彈性力學(xué)課件

第一章緒緒論§1.1彈性力學(xué)學(xué)的內(nèi)容容§1.2彈性力學(xué)學(xué)的幾個(gè)個(gè)基本概概念§1.3彈性力學(xué)學(xué)的基本本假定§1.1彈性力學(xué)學(xué)的內(nèi)容容1.彈性體力力學(xué)：簡(jiǎn)稱(chēng)彈性力學(xué)學(xué)，有稱(chēng)彈性性理論（TheoryofElasticity)，研究彈彈性體由由于受外外力、邊邊界約束或溫溫度改變變等原因因而發(fā)生生的應(yīng)力力、形變變和位移移。研究對(duì)象象：彈性性體研究目標(biāo)標(biāo)：變形形等效應(yīng)應(yīng)，即應(yīng)應(yīng)力、形形變和位位移。2.對(duì)彈性力力學(xué)、材材料力學(xué)學(xué)和結(jié)構(gòu)構(gòu)力學(xué)作作比較彈性力學(xué)學(xué)的任務(wù)務(wù)和材料料力學(xué),結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)的任務(wù)務(wù)一樣,是分析各各種結(jié)構(gòu)構(gòu)物或其其構(gòu)件在在彈性階階段的應(yīng)應(yīng)力和位位移,校核它們們是否具具有所需需的強(qiáng)度度和剛度度,并尋求或或改進(jìn)它它們的計(jì)計(jì)算方法法.(1)研究對(duì)象象：材料力學(xué)學(xué)主要研究究桿件在拉壓、、剪切、、彎曲、、扭轉(zhuǎn)作作用下的的應(yīng)力、、形變和和位移；；結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)研究桿系結(jié)構(gòu)構(gòu)，如桁架架、鋼架架或兩者者混合的的構(gòu)架等等；彈性力學(xué)學(xué)研究各種形狀狀的彈性體體，除桿桿件外（（對(duì)桿件件進(jìn)行進(jìn)進(jìn)一步的的、較精精確的分分析），，還研究究平面體體、空間間體，板板和殼等等。(2)研究方法法:彈性力學(xué)學(xué)與材料料力學(xué)有有相似，，又有一一定區(qū)別。。彈性力學(xué)學(xué)：在彈性體體區(qū)域內(nèi)內(nèi)必須嚴(yán)嚴(yán)格考慮慮靜力學(xué)學(xué)、幾何何學(xué)和物物理學(xué)三三方面條條件，在在邊界上上嚴(yán)格考考慮受力力條件或或約束條條件，由由此建立立微分方方程和邊邊界條件件進(jìn)行求求解，得得出精確確解答。。材料力學(xué)學(xué)：雖然也也考慮這這幾個(gè)方方面的的的條件，，但不是是十分嚴(yán)嚴(yán)格。一般地說(shuō)說(shuō),由于材料料力學(xué)建建立的是是近似理理論,因此得出出的是近近似的解解答。但但對(duì)于細(xì)細(xì)長(zhǎng)的桿桿件結(jié)構(gòu)構(gòu)而言,材料力學(xué)學(xué)力解答答的精度度是足夠夠的,符合工程程的要求求。彈性力學(xué)學(xué):梁的深度度并不遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于梁梁的跨度度，而是是同等大大小的，，那么，，橫截面面的正應(yīng)應(yīng)力并不不按直線(xiàn)線(xiàn)分布，，而是按按曲線(xiàn)變變化的。。qq例如：材料力學(xué)學(xué):研究直梁梁在橫向向載荷作作用下的的平面彎彎曲，引引用了平平面假設(shè)設(shè)，結(jié)果果：橫截截面上的的正應(yīng)力力按直線(xiàn)線(xiàn)分布。。這時(shí)，材材料力學(xué)學(xué)中給出出的最大大正應(yīng)力力將具有有很大的的誤差。。結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)：研究桿系系結(jié)構(gòu)，，彈性力力學(xué)通常常并不研研究桿件件系統(tǒng)，，但在20世紀(jì)50年代中葉葉發(fā)展起起來(lái)的有有限單元元法中(基于彈性性力學(xué)的的理論)，把連續(xù)續(xù)體劃分分成有限限大小的的單元構(gòu)構(gòu)件，然然后用結(jié)結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)里的位位移法、、力法或或混合法法求解，，更加顯顯示了彈彈性力學(xué)學(xué)與結(jié)構(gòu)構(gòu)力學(xué)結(jié)結(jié)合綜和和應(yīng)用的的良好效效果。彈性力學(xué)學(xué)在土木木、水利利、機(jī)械械、航空空等工程程學(xué)科中中占有重重要的地地位。許許多非桿桿件形狀狀的結(jié)構(gòu)構(gòu)必須用用彈性力力學(xué)方法法進(jìn)行分分析。例例如，大大壩，橋橋梁等。。xzyo§1.2彈性力學(xué)中中的幾個(gè)基基本概念彈性力學(xué)的的基本概念念:外力、應(yīng)力力、形變和和位移1.外力：體積力和表表面力，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)體力和面力體力：分布在物物體體積內(nèi)內(nèi)的力，例例如重力和和慣性力。。VPfFfxfyfzf:極限矢量,即物體在P點(diǎn)所受體力力的集度。。方向就是是F的極限方向向。fx,fy,fz：體力分量量,沿坐標(biāo)正方方向?yàn)檎?，，沿坐?biāo)負(fù)負(fù)方向?yàn)樨?fù)負(fù)。量綱：N/m3=kg?m/s2?m3=kg/m2?s2即：L-2MT-2fx,fy,fz：體力分量。xzyofSP面力：分布在物物體表面的的力，例如如流體壓力力和接觸力力。Ffyfzfx量綱：N/m2=kg?m/s2?m2=kg/m?s2即：L-1MT-2f:

