的幾種4.2周期序列的離散傅里葉級數(shù)及性質(zhì)

4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)

4.2.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）的性質(zhì)1074.2周期序列的離散傅里葉級數(shù)及性質(zhì)4.2.14.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)設(shè)是一個周期為N的周期序列，即，r為任意整數(shù)。正如連續(xù)時間周期信號可以用傅里葉級數(shù)表示一樣，周期序列也可以用離散傅里葉級數(shù)來表示，該級數(shù)相當(dāng)于成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)序列（正弦型序列）之和。也就是說，復(fù)指數(shù)序列的頻率是周期序列的基頻（2π/N）的整數(shù)倍。這些復(fù)指數(shù)序ek(n)的形式為

1084.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)設(shè)4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)因而可展成如下的離散傅里葉級數(shù)，即

（4－8）

式中，求和號前所乘的系數(shù)1/N是習(xí)慣上已經(jīng)采用的常數(shù)，是k次諧波的系數(shù)。下面我們來求解系數(shù)，這要利用復(fù)正弦序列的正交特性，即

將式（4－8）兩端同乘以，然后從n=0到N－1的一個周期內(nèi)求和，則得到

r=mN,m為整數(shù)其他r

1094.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)因而可4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)把r換成k可得

這就是求k=0到N－1的N個諧波系數(shù)的公式。同時看出也是一個以N為周期的周期序列，即

1104.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)124.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)定義WN為周期序列的傅里葉級數(shù)（DFS）變換對為式中，n和k都是離散變量。如果將n當(dāng)作時間變量，k當(dāng)作頻率變量，則DFS［·］表示時域到頻域的離散傅里葉級數(shù)正變換，IDFS［·］表示由頻域道時域的離散傅里葉級數(shù)反變換。從上面看出，只要知道周期序列一個周期的內(nèi)容，其他的內(nèi)容也都知道了。所以，這種無限長周期序列實(shí)際上只有一個周期中的N個序列值有信息。

(4-12)(4-13)1114.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)定義WN為(例4-1設(shè)為周期脈沖串（4-14）因?yàn)閷τ?≤n≤N-1， ,所以利用式（4-6）求出 的DFS系數(shù)為（4-15）在這種情況下，對于所有的k值均相同。于是，將式（4-15）代入式（4-13）可以得出表示式（4-16）4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)112例4-1設(shè)為周期脈沖串（4-14）因?yàn)?/p>

例4-2

已知周期序列如圖4-2所示，其周期N=10,試求解它的傅里葉級數(shù)系數(shù)。圖4-2例4-2的周期序列（周期N=10）4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)113例4-2已知周期序列如由式（4-12）（4-17）這一有限求和有閉合形式（4-18）圖4-3圖4-2所示序列的傅里葉級數(shù)系數(shù)的幅值4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)114由式（4-12）（4-17）這一有限求和有閉合形式（4式（4-12）中的周期序列可看成是對的第一個周期x(n)作Z變換，然后將Z變換在Z平面單位圓上按等間隔角2π/N采樣而得到的。令0≤n≤N-1其他n

通常稱x(n)為的主值區(qū)序列，則x(n)的Z變換為（4-19）4.2.1周期序列的離散傅里葉級數(shù)(DFS)115式（4-12）中的周期序列可把式（4-19）與式（4-12）比較可知（4-20）可以看出，當(dāng)0≤k≤N-1時，是對X