數(shù)值計(jì)算Chapter4 插值與擬合

第四章插值與擬合序很多實(shí)際問(wèn)題都是用函數(shù)來(lái)表示變量間的某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系。但有時(shí)我們只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)手段得到它的一些不同值，即只知道一張函數(shù)值表，具體的表達(dá)式卻不知道；或雖然有函數(shù)式，但由于非常復(fù)雜，不便于計(jì)算和使用。我們希望能根據(jù)已知的數(shù)據(jù)找到一個(gè)既能反映函數(shù)的特性，又便于計(jì)算的簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)近似表示所研究的函數(shù)，這就是本章所討論的問(wèn)題。介紹兩種常用方法：多項(xiàng)式插值、數(shù)據(jù)的最小二乘擬合。1插值問(wèn)題實(shí)例1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)(x)求(1.014)(1.014)≈0.8438(0.84610.8438)0.4=0.84472插值問(wèn)題實(shí)例2機(jī)械加工xy機(jī)翼下輪廓線3內(nèi)插和外推內(nèi)插:在已觀測(cè)點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)估算未觀測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)的過(guò)程；外推:在已觀測(cè)點(diǎn)的區(qū)域外估算未觀測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)的過(guò)程——預(yù)測(cè)。內(nèi)插外推4§1插值的基本概念一、插值問(wèn)題的提出設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，但知道它在上的個(gè)互異的點(diǎn)處的函數(shù)值，即其表達(dá)式要么不知道，要么雖然知道，但很復(fù)雜，不便使用，5如右表：在某一類(lèi)函數(shù)中找一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)使得并用作為的近似函數(shù)，即稱(chēng)為插值區(qū)間；稱(chēng)為插值節(jié)點(diǎn)；稱(chēng)為插值條件；稱(chēng)為在節(jié)點(diǎn)上的插值函數(shù)；稱(chēng)為被插值函數(shù)；求的方法稱(chēng)為插值法。用與選取的函數(shù)類(lèi)很多（如多項(xiàng)式類(lèi)、三角函數(shù)類(lèi)等），即根據(jù)已知的函數(shù)值表，求一個(gè)n次多項(xiàng)式使得只討論多項(xiàng)式（代數(shù)）插值，（稱(chēng)為n次插值多項(xiàng)式）6二、插值多項(xiàng)式的存在唯一性由n次插值多項(xiàng)式插值條件得顯然D是階范德蒙德行列式，又節(jié)點(diǎn)互異，所以定理1當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)互異時(shí)，滿足插值條件的n次插值多項(xiàng)式存在且唯一。所以故7三、插值余項(xiàng)用近似代替顯然有誤差，記就是用近似代替的截?cái)嗾`差。稱(chēng)為n次插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。定理2若函數(shù)在上有直到階導(dǎo)數(shù)，為在個(gè)節(jié)點(diǎn)上的次插值多項(xiàng)式，則對(duì)，有其中且依賴(lài)于x。8證由得即所有的個(gè)節(jié)點(diǎn)都是余項(xiàng)的零點(diǎn)，故可設(shè)其中待定函數(shù)。