極限矢量,即物體在P點(diǎn)所受面力的集度。方向就是F的極限方向。沿坐標(biāo)正方方向?yàn)檎?，，沿坐?biāo)負(fù)負(fù)方向?yàn)樨?fù)負(fù)。符號(hào)規(guī)定:內(nèi)力：發(fā)生在物體體內(nèi)部的力力，即物體本身身不同部分分之間相互互作用的力力。xzyoPAτpFⅠⅡ2.應(yīng)力：?jiǎn)挝唤孛婷婷娣e的內(nèi)力力.p:極限矢量,即物體在截截面mn上的、在P點(diǎn)的應(yīng)力。。方向就是是F的極限方向向。量綱：N/m2=kg?m/s2?m2=kg/m?s2即：L-1MT-2應(yīng)力分量：：，ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzOPA=x,PB=y,PC=zx,y,z,xy,xz,yx,yz,zx,zy,正面：截面上的外外法線(xiàn)沿坐坐標(biāo)軸的正正方向正面上的應(yīng)應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸軸的正方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸軸的負(fù)方向?yàn)樨?fù)負(fù)。負(fù)面：截面上的外外法線(xiàn)沿坐坐標(biāo)軸的負(fù)負(fù)方向負(fù)面上的應(yīng)應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸軸的負(fù)方向?yàn)檎?，沿坐?biāo)軸軸的正方向?yàn)樨?fù)負(fù)。正應(yīng)力符號(hào)號(hào)規(guī)定與材材力同，切切應(yīng)力與材材力不相同同。符號(hào)規(guī)定:（不考慮位位置,把應(yīng)力當(dāng)作作均勻應(yīng)力力）ABCzyzxzyzyxyxyxzxbyyzyxzyzzxxyxzxaPyxzo連接前后兩兩面中心的的直線(xiàn)ab作為矩軸，，列出力矩矩平衡方程程，得得:同理可得:切應(yīng)力互等等定理：作用在兩個(gè)個(gè)互相垂直直的面上并并且垂直于于該兩面角角線(xiàn)的切應(yīng)應(yīng)力是互等等的(大小相等,正符號(hào)也相相同)。可以證明,已知x,y,z,yz,zx,xy,就可求得該該點(diǎn)任意截截面上的,.因此，此六六個(gè)應(yīng)力分分量可以完完全確定該該點(diǎn)的應(yīng)力力狀態(tài)。zyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzOABCABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzO用各部分的的長(zhǎng)度和角角度來(lái)表示示。PA=x,PB=y,PC=z線(xiàn)應(yīng)變：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的的伸縮或相相對(duì)伸縮,亦稱(chēng)正應(yīng)變變.用表示切應(yīng)變：各線(xiàn)段之之間的直角角的改變.用表示3.形變：就是形狀的的改變。ABCzyzxzyzyxyxyxzxyyzyxzyzzxxyxzxPyxzOx:x方向的線(xiàn)段段PA的線(xiàn)應(yīng)變。。xy:y與x兩方向的線(xiàn)線(xiàn)段PB與PC之間的直角角的改變。。:伸長(zhǎng)為正，，縮短為負(fù)。。量綱：1符號(hào)規(guī)定::直角變小為為正，變大為負(fù)負(fù)。可以證明,已知x,y,z,yz,zx,xy,就可求得經(jīng)經(jīng)過(guò)該點(diǎn)任任一線(xiàn)段上上的線(xiàn)應(yīng)變變.也可以求得得經(jīng)過(guò)該點(diǎn)點(diǎn)任意兩個(gè)個(gè)線(xiàn)段之間間的角度的的改變。因因此，此六六個(gè)形變分分量可以完完全確定該該點(diǎn)的形變變狀態(tài)。4.位移：就是位置的的移動(dòng)。任意一點(diǎn)的的位移用它它在x,y,z三軸上的投投影u,v,w來(lái)表示.量綱：L符號(hào)規(guī)定:沿坐標(biāo)軸正正方向?yàn)檎?沿坐標(biāo)軸負(fù)負(fù)方向?yàn)樨?fù)負(fù)，一般而論，，彈性體內(nèi)內(nèi)任意一點(diǎn)點(diǎn)的體力分分量、面力力分量、應(yīng)應(yīng)力分量、、形變分量量和位移分分量都隨該該點(diǎn)的位置置而變，因因而都是位位置坐標(biāo)的的函數(shù)?！?.3彈性力學(xué)中中的基本假假設(shè)在彈性力學(xué)學(xué)的問(wèn)題里里,通常是已知物體的邊界(形狀和大小小),物體的彈性常數(shù),物體所受的的體力,物體邊界上上的約束情況或或面力,而應(yīng)力分量、形變分量和和位移分量量則是需要求解的的未知量.一.研究方法1.考慮靜力學(xué)學(xué)、幾何學(xué)學(xué)和物理學(xué)學(xué)三方面條條件，分別別建立三套方方程。建立微分方方程：根據(jù)微分體體的平衡條條件；建立幾何方方程：根據(jù)微分線(xiàn)線(xiàn)段上形變變與位移之之間的幾何關(guān)系；；建立物理方方程：根據(jù)應(yīng)力與與形變之間間的物理關(guān)關(guān)系。2.在彈性體的的邊界上，，建立邊界條件。應(yīng)力邊界條條件：在給定面力力的邊界上上，根據(jù)邊邊界上的微分體的的平衡條件件；位移邊界條條件：在給定的約約束邊界上上，根據(jù)邊邊界上的約束條件件。求解彈性力力學(xué)問(wèn)題，，即在邊界界條件下根根據(jù)平衡微微分方程、、幾何方程程、物理方方程求解應(yīng)應(yīng)力分量、、形變分量量和位移分分量。為使問(wèn)題求求解成為可可能，通常常必須按照照所研究的的物體性質(zhì)質(zhì)，以及求求解問(wèn)題的的范圍，略略去一些影影響很小的的次要因素素，作出若若干基本假假定。二.彈性力學(xué)的的基本假定定(3)均勻性—假定物體是是均勻的.(1)連續(xù)性—假定物體是是連續(xù)的.(4)各向同性—假定物體是是各向同性性的.符合以上四四個(gè)假定的的物體，就就成為理想想彈性體.(2)完全彈性—假定物體是是完全彈性性的.形變與引起起變的應(yīng)力成成正比,即兩者成線(xiàn)線(xiàn)性關(guān)系.(5)小變形假定定—假定位移和和形變是微微小的.它包含兩個(gè)個(gè)含義：ⅰ假定應(yīng)變分分量<<1.例如：普通通梁中的正正應(yīng)變<<10-3<<1,切應(yīng)變<<1;ⅱ假定物體的的位移<<物體尺寸.例如：梁中中撓度<<梁的高度這樣，在建建立平衡微微分方程時(shí)時(shí)，可以用用變形前的的尺寸代替替變形后的的尺寸，從從而使方程程大為簡(jiǎn)化化；在建立幾何何方程時(shí)，，由于<<1，可以在同一一方程中只只保留形變變成分的一一次冪，而而略去二次次冪及更高高次冪，從從而使幾何何方程成為為線(xiàn)性方程程。例如：對(duì)于于微小轉(zhuǎn)角角a，對(duì)于微小正正應(yīng)變e，這樣，彈性性力學(xué)里的的幾何方程程和微分方方程都簡(jiǎn)化化為線(xiàn)性方方程，彈性性力學(xué)問(wèn)題題都化為線(xiàn)線(xiàn)性問(wèn)題，，從而可以以應(yīng)用疊加加原理。第二章平平面問(wèn)問(wèn)題的基本本理論§2.1平面應(yīng)力問(wèn)問(wèn)題與平面面應(yīng)變問(wèn)題題§2.2平衡微分方方程§2.3平面問(wèn)題中中一點(diǎn)的應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)§2.4幾何方程剛剛體體位移§2.5物理方程§2.6邊界條件§2.7圣維南原理理§2.8按位移求解解平面問(wèn)題題§2.9按應(yīng)力求解解平面問(wèn)題題相相容容方程§2.10常體力情況況下的簡(jiǎn)化化應(yīng)應(yīng)力函函數(shù)§2.1平面應(yīng)力問(wèn)問(wèn)題與平面面應(yīng)變問(wèn)題題如果彈性體體具有某種種特殊的形形狀，并且且承受的是是某些特殊殊的外力和和約束，就就可以把空空間問(wèn)題簡(jiǎn)簡(jiǎn)化為近似似的平面問(wèn)問(wèn)題。