.反三角函數(shù)例題

x6.x6.22［教學(xué)過程］一．反正弦函數(shù)的引入§6.4.1反三角函數(shù)（1）——反正弦函數(shù)1?回憶y=sinx的圖像及反函數(shù)的條件，可知y=sinx,xgR不存在反函數(shù)兀兀2.若xg——，則y=smx是單調(diào)函數(shù)22x,y一一對應(yīng)，故在xg2,2上y=sinx存在22反函數(shù)3.定義f(x)=sinx,xg二?反正弦函數(shù)的圖像冗冗2'2，其反函數(shù)f—1(x)=arcsinx|arcsin是反正弦的|符號，是一個整體稱為反正弦函數(shù)反函數(shù)的圖像與原函數(shù)的圖像關(guān)于y=x對稱，即x改y,y改x.「兀兀]y=sinx,xg一―L22」y=arcsinx,xg[—1,1]1?值域yg[—1,1]「兀兀]yg——L22」2?奇偶性奇函數(shù)（過原點(diǎn)）奇函數(shù)（過原點(diǎn)）3?單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)4?周期性非周期函數(shù)非周期函數(shù)三.根據(jù)解析式與圖像研究反正弦函數(shù)的性質(zhì)|數(shù)形結(jié)合，從圖像上|看反正弦函數(shù)的性質(zhì)i\f[f-1(x)]=x(xga)f-1[f(x)]=x(xgD)兀兀<arcsinx<nsinarcsinx22兀?！?lt;x<n—1<sinx<1narcsin(sinx)=三．例題與練習(xí)例1求值：(1)arcsin^"；(2)arcsin(-1)；(3)arcsin注意x的不同范圍(4)arcsin(0.5);(5)arcsin0;(6)arcsin(-0.72)注意x的不同范圍（?兀）（.5兀）sin—;(8)arcsinsin—19丿16丿(7)arcsin(8)arcsin(sin3.49兀)例2用反正弦函數(shù)表示下列各式的x:(1)sinx=,(i)xe兀兀一2,2(ii)xe[0,2兀]兀兀一兀兀一2,2(ii)xe[0,2n]1(2)sinx=-4,(i)xe(3)sinx=,(i)xe冗冗一2‘2(ii)xw[o,2兀]:y=arcsin[f(x)]例3求下列函數(shù)的定義域和值域：f（x）定義域?yàn)锳,由-1由-1<f(x)<1得四．布置作業(yè)B，則D=AB(1)y=3arcsin(2x一1)；(2)y=+arcsin、：2x一1；(3)y=-3arcsin\：x2一16§6.4.2反三角函數(shù)(2)——反余弦、反正切函數(shù)［教學(xué)過程］反余弦函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)1．定義函數(shù)y=cosx,xe[o,兀]的反函數(shù)為y=arccosx,xe[-1,1].2．圖像3．性質(zhì)(1)定義域;(2)值域;(3)單調(diào)性;(4)奇偶性:非奇非偶;(5)arccos(j)=兀(5)arccos(j)=兀兀arccos0=—；arccosl=0；arccosx>0y=arccosx一2(7)arccos(一x)=兀一arccosx；y=y=arccosx一2(7)arccos(一x)=兀一arccosx；y=一arccosx2(8)arccos(cosx)=x,xecos(arccosx)=x,xe冗冗一2'2奇函數(shù);三．反正切函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)1．定義函數(shù)y=(冗冗)tanx,xe一一，一I22丿的反函數(shù)為y=arctanxxeR2．圖像(6)當(dāng)一1<x<0時，arccosx為鈍角；當(dāng)0<x<1時，arccosx為銳角；3．性質(zhì)■(兀兀'(1)定義域XeR；(2)值域ye——；(3)單調(diào)性：增函數(shù)；(4)奇偶性：奇函數(shù)\22丿(5)tan(5)tan(arctanx)=x,xeR；arctan(tanx)=x,xe2丿；四．例題與練習(xí)例1求下列各式的值：(1)cosarccos逅)]arccos3丿3(1)cosarccos逅)]arccos3丿3(2)sin(辛]](3)tanarccos廠n'arccoscos「3丿(4)例2用反三角函數(shù)表示下列各角：(1)tanx=3(i)x(1)tanx=3(i)xe(ii)xe1(2)tanx=-—(2)4/nn、(3n)xe,(ii)xe一,nV22丿V2丿(i)xexe[o,n](3)cosx=-3例3求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y=-2arccos(3x+4)(2)y=~^~+3arccos(1-2x)11⑷y=arccos(x-2)(3)y=-Jarccos(7x+3)2(5)y=arcsin(x2+1)(6y)=arccos(x2-1)(7)y=arctan*3-x2xe五．布置作業(yè)§6.4.3反三角函數(shù)(3)——反三角函數(shù)習(xí)題課TOC\o"1-5"\h\z(1)例3計(jì)算：sin2arctan—I4丿例4解不等式：arccos(1一x)<arccos