數(shù)值計算Chapter4 插值與擬合

第四章插值與擬合序很多實際問題都是用函數(shù)來表示變量間的某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系。但有時我們只能通過實驗或觀測手段得到它的一些不同值，即只知道一張函數(shù)值表，具體的表達式卻不知道；或雖然有函數(shù)式，但由于非常復雜，不便于計算和使用。我們希望能根據(jù)已知的數(shù)據(jù)找到一個既能反映函數(shù)的特性，又便于計算的簡單函數(shù)來近似表示所研究的函數(shù)，這就是本章所討論的問題。介紹兩種常用方法：多項式插值、數(shù)據(jù)的最小二乘擬合。1插值問題實例1標準正態(tài)分布函數(shù)(x)求(1.014)(1.014)≈0.8438(0.84610.8438)0.4=0.84472插值問題實例2機械加工xy機翼下輪廓線3內(nèi)插和外推內(nèi)插:在已觀測點的區(qū)域內(nèi)估算未觀測點的數(shù)據(jù)的過程；外推:在已觀測點的區(qū)域外估算未觀測點的數(shù)據(jù)的過程——預測。內(nèi)插外推4§1插值的基本概念一、插值問題的提出設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，但知道它在上的個互異的點處的函數(shù)值，即其表達式要么不知道，要么雖然知道，但很復雜，不便使用，5如右表：在某一類函數(shù)中找一個簡單函數(shù)使得并用作為的近似函數(shù)，即稱為插值區(qū)間；稱為插值節(jié)點；稱為插值條件；稱為在節(jié)點上的插值函數(shù)；稱為被插值函數(shù)；求的方法稱為插值法。用與選取的函數(shù)類很多（如多項式類、三角函數(shù)類等），即根據(jù)已知的函數(shù)值表，求一個n次多項式使得只討論多項式（代數(shù)）插值，（稱為n次插值多項式）6二、插值多項式的存在唯一性由n次插值多項式插值條件得顯然D是階范德蒙德行列式，又節(jié)點互異，所以定理1當插值節(jié)點互異時，滿足插值條件的n次插值多項式存在且唯一。所以故7三、插值余項用近似代替顯然有誤差，記就是用近似代替的截斷誤差。稱為n次插值多項式的余項。定理2若函數(shù)在上有直到階導數(shù)，為在個節(jié)點上的次插值多項式，則對，有其中且依賴于x。8證由得即所有的個節(jié)點都是余項的零點，故可設(shè)其中待定函數(shù)。取作輔助函數(shù)顯然函數(shù)在上有直到階導數(shù)，且又所以在上至少有個互異的點使得9所以在上至少有個互異的點，再由Rolle定理，在上面的任兩點之間至少存在一點，使所以在上至少有個互異的點，使得依次類推，連續(xù)使用次Rolle定理，得在上至少存在一點，使得所以由Rolle定理，在上面的任兩點之間至少存在一點，使即證畢使得1011§2插值多項式的求法一、拉格朗日（Lagrange）插值多項式1、n次基本插值多項式給定函數(shù)在上個互異的節(jié)點下面求一組（個）n次多項式使得由（1）式可看出，都是n次多項式的零點，故可設(shè)又所以，有12所以上式稱為n次基本插值多項式（n次插值基函數(shù)）,顯然它滿足(1).2、拉格朗日插值多項式n次多項式稱為拉格朗日插值多項式，記做即與有關(guān)，而與f無關(guān)節(jié)點稱為插值基函數(shù)

/*LagrangeBasis*/，滿足條件li(xj)=ij