一.第一種平面面問(wèn)題—平面應(yīng)力問(wèn)問(wèn)題xyozyd/2d/2這類(lèi)問(wèn)題的條件是：彈性體是等厚度(d)的薄板，體力、面力和約束都只有xy平面的量(fx,fy,fx,fy,u,v),都不沿z向變化；并且面力和約束只作用于板邊，在板面()上沒(méi)有任何面力和約束的作用。因板很薄，，外力不沿沿厚度變化化，應(yīng)力沿沿板厚連續(xù)續(xù)，有由切應(yīng)力互互等定理：：只剩下平行行于xy面的三個(gè)平面應(yīng)應(yīng)力分量，，即x,y,xy=yx所以這種問(wèn)問(wèn)題稱(chēng)為平面應(yīng)力問(wèn)問(wèn)題。xyozyd/2d/21.設(shè)薄板的厚厚度為d,xy為中面,z軸垂直于xy面.因?yàn)榘迕嫔仙喜皇芰?，所所?.由于物體形形狀和外力力、約束沿沿z向均不變化化,故x,y,xy只是x,y的函數(shù)數(shù),ex,ey,gxy也只是是x,y的函數(shù)數(shù),但位移移與z有關(guān)。。二.第二種種平面面問(wèn)題題—平面應(yīng)應(yīng)變問(wèn)問(wèn)題oyx這類(lèi)問(wèn)題的條件是：彈性體為常截面的很長(zhǎng)的柱體，體力、面力和約束條件與平面應(yīng)力問(wèn)題相似，只有xy平面的體力fx,fy；面力fx,fy和約束u,v的作用，且都不沿z向變化?！?.2平衡微微分方方程在彈性性力學(xué)學(xué)中分分析問(wèn)問(wèn)題，，要考考慮靜靜力學(xué)學(xué)、幾幾何學(xué)學(xué)和物物理學(xué)學(xué)三方方面條條件，，分別別建立立三套套方程程。首先考考慮平平面問(wèn)問(wèn)題的的靜力力學(xué)方方面，，建立立微分分體的的平衡微微分體體方程程—應(yīng)力分分量與與體力力分量量之間間的關(guān)關(guān)系式式。zyd/2d/2oyxxyo從圖示示薄板板或柱柱形體體中，，取出出一個(gè)個(gè)微小小的正正六面面體，，邊長(zhǎng)長(zhǎng)為dx,dy,在z方向的的尺寸寸取為為1個(gè)單位位尺寸寸。xyodxdy一般而而論,應(yīng)力分分量是是位置置坐標(biāo)標(biāo)x和y的函數(shù)數(shù),因此,作用于于左右右兩對(duì)對(duì)面或或上下下兩對(duì)對(duì)面的的應(yīng)力力分量量不完完全相相同,有微小小的差差。oxyx略去二二階及及二階階以上上的微微量后后得：：例：設(shè)設(shè)作用用于左左面的的正應(yīng)應(yīng)力為為x，則右右面的的正應(yīng)應(yīng)力由由于x坐標(biāo)的的改變變而改改變，，可由泰勒展開(kāi)開(kāi)得：：若x為常量,則,左右兩面都是x,即為均勻應(yīng)力。泰勒展開(kāi)開(kāi)式oxyx同理，，設(shè)左左面的的切應(yīng)應(yīng)力為為xy，則右面的的切應(yīng)應(yīng)力為為xyyyxCfxfy設(shè)上面面的正正應(yīng)力力及切切應(yīng)力力為x,xy，則下下面的的正應(yīng)應(yīng)力其其切應(yīng)應(yīng)力為為因六面面體是是微小小的,所以,各面的的應(yīng)力力可認(rèn)認(rèn)為是是均勻勻分布布,作用在在對(duì)應(yīng)應(yīng)面中中心.所受體體力也也可認(rèn)認(rèn)為是是均勻勻分布布,作用在在對(duì)應(yīng)應(yīng)面中中心。。oCxyyyxxyxfxfy首先，，以過(guò)過(guò)中心心C并平行行于z軸，列列出將上式式除以以dxdy,得令dx,dy趨近于于零，，得這正是是切應(yīng)應(yīng)力互互等定定理。。oCxyyyxxyxfxfy其次，，以x軸為投投影軸軸，列列出將上式式除以以dxdy,得同樣，，以y軸為投投影軸軸，列列出可可得得一個(gè)個(gè)相似似的微微分方方程于是得得出應(yīng)力分分量與與體力力分量量之間間的關(guān)關(guān)系式式—平面問(wèn)問(wèn)題中中的平平衡微微分方方程。這2個(gè)微分分方程程中包包含3個(gè)未知知函數(shù)數(shù)x,y,xy=yx,因此，，決定定應(yīng)力力分量量的問(wèn)問(wèn)題是是超靜靜定問(wèn)問(wèn)題，，必須須考慮慮幾何何方程程和物物理學(xué)學(xué)方面面的條條件，，才能能解決決問(wèn)題題。對(duì)于平平面應(yīng)應(yīng)變問(wèn)問(wèn)題,微分體體一般般還有有作用用于前前后兩兩面的的正應(yīng)應(yīng)力z,但不影影響上上述方方程的的建立立,上述方方程對(duì)對(duì)于兩兩種平平面問(wèn)問(wèn)題同同樣適適用。?！?.3平面問(wèn)問(wèn)題中中一點(diǎn)點(diǎn)的應(yīng)應(yīng)力狀狀態(tài)OxyyyxxyxPBAsnnOxyyyxxyxyyxxxyP應(yīng)力狀狀態(tài)就是指指一點(diǎn)點(diǎn)處所所有斜斜截面面上的的應(yīng)力力的集集合。。假定已已知任任意點(diǎn)點(diǎn)P處坐標(biāo)標(biāo)面的的應(yīng)力力分量量x,y,xy=yx,求經(jīng)過(guò)過(guò)該點(diǎn)點(diǎn)且平平行于于z軸的任任意斜斜截面面上的的應(yīng)力力。pypxpOxyyyxxyxnPBA用n代表斜斜截面面AB的外法法線(xiàn)方方向，，其方方向余余弦為為設(shè)AB=ds,則PA=lds,PB=mds,SPAB=ldsmds/2設(shè)垂直直于平平面的的尺寸寸為1。由得其中fx為x方向得得體力力分量量。將上式式除以以ds,然后命命ds趨于0（AB→0）得同理由得一.求任意意斜截截面上上的正正應(yīng)力力n和切切應(yīng)力力nsnnpypxpOxyyyxxyxnPBA令斜截截面得得正應(yīng)應(yīng)力為為n,切應(yīng)力力為n.由px,py投影得得可見(jiàn)，，已知知點(diǎn)P處的應(yīng)應(yīng)力分分量x,y,xy=yx,就可求求得經(jīng)經(jīng)過(guò)該該點(diǎn)的的任意意斜截截面上上的正正應(yīng)力力n和切切應(yīng)力力n。OxyyyxxyxyyxxxyP1212a1snnOxyyyxxyxPBA二.求主應(yīng)應(yīng)力及及主應(yīng)應(yīng)力的的方位位—應(yīng)力主主向應(yīng)力主主面上上=0，=p投影得得代入得pypxp由上兩兩式分分別解解出m/l,得于是，，有解得OxyyyxxyxyyxxxyP1212a1易得下面求求主應(yīng)應(yīng)力方方向即得即得設(shè)1與x軸的夾夾角為為1設(shè)2與x軸的夾夾角為為2OxyyyxxyxyyxxxyP1212a1由得于是有有就是說(shuō)說(shuō)，1,2的方向向互相相垂直直。從材料料力學(xué)學(xué)知識(shí)識(shí)我們們知道道與應(yīng)力力主向向成450的斜面面上。?！?.4幾何方方程剛剛體位位移xyOPBAuP'A'B'同理PB的線(xiàn)應(yīng)應(yīng)變：：PA的線(xiàn)應(yīng)應(yīng)變：：一.幾何方方程：：任一點(diǎn)點(diǎn)的微微分線(xiàn)線(xiàn)段上上的形形變分分量與與位移分分量量之間間的關(guān)關(guān)系式式。