取作輔助函數(shù)顯然函數(shù)在上有直到階導(dǎo)數(shù)，且又所以在上至少有個(gè)互異的點(diǎn)使得9所以在上至少有個(gè)互異的點(diǎn)，再由Rolle定理，在上面的任兩點(diǎn)之間至少存在一點(diǎn)，使所以在上至少有個(gè)互異的點(diǎn)，使得依次類(lèi)推，連續(xù)使用次Rolle定理，得在上至少存在一點(diǎn)，使得所以由Rolle定理，在上面的任兩點(diǎn)之間至少存在一點(diǎn)，使即證畢使得1011§2插值多項(xiàng)式的求法一、拉格朗日（Lagrange）插值多項(xiàng)式1、n次基本插值多項(xiàng)式給定函數(shù)在上個(gè)互異的節(jié)點(diǎn)下面求一組（個(gè)）n次多項(xiàng)式使得由（1）式可看出，都是n次多項(xiàng)式的零點(diǎn)，故可設(shè)又所以，有12所以上式稱(chēng)為n次基本插值多項(xiàng)式（n次插值基函數(shù)）,顯然它滿足(1).2、拉格朗日插值多項(xiàng)式n次多項(xiàng)式稱(chēng)為拉格朗日插值多項(xiàng)式，記做即與有關(guān)，而與f無(wú)關(guān)節(jié)點(diǎn)稱(chēng)為插值基函數(shù)

/*LagrangeBasis*/，滿足條件li(xj)=ij

/*KroneckerDelta*/13特別地，⑴線性插值（兩點(diǎn)插值）⑵拋物插值（三點(diǎn)插值）當(dāng)時(shí)，即這種插值方法稱(chēng)為線性插值（兩點(diǎn)插值）。幾何上，就是用過(guò)、的直線近似代替曲線當(dāng)時(shí)，這是一個(gè)二次函數(shù)。這種插值方法稱(chēng)為拋物插值（三點(diǎn)插值）。這是一個(gè)一次函數(shù)（線性函數(shù)）。14例1給定數(shù)據(jù)表求三次拉格朗日插值多項(xiàng)式。解由得15例2給定數(shù)據(jù)表試分別用線性插值和拋物插值計(jì)算的近似值，并估計(jì)對(duì)應(yīng)的截?cái)嗾`差。解（注：插值計(jì)算中，為減少截?cái)嗾`差，應(yīng)盡量選取離x較近的點(diǎn)作為節(jié)點(diǎn)。本題中介于11、12之間，故做線性插值時(shí)應(yīng)?。┯伤愿鶕?jù)插值余項(xiàng)公式16由取節(jié)點(diǎn)為：17根據(jù)插值余項(xiàng)公式1819二、差商與牛頓（Newton）插值多項(xiàng)式Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，全部基函數(shù)li(x)都需重新算過(guò)。將Ln(x)改寫(xiě)成的形式，希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只附加一項(xiàng)上去即可。201、差商定義設(shè)函數(shù)在互異的節(jié)點(diǎn)處的值分別為稱(chēng)為在和處的一階差商，記為即一階差商的差商其中i、j、k互異，稱(chēng)為在處的二階差商。一般地，稱(chēng)階差商的差商21為在處的m階差商。注②可采用下表計(jì)算差商：①規(guī)定的零階差商為三階差商二階差商一階差商22③差商具有對(duì)稱(chēng)性，即交換節(jié)點(diǎn)的位置不影響差商的值，如④可以證明，差商與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系為：其中介于之間。差商的值與xi的順序無(wú)關(guān)！232、牛頓插值多項(xiàng)式定義滿足插值條件的多項(xiàng)式稱(chēng)為n次牛頓插值多項(xiàng)式。上式在節(jié)點(diǎn)互異時(shí)是唯一的，且其余項(xiàng)仍為24解構(gòu)造差商表：131690.040000-0.00007246121440.00000031380.043478-0.00009411111210.04761910100三階差商二階差商一階差商例3給定數(shù)據(jù)表用線性插值和拋物插值計(jì)算的近似值，并估計(jì)對(duì)應(yīng)的截?cái)嗾`差。25取有故用線性插值（即n=1，亦即一次牛頓插值），得26三、差分與等距節(jié)點(diǎn)下的牛頓公式1、等距節(jié)點(diǎn)即節(jié)點(diǎn)滿足其中h為常數(shù)，稱(chēng)為步長(zhǎng)。用拋物插值（即n=2，亦即二次牛頓插值），得27處的一階差分之差稱(chēng)為在處在節(jié)點(diǎn)和的二階差分，記為即依次類(lèi)推，稱(chēng)m-1階差分的差分：為在處的m階差分。