/*KroneckerDelta*/13特別地，⑴線性插值（兩點插值）⑵拋物插值（三點插值）當時，即這種插值方法稱為線性插值（兩點插值）。幾何上，就是用過、的直線近似代替曲線當時，這是一個二次函數(shù)。這種插值方法稱為拋物插值（三點插值）。這是一個一次函數(shù)（線性函數(shù)）。14例1給定數(shù)據(jù)表求三次拉格朗日插值多項式。解由得15例2給定數(shù)據(jù)表試分別用線性插值和拋物插值計算的近似值，并估計對應的截斷誤差。解（注：插值計算中，為減少截斷誤差，應盡量選取離x較近的點作為節(jié)點。本題中介于11、12之間，故做線性插值時應取）由所以根據(jù)插值余項公式16由取節(jié)點為：17根據(jù)插值余項公式1819二、差商與牛頓（Newton）插值多項式Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)li(x)都需重新算過。將Ln(x)改寫成的形式，希望每加一個節(jié)點時，只附加一項上去即可。201、差商定義設(shè)函數(shù)在互異的節(jié)點處的值分別為稱為在和處的一階差商，記為即一階差商的差商其中i、j、k互異，稱為在處的二階差商。一般地，稱階差商的差商21為在處的m階差商。注②可采用下表計算差商：①規(guī)定的零階差商為三階差商二階差商一階差商22③差商具有對稱性，即交換節(jié)點的位置不影響差商的值，如④可以證明，差商與導數(shù)之間的關(guān)系為：其中介于之間。差商的值與xi的順序無關(guān)！232、牛頓插值多項式定義滿足插值條件的多項式稱為n次牛頓插值多項式。上式在節(jié)點互異時是唯一的，且其余項仍為24解構(gòu)造差商表：131690.040000-0.00007246121440.00000031380.043478-0.00009411111210.04761910100三階差商二階差商一階差商例3給定數(shù)據(jù)表用線性插值和拋物插值計算的近似值，并估計對應的截斷誤差。25取有故用線性插值（即n=1，亦即一次牛頓插值），得26三、差分與等距節(jié)點下的牛頓公式1、等距節(jié)點即節(jié)點滿足其中h為常數(shù)，稱為步長。用拋物插值（即n=2，亦即二次牛頓插值），得27處的一階差分之差稱為在處在節(jié)點和的二階差分，記為即依次類推，稱m-1階差分的差分：為在處的m階差分。2、差分定義1設(shè)函數(shù)在等距節(jié)點處的值分別為處函數(shù)值之差稱兩個節(jié)點和為在處以h為步長的一階向前差分（簡稱一階差分），記為即28注②類似于差商表，也用表計算差分：①可以證明，向前差分和差商的關(guān)系為(可用歸納法證明)：29定義2函數(shù)在處以h為步長的一階向后差分為在處的m階差分為3、等距節(jié)點下的牛頓插值公式當節(jié)點等距時，令再由得上公式稱為牛頓向前插值公式（簡稱前插公式）注①此公式常用來計算表頭附近（即）的函數(shù)值.30②前插公式的余項可寫成當節(jié)點等距時，令又得上公式稱為牛頓向后插值公式（簡稱后插公式）注①此公式常用來計算表尾附近（即）的函數(shù)值。②后插公式的余項可寫成31例4給定數(shù)據(jù)表用一次、二次前插公式計算的近似值。解介于與之間，又用前插公式，故取又所以構(gòu)造向前差分表：321.64870.50.15690.01501.49180.40.00160.14190.01341.34990.30.12851.22140.2用一次前插公式計算:用二次前插公式計算:33§3分段低次插值例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取Ln(x)f(x)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n越大，端點附近抖動越大，稱為Runge現(xiàn)象3435故實際計算時，常常把插值區(qū)間分成若干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上使用低次插值，這就是分段低次插值。給定節(jié)點處的函數(shù)值后，要計算在處的近似值，可先選取兩個節(jié)點和，使然后在上做線性插值（即n=1），這種方法稱為分段線性插值（折線插值）。若取x附近的三個點進行二次插值，就叫做分段二次插值，又叫做分段拋物插值。