v設(shè)同理PB的轉(zhuǎn)角角：PA與PB之間的的轉(zhuǎn)角角：xyOPBAuP'A'B'vPA的轉(zhuǎn)角角：幾何方方程：：上列幾幾何方方程對(duì)對(duì)兩種種平面面問(wèn)題題同樣樣適用用。二.形變與與位移移之間間的關(guān)關(guān)系1.如果物物體的的位移移確定定，則則形變變完全全確定定。從物理理概念念:當(dāng)物理理變形形后各各點(diǎn)的的位置置完全全確定定,任一微微分線(xiàn)線(xiàn)段上上的形形變（（伸縮縮、轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角等等）也也就完完全確確定了了.從數(shù)學(xué)學(xué)概念念:當(dāng)位移移函數(shù)數(shù)確定定時(shí)，，其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)也也就確確定了了。2.當(dāng)物體體的形形變分分量確確定時(shí)時(shí)，位位移分分量不不完全全確定定。從物理理概念念:在物體體內(nèi)形形變不不變的的條件件下,物體還還可以以做剛剛體運(yùn)運(yùn)動(dòng)—平動(dòng)和和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng),即還有有剛體體運(yùn)動(dòng)動(dòng)的人人任意意性.從數(shù)學(xué)學(xué)概念念:由形變變分量量求位位移分分量是是一個(gè)個(gè)積分分的過(guò)過(guò)程，，在常常微分分中，，會(huì)出出現(xiàn)一一個(gè)任任意常常數(shù)；；而在在偏微微分中中，要要出現(xiàn)現(xiàn)一個(gè)個(gè)與積積分變變量無(wú)無(wú)關(guān)的的任意意函數(shù)數(shù)。這這些任任意函函數(shù)是是未定定項(xiàng)，，這些些未未定定項(xiàng)項(xiàng)正正是是剛剛體體平平移移和和剛剛體體轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)量量。。若假假設(shè)設(shè)求求出出相相應(yīng)應(yīng)的的位位移移分分量量。。代入入幾幾何何方方程程：：將前前二二式式對(duì)對(duì)x及y積分分，，得得F1及f2為任任意意函函數(shù)數(shù)。。代代入入幾幾何何方方程程中中的的第第三三式式，，得得方程程左左邊邊是是y的函數(shù)，，只隨y而變；而右邊是是x的函數(shù)，，只隨x而變。因此，只只可能兩兩邊都等等于同一一常數(shù)。于是得積分得其中u0及v0為任意常常數(shù)。代入得這就是“形變?yōu)闉榱恪睍r(shí)的位移移，也就就是所謂謂“與形形變無(wú)關(guān)關(guān)的位移移”，因此必必然是剛體位移移。下面根據(jù)據(jù)平面運(yùn)運(yùn)動(dòng)的原原理加以以證明。。u0及v0分別為物物體沿x軸及y軸方向的的剛體位位移，而而為物體繞繞z軸得剛體體轉(zhuǎn)動(dòng)。。PxyxyOzyx當(dāng)只有u0不為零時(shí)，物體內(nèi)任一點(diǎn)位移分量.物體的所有各點(diǎn)只沿x方向移動(dòng)同樣距離u0，所以u(píng)0代表物體沿x方向的剛體位移。坐標(biāo)為(x,y)的任一點(diǎn)點(diǎn)P沿y方向移動(dòng)動(dòng)x,沿x負(fù)方向移移動(dòng)y,合成位移移為同樣,v0代表物體體沿y方向的剛剛體位移移。當(dāng)只有不為零時(shí)時(shí),物體內(nèi)任任一點(diǎn)位位移分量量PxyxyOzyx可見(jiàn),合成位移移的方向向與徑向向線(xiàn)段OP垂直,也就是沿沿著切向向.因OP線(xiàn)上所有有點(diǎn)移動(dòng)動(dòng)方向都都沿著切切線(xiàn),且移動(dòng)的的距離為為,可見(jiàn)代表物體體繞z軸的剛體體轉(zhuǎn)動(dòng)。。既然物體體在形變變?yōu)榱銜r(shí)時(shí)可以有有剛體位位移，那那么，當(dāng)當(dāng)物體發(fā)發(fā)生一定定形變時(shí)時(shí)，由于于約束條條件不同同，可能能有不同同的剛體體位移，，為了完完全確定定位移，，就必須須有適當(dāng)當(dāng)?shù)膭傮w體約束條條件?！?.5物理方程程物理方程程:應(yīng)力分量量和形變變分量之之間的物物理關(guān)系系式.在理想彈彈性體（（滿(mǎn)足連連續(xù)性，，完全彈彈性，均均勻性和和各向同同性）中中，物理理方程就就是材料料力學(xué)中中學(xué)過(guò)的的胡克定定律：物理方程程有兩種形式式：1.=f()此式是用用應(yīng)力表表示應(yīng)變變，其中中應(yīng)力取取為基本本未知數(shù)數(shù)，用于于按應(yīng)力求求解。2.=f()此式是用用應(yīng)變表表示應(yīng)力力，其中中應(yīng)變?nèi)∪榛颈疚粗獢?shù)數(shù)，用于于按位移求求解。胡克定律律的一般般形式：：E是彈性模模量，G是切變模模量，又又稱(chēng)剛度度模量，，稱(chēng)為泊松松系數(shù)，，或泊松松比。一.平面應(yīng)力力問(wèn)題的的物理方方程將代代入入上式得得獨(dú)立的的物理方方程另外：因z可由x,y求出,故不作為為獨(dú)立的的未知函函數(shù)。二.平面應(yīng)變變問(wèn)題的的物理方方程將代代入入上式得得獨(dú)立的的物理方方程另外：因z可由x,y求出,故不作為為獨(dú)立的的未知函函數(shù)。與平面應(yīng)應(yīng)力問(wèn)題題的物理理方程對(duì)對(duì)比，只只需將E換為，換為對(duì)于兩類(lèi)類(lèi)平面問(wèn)問(wèn)題，三三套方程程除了物物理方程程中的系系數(shù)須變變換外,其他平衡衡方程和和幾何方方程是完完全相同同的.三套方程程中包含含8個(gè)未知函函數(shù)：x,y,xy=yx,x,y,xy及u,v.還需考慮慮邊界條條件,才能求出出這些未未知函數(shù)數(shù).§2.6邊界條件件邊界條件件表示在邊邊界上位位移與約約束，或或應(yīng)力與與面力之之間的關(guān)關(guān)系式。。它分為為位移邊界界條件、應(yīng)力邊界界條件和混合邊界界條件。一.位移邊界界條件設(shè)在部分邊界上給定了約束位移分量u(s)和v(s),則對(duì)于邊界上的每一點(diǎn)，位移函數(shù)u,v應(yīng)滿(mǎn)足條件（在su上）其中(u)s和(v)s是位移的邊界值，u(s)和v(s)在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)。位移邊界界條件注意1.上式要求求在s上任一點(diǎn)點(diǎn)位移分分量必須須等于對(duì)對(duì)應(yīng)的約約束位移移分量。（在su上）2.上式是函數(shù)方程程，而不是是簡(jiǎn)單的的代數(shù)方方程或數(shù)數(shù)值方程程。位移邊界界條件實(shí)實(shí)質(zhì)上是是變形連連續(xù)條件件在約束束邊界上上的表達(dá)達(dá)式。設(shè)n為斜截面面的外法法線(xiàn)方向向，其方方向余弦弦二.應(yīng)力邊界界條件設(shè)在s部分邊界上給定了面力分量fx(s)和fy(s),則可以由邊界上任一點(diǎn)微分體的平衡條件，導(dǎo)出應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。在邊界上上任一點(diǎn)點(diǎn)P取出一個(gè)個(gè)微分體體,斜面AB就是邊界界面,x,y,xy為應(yīng)力分分量邊界界值。oxyyyxxyxPBAfxfy邊界為斜斜截面時(shí)時(shí)n設(shè)AB=ds，z方向厚度度為1由平衡條條件，得得出微分分體的應(yīng)應(yīng)力分量量與邊界界面上的的面力之之間的關(guān)關(guān)系：（在s上）其中在邊界上是坐標(biāo)的已知函數(shù)，l,m

