《復(fù)變函數(shù)》考試試題與(十二)

(圓滿版)?復(fù)變函數(shù)?考試一試題與(十二)(圓滿版)?復(fù)變函數(shù)?考試一試題與(十二)(圓滿版)?復(fù)變函數(shù)?考試一試題與(十二)?復(fù)變函數(shù)?考試一試題〔十二〕一、判斷題?！舱_者在括號內(nèi)打√，錯誤者在括號內(nèi)打×，每題2分〕1．設(shè)復(fù)數(shù)z1x1iy1及z2x2iy2，假定x1x2或y1y2，那么稱z1與z2是相等的復(fù)數(shù)。〔〕2．函數(shù)f(z)Rez在復(fù)平面上各處可微。〔〕3．sin2zcos2z1且sinz1,cosz1?！病?f(z)是有界地區(qū)D內(nèi)的特別數(shù)的解析函數(shù)，且在閉域DDD上連續(xù)，那么存．設(shè)函數(shù)在M0，使得對隨意的zD，有f(z)M?！病?．假定函數(shù)f(z)是特其余整函數(shù)，那么f(z)必是有界函數(shù)。〔〕二、填空題。〔每題2分〕1．i2i3i4i5i6_____________________。2．設(shè)zxiy0，且argz,2arctany，當(dāng)x0,y0時，arctanyx2arg________________。x3．假定f(z)x(11)iy(11)，那么其對于變量z的表達(dá)式為__________。xy2y22x2．nz以z________________為支點。4．假定lnzi，那么z_______________。526．dz________________。zz17．級數(shù)1z2z4z6L的收斂半徑為________________。．cosnz在zn〔n為正整數(shù)〕內(nèi)零點的個數(shù)為_______________。89．假定za為函數(shù)f(z)的一個實質(zhì)奇點，且在點a的充分小的鄰域內(nèi)不為零，那么za是1的________________奇點。f(z)．設(shè)a為函數(shù)f(z)的n階極點，那么Resf(z)_____________________。10f(z)za三、計算題〔

50分〕1．設(shè)地區(qū)

D是沿正實軸割開的

z平面，求函數(shù)

w

5

z在D內(nèi)知足條件

5

1

1的單值連續(xù)解析分支在z1i處之值。〔10分〕2．求以下函數(shù)的奇點，并確立其種類〔對于極點要指出它們的階〕，并求它們留數(shù)?！?5分〕〔1〕f(z)Lnz的各解析分支在z1各有如何的孤立奇點，并求這些點的留數(shù)〔10分〕z21〔2〕求Resezzn1。〔5分〕z03．計算以下積分?！?5分〕〔1〕z7dz〔8分〕，1)3(z2z2(z22)〔2〕x2dx(a0)〔7分〕。(x2a2)24．表達(dá)儒歇定理并討論方程z66z100在z1內(nèi)根的個數(shù)?！?0分〕四、證明題〔20分〕1．討論函數(shù)f(z)ez在復(fù)平面上的解析性。〔10分〕2．證明：1znezd(zn)2。2iCn!nn!此處C是環(huán)繞原點的一條簡單曲線?！?0分〕?復(fù)變函數(shù)?考試一試題〔十二〕參照答案一、判斷題.1.×2.×3.×4.√5.×二、填空題.1.12.()3.f(z)14.0,zz5.i6.27.18.2n219.天性10.三、計算題.1argz2ki1.解：wkz5e5k0,1,2,3,4由511得1e2ki25進(jìn)而有k1441331iw2(1i)210ei5210(cosisin)54442.解：〔1〕f(z)Lnz的各解析分支為fk(z)lnz2k，(k0,1,L).z21z21z1為f0(z)的可去奇點，為fk(z)的一階極點(k0,1,L)。Res(f0(z),1)0Res(fk(z),1)ki.(k1,2,L)〔2〕ResezRes1zn1zn1zn1n!n!z0z0n03.計算以下積分解：〔1〕f(z)z71(z21)3(z22)132z(1(1z2)2)zRes(f,)C11f(z)dz2i[Res(f,)]2iz2〔2〕設(shè)f(z)z2z222222(za)(zai)(zai)令(z)z2，(z)2aiz(zai)2(zai)3那么Res(f,ai)(ai)2(ai2)1i1!(2ai)34aImz0f(z)dz2iRes(f,ai)2ax2dx(x2a2)22a4.儒歇定理：設(shè)

c

是一條圍線，

f(z)及

(z)

知足條件：〔1〕它們在

c的內(nèi)部均解析，且連續(xù)到

c

；〔2〕在

c上，

f(z)

(z)那么f

與

f

在c的內(nèi)部有相同多零點，即f(z)

10

g(z)

z6

6z

有

f(z)

g(z)由儒歇定理知z66z100在z1沒有根。四、證明題1證明：.設(shè)zxiy有f(z)ezex(cosyisiny)u(x,y)excosy,v(x,y)exsinyuexcosy,uexsiny,vexsiny,vexcosyxyxy易知u(x,y)，v(x,y)在隨意點都不知