即一、分段線性插值與分段二次插值(分段Lagrange插值)36例子用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差.1.在[-6,6]中平均選取5個點作插值(xch11)4.在[-6,6]中平均選取41個點作插值(xch14)2.在[-6,6]中平均選取11個點作插值(xch12)3.在[-6,6]中平均選取21個點作插值(xch13)3738二、三次樣條插值1、定義對于給定數(shù)表其中若函數(shù)滿足：⑴在每個子區(qū)間上都是不高于三次的多項式；⑵在上都連續(xù)；⑶則稱為函數(shù)關(guān)于節(jié)點的三次樣條插值函數(shù).由定義中的條件⑴，記為在第i個小區(qū)間上的表達式，39設(shè)從而，有其中是待定常數(shù)。由條件⑵，在各節(jié)點上連續(xù)，在每一個節(jié)點處的左、右極限相等，即這樣，給出了個等式，再由條件⑶，給出了個等式，這樣，定義中共給出了個等式，還需兩個條件，就可以確定出4n個待定常數(shù)，從而得到由于小區(qū)間共有n個，所以共有4n個待定常數(shù)。40⑵端點處的二階導數(shù)值特別地，稱為自然邊界條件。相應的，滿足自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù)稱為自然樣條插值函數(shù)。⑶若是以為周期的函數(shù)，則可要求都是以為周期的函數(shù)，⑴端點處的一階導數(shù)值相應的，滿足這一邊界條件的三次樣條插值函數(shù)又稱為周期樣條插值函數(shù)。這兩個條件通常在區(qū)間[a，b]的端點上給出的已知，稱為邊界條件或端點條件.邊界條件類型很多，常用的有：41設(shè)在各節(jié)點處的二階導數(shù)為：因為在每個子區(qū)間上高于三次的多項式，都是不所以必是一階多項式或常數(shù)，記有在上用線性插值，有連續(xù)積分兩次，利用確定出積分中的常數(shù)后，得2、求三次樣條插值函數(shù)的方法（三彎距法）42由此，只要確定出n+1個待定參數(shù)就可得到各小區(qū)間上的進而得到為了求Mi（i=0，1，2…n），利用條件（2）可得關(guān)于Mi的方程組43其中（i=1,2,…，n-1）這是含n+1個未知數(shù)、n-1個方程的線性方程組。要求解，還需兩個用兩個邊界條件。44記解出后，代入三對角方程組解方程組，得再代入式，得求的方法簡介：①若給出的邊界條件是第⑴種情況：45②若給出的邊界條件是第⑵種情況：則再解三對角方程組得再代入式，得③若給出的邊界條件是第⑶種情況：令解出后，有46代入三對角方程組得再代入式，得例5給定數(shù)據(jù)表求滿足邊界條件的三次樣條插值函數(shù)。解給出的邊界條件為第二種，所以由表，得所以47得方程組得把代入式，得在上，在上，在上，48所以滿足邊界條件的三次樣條插值函數(shù)為49三種插值的比較拉格朗日插值（高次多項式插值）：曲線光滑；誤差估計有表達式收斂性不能保證（振蕩現(xiàn)象）用于理論分析，實際意義不大分段線性插值：收斂性良好只用兩個節(jié)點，且線性，簡單實用曲線不光滑三次樣條插值:(*)曲線2階光滑，收斂性有保證實際中應用廣泛誤差估計較難50§4曲線擬合的最小二乘法一、最小二乘問題的提出1、插值法存在的問題插值法就是從通過實驗或觀察得到的一組數(shù)據(jù)即數(shù)據(jù)表把函數(shù)用一個多項式來近似表示，但它存在著明顯的缺陷：①得到的數(shù)據(jù)有誤差，且某些數(shù)據(jù)誤差還很大；②插值多項式必須嚴格通過給定的個點這樣多項式既保留了數(shù)據(jù)的誤差，且點取得越多，多項式的次數(shù)也越高,因此，用插值法得到的多項式誤差就可能會很大。51擬合問題引例一溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032已知熱敏電阻數(shù)據(jù)：求600C時的電阻R。

設(shè)

R=at+ba,b為待定系數(shù)52擬合問題引例二