是邊界面外法線(xiàn)的方向余弦。fx(s)和fy(s),oxyyyxxyxPBAfxfyn除以ds，并令ds→0，得同理：于是，得得到應(yīng)力邊界條條件3.在導(dǎo)出應(yīng)應(yīng)力邊界界條件時(shí)時(shí),只考慮到到面力(一階微量量),不需考慮慮二階微微量—體力。4.應(yīng)力邊界界條件是是邊界點(diǎn)點(diǎn)上微分分體的平平衡條件件，也屬屬于靜力力邊界條條件。（在s上）注意1.應(yīng)力邊界界條件表表示邊界界s上任一點(diǎn)點(diǎn)的應(yīng)力力和面力力之間的的關(guān)系。。也是函函數(shù)方程程，在s上每一點(diǎn)點(diǎn)都應(yīng)滿(mǎn)滿(mǎn)足。2.上式中的的面力、、應(yīng)力都都有不同同的正負(fù)負(fù)符號(hào)規(guī)規(guī)定，且且分別作作用于通通過(guò)邊界界點(diǎn)的不不同面上上。2.邊界為坐標(biāo)面面時(shí)若x=a為正x面，則有若x=b為負(fù)x面，則有oxyyyxxyxPBAfxfyaoxyyyxxyxPBAfxfyb正負(fù)x面上的面力分分量一般為隨隨y而變化的函數(shù)數(shù)。l=－1,m=0l=1,m=0（在s上）3.應(yīng)力邊界條件件的兩種表達(dá)達(dá)方式(1)在邊界點(diǎn)取出出一個(gè)微分體體，考慮其平平衡條件，得得出（在s上）(2)在同一邊界面面上，應(yīng)力分分量的邊界值值就等于對(duì)應(yīng)應(yīng)的面力分量量。應(yīng)力分量的絕絕對(duì)值等于對(duì)對(duì)應(yīng)的面力分分量的絕對(duì)值值，面力分量量的方向就是是應(yīng)力分量的的方向。即數(shù)值相同，，方向一致。例如：若邊界界面y=c,d分別為正、負(fù)負(fù)坐標(biāo)面在斜截面上：：px,py為斜截面應(yīng)力力oxyyyxxyxPfxfydyyxfyoxyyxxyxPfxcyxyyoxyyyxxyxPfxfypxpy三.混合邊界條件件物體的一部分分邊界具有已已知位移，因因而具有位移移邊界條件，，如（在su上）另一部分邊界界則具有已知知面力，因而而具有應(yīng)力邊邊界條件（在s上）在同一邊界上上還可能出現(xiàn)現(xiàn)混合邊界條條件,即兩個(gè)邊界條條件中一個(gè)是是位移邊界條條件,另一個(gè)則是應(yīng)應(yīng)力邊界條件件.oxyx方向y方向x方向y方向oxy§2.7圣維南原理及及其應(yīng)用求解彈性力學(xué)學(xué)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)應(yīng)力分量、形形變分量和位位移分量必須須滿(mǎn)足三套方方程，還必須須滿(mǎn)足邊界條條件，但要使使邊界條件得得到完全滿(mǎn)足足很困難。圣維南原理為為簡(jiǎn)化局部邊邊界的應(yīng)力邊邊界條件提供供了有效的方方法。圣維南原理：：如果把物體的的一小部分邊界上的面力,變換為分布不不同但靜力等效的面力(主矢量相同，，對(duì)于同一點(diǎn)點(diǎn)的主矩也相相同),那么,近處的應(yīng)力分分布將有明顯顯的改變,但是遠(yuǎn)處所受受的影響可以以不計(jì)。1.圣維南原理只只能應(yīng)用于一小部分邊界界上，又稱(chēng)為局部邊界，小邊界或次要邊界。一.圣維南原理應(yīng)應(yīng)用的條件所謂“近處”,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),一般地講大約約是變換面力力的邊界的1~2倍范圍內(nèi),此范圍之外可可認(rèn)為是“遠(yuǎn)遠(yuǎn)處”。如果將面力的的等效變換范范圍應(yīng)用到大邊界(又稱(chēng)為主要邊界)上,則必然使整個(gè)個(gè)的應(yīng)力狀態(tài)態(tài)都改變了。。因此,不適用圣維南南原理。FF/2F/2FFFq2.小邊界的面力力變換為靜力等效的面力.3.經(jīng)變換后，只只對(duì)近處的應(yīng)應(yīng)力分布有明明顯的影響，，但遠(yuǎn)處的應(yīng)應(yīng)力幾乎不受受影響。FF/2F/2FFFF/2F/2F/2F/2F/2F/2(a)(b)(c)例如：如將一端或兩兩端的F變換為靜力等效的力,如圖(b),(c),(d).則只有虛線(xiàn)劃劃出的部分應(yīng)應(yīng)力分布有顯顯著改變,其余部分所受受影響可不計(jì)計(jì)。(d)F/AF/A圖(d)所示情況，由由于面力連續(xù)續(xù)均勻分布，，邊界條件簡(jiǎn)簡(jiǎn)單，應(yīng)力很很容易求解并并且解答很簡(jiǎn)簡(jiǎn)單。而其他他三種情況，，由于面力不不連續(xù)分布，，甚至不知其其分布方式，，應(yīng)力難以求求解。根據(jù)圣圣維南原理，，可將(d)的應(yīng)力解答應(yīng)應(yīng)用于其他三三種情況。應(yīng)用圣維南原原理的條件是是滿(mǎn)足靜力等效。即使物體一一小部分邊界界上的位移邊界條件件不能滿(mǎn)足時(shí)時(shí)，仍可以應(yīng)應(yīng)用圣維南原原理。F/AF/AF(e)(d)圖(e)右端是固定端，有位移邊界條件(u)s