2、差分定義1設(shè)函數(shù)在等距節(jié)點(diǎn)處的值分別為處函數(shù)值之差稱(chēng)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)和為在處以h為步長(zhǎng)的一階向前差分（簡(jiǎn)稱(chēng)一階差分），記為即28注②類(lèi)似于差商表，也用表計(jì)算差分：①可以證明，向前差分和差商的關(guān)系為(可用歸納法證明)：29定義2函數(shù)在處以h為步長(zhǎng)的一階向后差分為在處的m階差分為3、等距節(jié)點(diǎn)下的牛頓插值公式當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距時(shí)，令再由得上公式稱(chēng)為牛頓向前插值公式（簡(jiǎn)稱(chēng)前插公式）注①此公式常用來(lái)計(jì)算表頭附近（即）的函數(shù)值.30②前插公式的余項(xiàng)可寫(xiě)成當(dāng)節(jié)點(diǎn)等距時(shí)，令又得上公式稱(chēng)為牛頓向后插值公式（簡(jiǎn)稱(chēng)后插公式）注①此公式常用來(lái)計(jì)算表尾附近（即）的函數(shù)值。②后插公式的余項(xiàng)可寫(xiě)成31例4給定數(shù)據(jù)表用一次、二次前插公式計(jì)算的近似值。解介于與之間，又用前插公式，故取又所以構(gòu)造向前差分表：321.64870.50.15690.01501.49180.40.00160.14190.01341.34990.30.12851.22140.2用一次前插公式計(jì)算:用二次前插公式計(jì)算:33§3分段低次插值例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取Ln(x)f(x)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n越大，端點(diǎn)附近抖動(dòng)越大，稱(chēng)為Runge現(xiàn)象3435故實(shí)際計(jì)算時(shí)，常常把插值區(qū)間分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上使用低次插值，這就是分段低次插值。給定節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值后，要計(jì)算在處的近似值，可先選取兩個(gè)節(jié)點(diǎn)和，使然后在上做線性插值（即n=1），這種方法稱(chēng)為分段線性插值（折線插值）。若取x附近的三個(gè)點(diǎn)進(jìn)行二次插值，就叫做分段二次插值，又叫做分段拋物插值。即一、分段線性插值與分段二次插值(分段Lagrange插值)36例子用分段線性插值法求插值,并觀察插值誤差.1.在[-6,6]中平均選取5個(gè)點(diǎn)作插值(xch11)4.在[-6,6]中平均選取41個(gè)點(diǎn)作插值(xch14)2.在[-6,6]中平均選取11個(gè)點(diǎn)作插值(xch12)3.在[-6,6]中平均選取21個(gè)點(diǎn)作插值(xch13)3738二、三次樣條插值1、定義對(duì)于給定數(shù)表其中若函數(shù)滿足：⑴在每個(gè)子區(qū)間上都是不高于三次的多項(xiàng)式；⑵在上都連續(xù)；⑶則稱(chēng)為函數(shù)關(guān)于節(jié)點(diǎn)的三次樣條插值函數(shù).由定義中的條件⑴，記為在第i個(gè)小區(qū)間上的表達(dá)式，39設(shè)從而，有其中是待定常數(shù)。由條件⑵，在各節(jié)點(diǎn)上連續(xù)，在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)處的左、右極限相等，即這樣，給出了個(gè)等式，再由條件⑶，給出了個(gè)等式，這樣，定義中共給出了個(gè)等式，還需兩個(gè)條件，就可以確定出4n個(gè)待定常數(shù)，從而得到由于小區(qū)間共有n個(gè)，所以共有4n個(gè)待定常數(shù)。40⑵端點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)值特別地，稱(chēng)為自然邊界條件。相應(yīng)的，滿足自然邊界條件的三次樣條插值函數(shù)稱(chēng)為自然樣條插值函數(shù)。