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)求血藥濃度隨時間的變化規(guī)律c(t).532、擬合問題3、最小二乘問題擬合，就是用以近似的函數(shù)不要求必須通過所有的數(shù)據(jù)點，只要求所得的近似曲線能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢，幾何上，就是求一條曲線，使其盡可能的接近數(shù)據(jù)點，這樣得到的近似函數(shù)稱為擬合函數(shù)或經(jīng)驗公式。不要求擬合函數(shù)在處的偏差（殘差）都嚴格的等于零，只要求它能夠適當?shù)男〖纯?。常用使得偏差的平方和最小來實現(xiàn)偏差的適當小。按最小二乘原則求近似函數(shù)的方法稱為最小二乘法。稱為最小二乘原則.由以上討論，54⑵求最小二乘解，即求下面的近似函數(shù)對于給定的數(shù)據(jù)，在中求一個函數(shù)使得其中是中的任意函數(shù)。二、最小二乘解的求法⑴確定函數(shù)類，即確定近似函數(shù)的形式。通常的做法是將已知數(shù)據(jù)描繪在坐標紙上，然后根據(jù)這些點的分布情況來選取所需函數(shù)的形式，進而確定。設(shè)具有以下形式其中是待定常數(shù)。用最小二乘法求近似函數(shù)（即經(jīng)驗公式）的一般步驟：55求最小二乘解，就是適當?shù)倪x取參數(shù)使得相應的函數(shù)滿足條件。假若滿足，則說明點是多元函數(shù)的極小點，由極值存在的必要條件知，滿足方程組這個方程組稱為法方程組。由法方程組就可以得到待定常數(shù)進而獲得最小二乘解。56若能表示成一組已知函數(shù)的線性組合，即則相應的法方程組必是線性方程組。注意⑴一般情況下，法方程組不一定是線性方程組。結(jié)論事實上，令即得方程組記57則方程組可表示為可以證明0(x),1(x),…,n(x)當線性無關(guān)時0,存在唯一解ak=ak*(k=0,1,…,n).并且相應的函數(shù)就是滿足條件的最小二乘解。58⑵作為曲線擬合的一種常見情況，若討論的的是代數(shù)多項式擬合，即只要把依次看成即可，此時對應的法方程組為其中59例6使電流i通過的電阻，用伏特表測量電阻兩端的電壓V，得到數(shù)據(jù)用最小二乘法建立i與V之間的經(jīng)驗公式。解①確定函數(shù)形式（即確定函數(shù)類型）。把數(shù)據(jù)表中的數(shù)據(jù)點描繪在坐標紙上，如圖。由圖中看出，點位于一條直線附近，故可取擬合函數(shù)為顯然，此時是多項式擬合。60②建立法方程組。（此時）代入式，有③求經(jīng)驗公式。由上式，解得得經(jīng)驗公式為61④檢驗所得經(jīng)驗公式是否可用。算出經(jīng)驗公式在各點處的函數(shù)值（稱為擬合值），它與實際測量值之間有一定的偏差，一并填入下表。-0.0950.241-0.023-0.2870.1490.01720.215.812.08.23.71.820.10516.04111.9777.9133.8491.8171086421654321k算出偏差的平方和，其中稱為最大偏差。稱為均方誤差.若以上誤差是問題所允許的話，所取經(jīng)驗公式就是可取的，否則應改變函數(shù)類型或增加實驗數(shù)據(jù)來取新的經(jīng)驗公式。62注⑴得到數(shù)據(jù)點的圖象后，選取何樣的數(shù)學模型（即選取何樣的函數(shù)類型）是非常重要的，解決實際問題時，應根據(jù)圖象情況，反復分析，多次選擇、比較，才能獲得較好的數(shù)學模型。⑵有時經(jīng)驗公式不是線性形式，相應的法方程組不是線性方程，計算非常困難，此時可以先把經(jīng)驗公式轉(zhuǎn)化為線性形式,再進行計算。例7在某化學反應里，測得生成物濃度y（單位：%）與時間t用最小二乘法建立t與y之間的經(jīng)驗公式。（單位：秒）的關(guān)