=u=0和(v)s

=v=0,把(d)的解答應(yīng)用于這一情況時(shí)，位移邊界條件不能滿(mǎn)足,但右端的面力靜力等效于過(guò)形心的力F(與左邊的力F平衡),滿(mǎn)足圣維南原理的條件,(d)的解答仍可應(yīng)用于這一情況時(shí),只是在靠近兩端處有顯著的誤差,而在較遠(yuǎn)處誤差可不計(jì)。如果物體一小小部分邊界上上的面力是一一個(gè)平衡力系（主矢量和主主矩都等于零零），那么，，這個(gè)面力就就只會(huì)使近處處產(chǎn)生顯著的的應(yīng)力，而遠(yuǎn)遠(yuǎn)處的應(yīng)力可可以不計(jì)。這是因?yàn)橹魇甘噶亢椭骶囟级嫉扔诹愕拿婷媪?，與無(wú)面面力狀態(tài)是等等效的，只在在近處產(chǎn)生顯顯著的應(yīng)力。。例如：FFFF4.圣維南原理還還可以推廣到到下列情形xyh/2h/2llO在應(yīng)力邊界條條件上應(yīng)用圣圣維南原理,就是在邊界上,將精確的應(yīng)力力邊界條件代代之以主矢相相同,對(duì)同一點(diǎn)的主主矩也相同的的靜力等效條條件。二.在局部邊界上上應(yīng)用圣維南南原理例如，厚度d=1的梁，h<<l,即左右端是小小邊界.嚴(yán)格的邊界條條件要求xxyfxfyxyydyxfxfy此式要求在邊邊界x=±l上的每一點(diǎn)（（每一y值），應(yīng)力分分量與對(duì)應(yīng)的的面力分量必必須處處相等等。嚴(yán)格的邊界條條件要求xyh/2h/2llOxxyfxfyxyydyxfxfy這種嚴(yán)格的邊邊界條件是很很難滿(mǎn)足的。。但h<<l,即左右端是小小邊界，可以以應(yīng)用圣維南南原理，用靜靜力等效條件件代替上式：：在左右端小邊邊界上使應(yīng)力力的主矢量等等于面力的主主矢量，應(yīng)力力的對(duì)某點(diǎn)主主矩等于面力力對(duì)同一點(diǎn)的的主矩（數(shù)值值相同，方向向一致）。因面力是已知知的,所以面力的主主矢量和主矩矩可求,因此,應(yīng)力的主矢量量和主矩的絕絕對(duì)值應(yīng)分別別等于面力的的主矢量和主主矩的絕對(duì)值值,方向與面力的的主矢量和主主矩一致.表示為：xyh/2h/2llOxxyfxfyxyydyxfxfy如果在邊界上上直接給出了了面力的主矢矢量和主矩，，就可以代替替右邊各項(xiàng)。。FSFNM將與與相比，可以得得出：前式是精確的的，而后式是是近似的；前式有兩個(gè)條條件，一般是是函數(shù)方程；；而后式有三三個(gè)積分分條件，是代代數(shù)方程。在求解時(shí)，前前式難以滿(mǎn)足足，后式易滿(mǎn)滿(mǎn)足。在求解彈性力力學(xué)平面問(wèn)題題時(shí)，常在小小邊界上用近近似的三個(gè)積積分邊界條件件代替嚴(yán)格的的邊界條件，，使問(wèn)題的求求解大大簡(jiǎn)化化?！?.8按位移求解平平面問(wèn)題我們已經(jīng)建立立了彈性力學(xué)學(xué)平面問(wèn)題的的基本方程和和邊界條件求解彈性力學(xué)學(xué)的平面問(wèn)題題，即求解：：3個(gè)應(yīng)力分量x,y,xy=yx,3個(gè)應(yīng)變分量x,y,xy及2個(gè)位移分量u,v的未知函數(shù)，，這些函數(shù)在在區(qū)域內(nèi)必須須滿(mǎn)足基本方方程，在邊界界上必須滿(mǎn)足足邊界條件。。由于未知函數(shù)數(shù)及應(yīng)滿(mǎn)足的的方程數(shù)目較較多，問(wèn)題難難以求解。為為此，通常采采用類(lèi)似代數(shù)數(shù)方程中的消消元法進(jìn)行求求解。按應(yīng)力求解的方法，又稱(chēng)稱(chēng)為應(yīng)力法。它是以x,y,xy=yx為基本未知函函數(shù)，從方程程和邊界條件件中消去u,v和x,y,xy，導(dǎo)出只含x,y,xy=yx的方程和相應(yīng)應(yīng)的邊界條件件，并求解出出x,y,xy=yx，再求出x,y,xy和u,v。此法類(lèi)似于結(jié)結(jié)構(gòu)力學(xué)中的的力法。按位移求解的方法，又稱(chēng)稱(chēng)為位移法。它是以u(píng),v為基本未知函函數(shù)，從方程程和邊界條件件中消去x,y,xy=yx和x,y,xy，導(dǎo)出只含u,v的方程和相應(yīng)應(yīng)的邊界條件件，并求解出出u,v，再求出x,y,xy和x,y,xy=yx。此法類(lèi)似于結(jié)結(jié)構(gòu)力學(xué)中的的位移法。一.按位移求解解平面應(yīng)力力問(wèn)題的方方程和邊界界條件1.取u,v為基本未知知函數(shù)由幾何方程看出，x,y,xy就是用u,v表示的。從物理方程程求出x,y,xy=yx：2.用u,v表示x,y,xy3.用u,v表示x,y,xy=yx再將幾何方程代入，得到用u,v表示的x,y,xy=yx4.求解位移分分量的方程程將上式代入入平衡微分分方程，得得：：這是按位移移求解平面面問(wèn)題的基基本微分方方程，也就就是用位移移表示的平平衡微分方方程。5.求解位移分分量的邊界界條件將代入化簡(jiǎn)，得在S上這是用位移移表示的應(yīng)應(yīng)力邊界條條件。這是是按位移求求解平面問(wèn)問(wèn)題時(shí)所用用的應(yīng)力邊邊界條件。。位移邊界條條件仍為在Su上總結(jié)起來(lái)，，按位移求解解平面應(yīng)力力問(wèn)題時(shí)，，要使得位位移分量在在區(qū)域內(nèi)滿(mǎn)滿(mǎn)足微分方方程并在邊界上上滿(mǎn)足位移移邊界條件件或應(yīng)力邊邊界條件。。在S上求出位移分量后，即可用求得形變分量。在Su上用求得應(yīng)力分量。二.按位移求解解平面應(yīng)變變問(wèn)題的方方程和邊界界條件平面應(yīng)變問(wèn)問(wèn)題與平面面應(yīng)力問(wèn)題題相比，除除物理方程程不同外，，其它方程程和邊界條條件都相同同。只要將上述各方程和邊界條件中的E換為，m

換為，就可以得出平面應(yīng)變問(wèn)題按位移求解的方程和邊界條件。如果已求得得平面應(yīng)力力問(wèn)題的解解答，只需需將E,m作同樣的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)換，就可可得出對(duì)應(yīng)應(yīng)的平面應(yīng)應(yīng)變問(wèn)題的的解答。在位移法中中，是求解位移移分量u和v的必須滿(mǎn)足足的條件，，，這些條條件也是校校核u和v是否正確的的條件，對(duì)對(duì)已求得的的解答，可可以利用這這些條件進(jìn)進(jìn)行校核。。三.位移法優(yōu)缺缺點(diǎn)1.優(yōu)點(diǎn)是能適適應(yīng)各種邊邊界條件問(wèn)問(wèn)題的求解解，它是彈彈性力學(xué)的的一種基本本解法，它它在是彈性性力學(xué)的各各種近似數(shù)數(shù)值解法有有著廣泛的的應(yīng)用。2.缺點(diǎn)是，從從較復(fù)雜的的方程在S上具體求解位位移函數(shù)時(shí)時(shí)，往往很很困難，已已得出的函函數(shù)解答很很少。四.例題hoxyrg上端固定，，下端自由由，受自重重體力fx=0,fy=rg，試用位移法法求解此問(wèn)問(wèn)題。解：為簡(jiǎn)化化，設(shè)u=0,v=v(y),泊松比m=0,代入第一式自然然滿(mǎn)足，第第二式成為為由此解出將代代入oxyrg上下邊的邊邊界條件分分別要求hoxyrg將代代入得B=0,得由此得再代入§2.9按應(yīng)力求解解平面問(wèn)題題相相容方程程按應(yīng)力求解平面問(wèn)題時(shí)，應(yīng)力分量x,

y,

xy取為基本未知函數(shù)，其它未知函數(shù)中x,y,

xy可以簡(jiǎn)單地用x,

y,

xy表示，即物理方程。要將位移分量u,v用應(yīng)力分量x,

y,

xy表示，需將物理方程代入幾何方程，然后通過(guò)積分運(yùn)算求出位移分量u,v.這種表達(dá)較為復(fù)雜,且其中包含了待定的積分項(xiàng).從而使用應(yīng)力分量x,