⑶若是以為周期的函數(shù)，則可要求都是以為周期的函數(shù)，⑴端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值相應(yīng)的，滿足這一邊界條件的三次樣條插值函數(shù)又稱(chēng)為周期樣條插值函數(shù)。這兩個(gè)條件通常在區(qū)間[a，b]的端點(diǎn)上給出的已知，稱(chēng)為邊界條件或端點(diǎn)條件.邊界條件類(lèi)型很多，常用的有：41設(shè)在各節(jié)點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為：因?yàn)樵诿總€(gè)子區(qū)間上高于三次的多項(xiàng)式，都是不所以必是一階多項(xiàng)式或常數(shù)，記有在上用線性插值，有連續(xù)積分兩次，利用確定出積分中的常數(shù)后，得2、求三次樣條插值函數(shù)的方法（三彎距法）42由此，只要確定出n+1個(gè)待定參數(shù)就可得到各小區(qū)間上的進(jìn)而得到為了求Mi（i=0，1，2…n），利用條件（2）可得關(guān)于Mi的方程組43其中（i=1,2,…，n-1）這是含n+1個(gè)未知數(shù)、n-1個(gè)方程的線性方程組。要求解，還需兩個(gè)用兩個(gè)邊界條件。44記解出后，代入三對(duì)角方程組解方程組，得再代入式，得求的方法簡(jiǎn)介：①若給出的邊界條件是第⑴種情況：45②若給出的邊界條件是第⑵種情況：則再解三對(duì)角方程組得再代入式，得③若給出的邊界條件是第⑶種情況：令解出后，有46代入三對(duì)角方程組得再代入式，得例5給定數(shù)據(jù)表求滿足邊界條件的三次樣條插值函數(shù)。解給出的邊界條件為第二種，所以由表，得所以47得方程組得把代入式，得在上，在上，在上，48所以滿足邊界條件的三次樣條插值函數(shù)為49三種插值的比較拉格朗日插值（高次多項(xiàng)式插值）：曲線光滑；誤差估計(jì)有表達(dá)式收斂性不能保證（振蕩現(xiàn)象）用于理論分析，實(shí)際意義不大分段線性插值：收斂性良好只用兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，且線性，簡(jiǎn)單實(shí)用曲線不光滑三次樣條插值:(*)曲線2階光滑，收斂性有保證實(shí)際中應(yīng)用廣泛誤差估計(jì)較難50§4曲線擬合的最小二乘法一、最小二乘問(wèn)題的提出1、插值法存在的問(wèn)題插值法就是從通過(guò)實(shí)驗(yàn)或觀察得到的一組數(shù)據(jù)即數(shù)據(jù)表把函數(shù)用一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似表示，但它存在著明顯的缺陷：①得到的數(shù)據(jù)有誤差，且某些數(shù)據(jù)誤差還很大；②插值多項(xiàng)式必須嚴(yán)格通過(guò)給定的個(gè)點(diǎn)這樣多項(xiàng)式既保留了數(shù)據(jù)的誤差，且點(diǎn)取得越多，多項(xiàng)式的次數(shù)也越高,因此，用插值法得到的多項(xiàng)式誤差就可能會(huì)很大。51擬合問(wèn)題引例一溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032已知熱敏電阻數(shù)據(jù)：求600C時(shí)的電阻R。

設(shè)

R=at+ba,b為待定系數(shù)52擬合問(wèn)題引例二

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)求血藥濃度隨時(shí)間的變化規(guī)律c(t).532、擬合問(wèn)題3、最小二乘問(wèn)題擬合，就是用以近似的函數(shù)不要求必須通過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要求所得的近似曲線能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢(shì)，幾何上，就是求一條曲線，使其盡可能的接近數(shù)據(jù)點(diǎn)，這樣得到的近似函數(shù)稱(chēng)為擬合函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)公式。