y,

xy表示十分復(fù)雜，且很難求解。所以，按應(yīng)應(yīng)力求解函函數(shù)解答時(shí)時(shí)，通常只只求解全部部為應(yīng)力邊邊界條件的的問(wèn)題。（（s=s,su=0)平衡微分方方程中應(yīng)力力分量有3個(gè)—x,y,xy，而方程只有有2個(gè)，因此需需從幾何方方程和物理理方程中消消去位移分分量，導(dǎo)出只含應(yīng)應(yīng)力分量的的補(bǔ)充方程程。一.推導(dǎo)按應(yīng)力力求解平面面問(wèn)題的方方程1.取x,y,xy為基本未知知函數(shù)2.導(dǎo)出求解應(yīng)應(yīng)力的基本本方程由于位移分分量只在幾幾何方程中中存在，先先從幾何方方程中消去去位移分量量。將ex對(duì)y的二階導(dǎo)數(shù)數(shù)和ey對(duì)x的二階導(dǎo)數(shù)數(shù)相加，得得等式右邊，于是，得這個(gè)關(guān)系式式稱(chēng)為形變協(xié)調(diào)方方程或相容方程。從相容方程程看出，連連續(xù)體的形形變分量x,y,xy不是相互獨(dú)獨(dú)立的，它它們必須滿(mǎn)滿(mǎn)足相容方方程，才能能保證位移移分量u,v的存在。從而得例如：取顯顯然不滿(mǎn)足足相容方程程的形變分分量由幾何方程程中的前兩兩式，得將gxy=Cxy代入幾何方方程的第三三式，得顯然，式(a)和式(b)不能相容，，互相矛盾盾。故函數(shù)x,y,xy不能任意選選取，必須須滿(mǎn)足相容容方程?，F(xiàn)在用物理理方程將相相容方程中中的形變分分量消去，，使相容方方程只包含含應(yīng)力分量量x,y,xy對(duì)于平面應(yīng)應(yīng)力問(wèn)題將代入，得利用平衡微微分方程消消去txy。將平衡微分分方程寫(xiě)成成將二式分別別對(duì)x及y求導(dǎo),然后相加,并注意txy=tyx,得代入得到用應(yīng)力表示示的平面應(yīng)應(yīng)力問(wèn)題的的相容方程程將用代替，得平面應(yīng)變問(wèn)題的相容方程現(xiàn)在，我們們得到了求解應(yīng)力的的基本方程程3.應(yīng)力邊界條條件（s=s,su=0)在s上其中假設(shè)只只求解全部部為應(yīng)力邊邊界條件的的問(wèn)題。二.按應(yīng)力求解解平面問(wèn)題題時(shí)，應(yīng)力力分量x,y,xy必須滿(mǎn)足的的條件1.在區(qū)域A內(nèi)的平衡方方程2.在區(qū)域A內(nèi)的相容方方程3.在邊界上的的應(yīng)力邊界界條件其中假設(shè)只只求解全部部為應(yīng)力邊邊界條件的的問(wèn)題。在s上4.對(duì)于多連體體，還需考考慮位移的的單值條件件（只有一一個(gè)連續(xù)邊邊界的物體體—單連體）。。此四條件,是求解應(yīng)力力、校核核應(yīng)力是否否正確的全全部條件。。對(duì)已有的的解答，可可以用這些些條件進(jìn)行行校核。§2.10常體力情況況下的簡(jiǎn)化化應(yīng)力函數(shù)很多工程問(wèn)問(wèn)題中，體體力是常量量，即體力力分量fx和fy不隨坐標(biāo)x和y而變。例如如，重力、、常加速度度下平動(dòng)的的慣性力，，都是常量量的體力。。常體力下，，平面應(yīng)力力問(wèn)題和平平面應(yīng)變問(wèn)問(wèn)題的相容容方程的右右邊都為零零拉普拉斯算子常體力情況下，sx+sy應(yīng)滿(mǎn)足拉普拉斯方程，即調(diào)和方程。sx+sy應(yīng)當(dāng)是調(diào)和函數(shù)。一.常體力情況況下方程的的簡(jiǎn)化注意，體力為常量量時(shí)，三方程都都不含彈性性常數(shù)，因因而得出的的應(yīng)力分量量必然與彈彈性常數(shù)無(wú)無(wú)關(guān)。由此此得出：在s上1.對(duì)于不同材材料，x,y,xy的理論解答答相同；用試驗(yàn)方方法求應(yīng)力力時(shí)，可用用不同的模模型材料代代替。2.對(duì)兩種平面面問(wèn)題，應(yīng)力分量量x,y,xy的解答相同同，即理論解解可互相通通用；用模模型試驗(yàn)時(shí)時(shí)，可用平平面應(yīng)力問(wèn)問(wèn)題的模型型代替平面面應(yīng)變問(wèn)題題的模型，，使模型的的制作和加加載大大簡(jiǎn)簡(jiǎn)化?？梢?jiàn)，在體體力為常量量情況下，，按應(yīng)力求求解應(yīng)力邊邊界問(wèn)題時(shí)時(shí)，應(yīng)力分分量應(yīng)滿(mǎn)足足在s上1.先考察平衡衡微分方程程二.應(yīng)力函數(shù)特解可以取取為也可取為這是一非齊齊次微分方方程組，它它的解答是是，任一特特解和齊次次微分方程程的通解之之和。對(duì)應(yīng)的齊次次微分方程程為現(xiàn)求其通解解，根據(jù)偏偏微分方程程理論，知知若設(shè)函數(shù)f=f(x,y),則有假如函數(shù)C和D滿(mǎn)足那么，一定定存在某一一函數(shù)f,使得將齊次微分分方程改為為根據(jù)上述微微分方程的的理論，一一定存在某某一個(gè)函數(shù)數(shù)A，使得也一定存在在某一個(gè)函函數(shù)B，使得由此得即因而，有一一定存在某某一個(gè)函數(shù)數(shù)F(x,y)，使得將代代入入；；代代入入；；代入，，得得將此通解與與任一組特特解疊加，，即得平衡衡微分方程程的全解：：2.應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的條條件稱(chēng)為平面問(wèn)題的的應(yīng)力函數(shù)，又稱(chēng)艾里里應(yīng)力函數(shù)數(shù)。但它是是未知函數(shù)數(shù)。此解答不僅僅滿(mǎn)足了平平衡方程，，而且使平平面問(wèn)題的的求解大為為簡(jiǎn)化：從從求解3個(gè)應(yīng)力未知知函數(shù)，變變?yōu)榍蠼?個(gè)應(yīng)力函數(shù)數(shù)。(1)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足相容容方程上式所表示示的應(yīng)力分分量應(yīng)滿(mǎn)足足相容方程程將上式代入入相容方程程，得fx,fy為常量,于是上式簡(jiǎn)簡(jiǎn)化為將此式展開(kāi)開(kāi)成為這就是用應(yīng)力函數(shù)數(shù)表示的相相容方程。由此可見(jiàn)見(jiàn)，應(yīng)力函函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足足重調(diào)和方方程，也就就是它應(yīng)是是重調(diào)和函函數(shù)。此方方程程可可表表示示成成(2)應(yīng)力力函函數(shù)數(shù)應(yīng)滿(mǎn)滿(mǎn)足足應(yīng)應(yīng)力力邊邊界界條條件件（（假設(shè)設(shè)全全部部為為應(yīng)應(yīng)力力邊邊界界條條件件））在s上一般般仍仍用用此此式式表表示示。。綜上上所所述述，，在在常常體體力力情情況況下下，，按應(yīng)應(yīng)力力求求解解平平面面問(wèn)問(wèn)題題，，可可歸歸納納為為求求解解一一個(gè)個(gè)應(yīng)應(yīng)力力函函數(shù)數(shù)，它它必必須須滿(mǎn)滿(mǎn)足足1.在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)的的相相容容方方程程2.在邊邊界界上上的的應(yīng)應(yīng)力力邊邊界界條條件件(假設(shè)設(shè)全全部部為為應(yīng)應(yīng)力力邊邊界界條條件件)3.在多多連連體體中中，，還還須須滿(mǎn)滿(mǎn)足足位位移移單單值值條條件件。。在s上求出應(yīng)應(yīng)力函函數(shù)后后，便便可求求出應(yīng)應(yīng)力分分量，，然后后再求求應(yīng)變變分量量和位位移分分量。。例題例1：試列列出下下列問(wèn)問(wèn)題的的邊界界條件件。q1FFsMOxylh/2h/2(l>>h,=1)qF30oOxyb/2hgyb/2(h>>b,=1)(a)(b)解：對(duì)(a)問(wèn)題，，在主主要邊邊界y=±h/2，應(yīng)精精確滿(mǎn)滿(mǎn)足下下列邊邊界條條件q1FFsMOxylh/2h/2(l>>h,=1)(a)在小邊邊界(次要邊邊界)x=0,應(yīng)用圣圣維南南原理理,列出三三個(gè)積積分近近似邊邊界條條件,當(dāng)板厚厚=1時(shí),在小邊邊界x=l處，當(dāng)當(dāng)平衡衡微分分方程程和其其它各各邊界界都已已滿(mǎn)足足條件件下，，三個(gè)個(gè)積分分的邊邊界條條件必必然滿(mǎn)滿(mǎn)足，，可以以不必必校核核。qF30oOxyb/2hgyb/2(h>>b,=1)(b)對(duì)(b)問(wèn)題,在主要要邊界界y=0,b,應(yīng)精確確滿(mǎn)足足下列列邊界界條件件在小邊邊界y=0,列出三三個(gè)積積分近近似邊邊界條條件,當(dāng)板厚厚=1時(shí),注意，，在列列力矩矩條件件時(shí)，，兩邊邊均是是對(duì)原原點(diǎn)O的力矩矩來(lái)計(jì)計(jì)算的的。對(duì)對(duì)于y=h的小邊邊界條條件可可以不不必校校核。。FOxylh/2h/2(l>>h,=1)A例2：厚度度=1的懸臂臂梁，，在自自由端端受集集中力力F的作用用。已已求得得其位位移的的解答答是試檢查查此組組位移移是否否是該該問(wèn)題題的解解答。。解：此此組位位移若若為此此問(wèn)題題的解解答，，則應(yīng)應(yīng)滿(mǎn)足足下列列條件件1.在區(qū)域域內(nèi)，，滿(mǎn)足足用位位移表表示的的平衡衡微分分方程程在Su上2.在所有有受面面力的的邊界界s上,滿(mǎn)足應(yīng)應(yīng)力邊邊界條條件。。3.在su滿(mǎn)足位位移邊邊界條條件其中在在小邊邊界上上可以以應(yīng)用用圣維維南原原理，，即用用三個(gè)個(gè)積分分的邊邊界條條件來(lái)來(lái)代替替。本題只只需校校核在在邊邊界x=l的剛體體約束束條件件A點(diǎn)(x=l及y=0)，例3：試考考慮下下列平平面問(wèn)問(wèn)題的的應(yīng)變變分量量是否否存在在，x=Axy,y=By3,xy=C－Dy3x=Ay2,y=Bx2y,xy=Cxyx=y=0,xy=Cxy解：應(yīng)變分分量存存在的的必要要條件件是滿(mǎn)滿(mǎn)足形形變協(xié)協(xié)調(diào)條條件（（相容容方程程）即即(a)相容(b)須滿(mǎn)足足B=0，2A=C(c)不相容容只只有有C=0，x=y=xy=0,例4：在無(wú)無(wú)體力力的情情況下下，試試考慮慮下列列應(yīng)力力分量量是否否可能能在彈彈性體體中存存在。。x=Ax+By,y=Cx+Dy,xy=Ex+Fy；x=A(x2+y2),y=B(x2+y2),,xy=Cxy解：彈性體體中的的應(yīng)力力，在在單連連體中中必須須滿(mǎn)足足在s上此組應(yīng)應(yīng)力滿(mǎn)滿(mǎn)足相相容方方程，，為滿(mǎn)滿(mǎn)足平平衡微微分方方程，，必須須A=－F,D=－E，此外，，還須須滿(mǎn)足足應(yīng)力力邊界界條件件。(b)為滿(mǎn)足相容容方程，，其系數(shù)數(shù)必須滿(mǎn)滿(mǎn)足A+B=0為滿(mǎn)足平平衡微分分方程,其系數(shù)必必須滿(mǎn)足足A=B=－C/2上兩式是是矛盾的的，故此此組應(yīng)力力不存在在。(b)x=A(x2+y2),y=B(x2+y2),,xy=Cxy例5：若f(x,y)是平面調(diào)調(diào)和函數(shù)數(shù)，即滿(mǎn)滿(mǎn)足拉普普拉斯方方程試證明函函數(shù)f,xf,yf,(x2+y2)f都滿(mǎn)足重重調(diào)和方方程，因因而都可可以作為為應(yīng)力函函數(shù)使用。證明：上述函數(shù)數(shù)作為應(yīng)應(yīng)力函數(shù)數(shù)，均能能滿(mǎn)足相相容方程程（重調(diào)調(diào)和方程程）例6：圖示梁梁受到均均布載荷荷的作用用，試用用下列應(yīng)應(yīng)力表達(dá)達(dá)式求解解其應(yīng)力力。qxylh/2h/2(l>>h,=1)qlO解：在s上本題是按按應(yīng)力求求解，因因而，應(yīng)應(yīng)力分量量必須滿(mǎn)滿(mǎn)足將應(yīng)力分分量代入入平衡微微分方程程和相容容方程，，兩者都都能滿(mǎn)足足。再校核邊邊界條件件，在主主要邊界界上qxylh/2h/2(l>>h,=1)qlO將C1,C2代入應(yīng)力力分量，，得qxylh/2h/2(l>>h,=1)qlO再將應(yīng)力力表達(dá)式式代入次次要邊界界條件：：可見(jiàn)，在在次要邊邊界上的的積分邊邊界條件件均能滿(mǎn)滿(mǎn)足。qxylh/2h/2(l>>h,=1)qlO例7：材料力力學(xué)中，，當(dāng)矩形形截面梁梁(厚度=1)受任意橫橫向載荷荷q(x)作用而彎彎曲時(shí)，，彎曲正正應(yīng)力公公式為q(x)xylh/2h/2(l>>h,=1)O試由平衡衡微分方方程(不計(jì)體力力)導(dǎo)出切應(yīng)應(yīng)力xy和擠壓應(yīng)應(yīng)力x的公式(提示:注意積分后得得出的任任意函數(shù)數(shù),可由梁的的上下邊邊界條件件來(lái)確定定.)解：不計(jì)體力,將代入平衡微分方程第一式得q(x)xylh/2h/2(l>>h,=1)O兩邊對(duì)y積分，得得再由上下下邊界條條件得得其中將代入平衡微分方程第二式代入上式,得得q(x)xylh/2h/2(l>>h,=1)O兩邊對(duì)y積分，得得再由上下下邊界條條件得由同樣得代入得上述解答答已滿(mǎn)足足平衡微微分方程程及y=±h/2的邊界條條件,但一般不不滿(mǎn)足相相容方程程,且尚未校校核左右右端的小小邊界條條件。2.當(dāng)q為常數(shù)時(shí)時(shí),試檢驗(yàn)應(yīng)應(yīng)力分量量是否滿(mǎn)滿(mǎn)足相容容方程？？試在x中加一項(xiàng)項(xiàng)對(duì)平衡衡沒(méi)有影影響的函函數(shù)f(y),再由相容容方程確確定f(y),并校核梁的左左右邊界條件件。xylh/2h/2(l>>h,=1)Oq若q=常數(shù)，則xylh/2h/2(l>>h,=1)Oq于是代入相容方程程，為滿(mǎn)足相容方方程，令此時(shí)，和仍滿(mǎn)足平衡微分方程，再代入相容方程。xylh/2h/2(l>>h,=1)Oq積分得由x=l次要邊界條件件得B=0；滿(mǎn)足。得由此得經(jīng)檢驗(yàn)，在小小邊界x=0,l上剪力邊界條條件亦滿(mǎn)足。。第三章平平面問(wèn)題的的直角坐標(biāo)解解答§3.1逆解法和半逆逆解法多多項(xiàng)式解答答§3.2矩形梁的純彎彎曲§3.3位移分量的求求出§3.4簡(jiǎn)支梁受均布布載荷§3.5楔形體受重力力和液體壓力力§3.1逆解法和半逆逆解法多多項(xiàng)式解答答在常體力情況況下，按應(yīng)力求解平平面問(wèn)題，可可歸納為求解解一個(gè)應(yīng)力函函數(shù)，它必須滿(mǎn)足足1.在區(qū)域內(nèi)的相相容方程2.在邊界上的應(yīng)應(yīng)力邊界條件件(假設(shè)全部為應(yīng)應(yīng)力邊界條件件)3.在多連體中，，還須滿(mǎn)足位位移單值條件件。在s上求出應(yīng)力函數(shù)數(shù)后，便可求出出應(yīng)力分量.然后再求應(yīng)變變分量和位移移分量。由于相容方程是偏微分方程，它的通解不能寫(xiě)成有限項(xiàng)數(shù)的形式，一般不能直接求解問(wèn)題。只能采取逆解法和半逆解法。所謂逆解法，就是(1)先設(shè)定滿(mǎn)足的應(yīng)力函數(shù)；(2)根據(jù)