不要求擬合函數(shù)在處的偏差（殘差）都嚴(yán)格的等于零，只要求它能夠適當(dāng)?shù)男〖纯伞３Ｓ檬沟闷畹钠椒胶妥钚?lái)實(shí)現(xiàn)偏差的適當(dāng)小。按最小二乘原則求近似函數(shù)的方法稱(chēng)為最小二乘法。稱(chēng)為最小二乘原則.由以上討論，54⑵求最小二乘解，即求下面的近似函數(shù)對(duì)于給定的數(shù)據(jù)，在中求一個(gè)函數(shù)使得其中是中的任意函數(shù)。二、最小二乘解的求法⑴確定函數(shù)類(lèi)，即確定近似函數(shù)的形式。通常的做法是將已知數(shù)據(jù)描繪在坐標(biāo)紙上，然后根據(jù)這些點(diǎn)的分布情況來(lái)選取所需函數(shù)的形式，進(jìn)而確定。設(shè)具有以下形式其中是待定常數(shù)。用最小二乘法求近似函數(shù)（即經(jīng)驗(yàn)公式）的一般步驟：55求最小二乘解，就是適當(dāng)?shù)倪x取參數(shù)使得相應(yīng)的函數(shù)滿足條件。假若滿足，則說(shuō)明點(diǎn)是多元函數(shù)的極小點(diǎn)，由極值存在的必要條件知，滿足方程組這個(gè)方程組稱(chēng)為法方程組。由法方程組就可以得到待定常數(shù)進(jìn)而獲得最小二乘解。56若能表示成一組已知函數(shù)的線性組合，即則相應(yīng)的法方程組必是線性方程組。注意⑴一般情況下，法方程組不一定是線性方程組。結(jié)論事實(shí)上，令即得方程組記57則方程組可表示為可以證明0(x),1(x),…,n(x)當(dāng)線性無(wú)關(guān)時(shí)0,存在唯一解ak=ak*(k=0,1,…,n).并且相應(yīng)的函數(shù)就是滿足條件的最小二乘解。58⑵作為曲線擬合的一種常見(jiàn)情況，若討論的的是代數(shù)多項(xiàng)式擬合，即只要把依次看成即可，此時(shí)對(duì)應(yīng)的法方程組為其中59例6使電流i通過(guò)的電阻，用伏特表測(cè)量電阻兩端的電壓V，得到數(shù)據(jù)用最小二乘法建立i與V之間的經(jīng)驗(yàn)公式。解①確定函數(shù)形式（即確定函數(shù)類(lèi)型）。把數(shù)據(jù)表中的數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪在坐標(biāo)紙上，如圖。由圖中看出，點(diǎn)位于一條直線附近，故可取擬合函數(shù)為顯然，此時(shí)是多項(xiàng)式擬合。60②建立法方程組。（此時(shí)）代入式，有③求經(jīng)驗(yàn)公式。由上式，解得得經(jīng)驗(yàn)公式為61④檢驗(yàn)所得經(jīng)驗(yàn)公式是否可用。算出經(jīng)驗(yàn)公式在各點(diǎn)處的函數(shù)值（稱(chēng)為擬合值），它與實(shí)際測(cè)量值之間有一定的偏差，一并填入下表。-0.0950.241-0.023-0.2870.1490.01720.215.812.08.23.71.820.10516.04111.9777.9133.8491.8171086421654321k算出偏差的平方和，其中稱(chēng)為最大偏差。稱(chēng)為均方誤差.若以上誤差是問(wèn)題所允許的話，所取經(jīng)驗(yàn)公式就是可取的，否則應(yīng)改變函數(shù)類(lèi)型或增加實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)取新的經(jīng)驗(yàn)公式。62注⑴得到數(shù)據(jù)點(diǎn)的圖象后，選取何樣的數(shù)學(xué)模型（即選取何樣的函數(shù)類(lèi)型）是非常重要的，解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)圖象情況，反復(fù)分析，多次選擇、比較，才能獲得較好的數(shù)學(xué)模型。⑵有時(shí)經(jīng)驗(yàn)公式不是線性形式，相應(yīng)的法方程組不是線性方程，計(jì)算非常困難，此時(shí)可以先把經(jīng)驗(yàn)公式轉(zhuǎn)化為線性形式,再進(jìn)行計(jì)算。例7在某化學(xué)反應(yīng)里，測(cè)得生成物濃度y（單位：%）與時(shí)間t用最小二乘法建立t與y之間的經(jīng)驗(yàn)公式。（單位：秒）的關(guān)