淺談三角形中位線定理的幾種證法

1、淺談三角形中位線定理的幾種證法 康園中學校 張瑜摘要：華師大數(shù)學九年級上冊第23章中，學生學習了三角形中位線定理，對于三角形中位線定理的證明方法我與學生進行了深入地研究，總結(jié)了十種類型的方法，下面將三角形中位線定理的這些證法與大家共同分享。共有十種不同的類型：動手操作法、相似法、倍長法、平行法、翻折法、作高法、構(gòu)造法、旋轉(zhuǎn)法、同一法、反證法。關(guān)鍵詞：三角形中位線定理、二十八種不同的證法。ABCDE三角形中位線定理：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。如圖，已知ABC中，D，E分別是AB，AC兩邊中點。求證：DEBC，DE=BC。一、類型一：動手操作法方法1：度量法華師大初中數(shù)學教材的編寫是呈

2、螺旋式上升的，七年級和八年級上冊重點培養(yǎng)學生的合情推理能力（即學生的動手操作和簡單的說理驗證），八年級下冊和九年級重點培養(yǎng)學生的演繹推理能力（即嚴格地利用定理進行證明）。因此運用合情推理，可以采用度量的方法來證明三角形中位線定理。首先用直尺分別量出DE、BC的長，看是否滿足DE=BC，再用量角器分別量出ADE和B的度數(shù)，看是否相等，從而判斷是否平行。二、類型一：相似法方法2：相似法一根據(jù)AD=AB，AE=AC，DAE=BAC，從而得到ADEABC。于是ADE=ABC，DE:BC=AD:AB=1:2。輕松得到DEBC，DE=BC。方法3：相似法二AGFADEBCFADEBCFADEBCFGFAD

3、EBC過點D作DFAC于F，過點B作BGAC于G，則DF/BG，于是ADFABG，得到DF=BG，AF=FG。因為AE=EC，所以FE=GC。根據(jù)DF:BG=FE:GC，DFE=BGC=900，得到DFEBGC，從而命題得證。ED方法4方法3方法2方法6方法5BC3、 類型三：倍長法方法4：中位線倍長法一：這是常用的方法，也是北師大教材中使用的方法。延長DE至F，使EF=DE，連接FC，則ADEFEC，則AD/FC 且AD=FC，所以BD/FC 且BD=FC，則四邊形DBCF是平行四邊形。因DE=DF，則DEBC，DE=BC。 方法5：中位線倍長法二：延長DE至F，使EF=DE，連接CF、DC

4、、AF，則四邊形ADCF為平行四邊形，易知四邊形BCFD為平行四邊形，從而命題得證。 方法6：中線倍長法：連接BE，延長BE至G，使EG=BE，連接CG，延長DE，交CG于F，則ABECGE，得到AD/FC 易證四邊形DBCF是平行四邊形，從而命題得證。4、 類型四：平行法方法7：外部平行一邊法：過C作CF/AB，交DE的延長線于F， 易證ADECFE，得到DE=EF，AD=CF. 從而四邊形BCFD是平行四邊形， 從而命題得證。 FADEGBCFADEGBCFADEBCFADEBC 方法8方法9方法10方法7方法8：外部平行底邊法過A作AF/BC，取BC中點為G，連接GD，延長GD，交AF于

5、F，則ADFBDG，F(xiàn)D=DG，AF=BG，則AF=GC，則四邊形AFGC是平行四邊形，于是DGAC，DG=AC，則四邊形DGCE是平行四邊形，DE/BC，DE=GC，從而命題得證。方法9：外部平行中位線法過A作AF/DE，AF=DE，連接FE，延長FE，交BC于點G，則四邊形AFED是平行四邊形，F(xiàn)G/AB，從而得到BG=CG，AEFCEG，則BG=AF=DE=GC，F(xiàn)E=EG=AD=DB，則四邊形BGED是平行四邊形，從而命題得證。方法10：內(nèi)部平行一邊法過E作EF/AB，交BC于F，則CEFCAB，得到BF=FC，EF=AB=AD，A=FEC，利用“SAS”可以證明ADEEFC，得到DE

6、=FC，AED=C，從而命題得證。5、 類型五：作高法方法11：作底邊高法此法是所有方法中最為巧妙也是最為經(jīng)典的方法。其思路主要是對于初中階段所學知識的綜合運用。首先回顧與中點有關(guān)的知識點（1、全等；2、垂直平分線；3、等腰三角形三線合一；4、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。）這時聯(lián)想到第4個知識點中點但沒有直角三角形，就必須構(gòu)造出來，于是就要作高。過A作AFBC于F，連接DF，EF。得到FD=BD=DA；FE=AE=EC。利用“SSS”證明ADEFDE，得到ADE=FDE，再運用三線合一得到AFDE，再分別作DMBC于F，ENBC于N，于是四邊形DMFG、ENFG、DMNE均為矩形，從

7、而命題得證。FADEBCGFNABCDEMGFNABCDEMGFNABCDEMGNFABCDEM方法15方法14方法13方法12方法11方法12：作中位線高法分別過點A、B、C向中位線作垂線，垂足分別為F、M、N。易知ADFBDM，AEFCEN，則MD=DF，NE=EF，MN=2DE，MB/NC，MB=NC，得到四邊形MBCN為矩形，從而命題得證。七、類型七：構(gòu)造法方法13：構(gòu)造矩形法過點D作DFBC于F，過點E作EGBC于G，過A作MN/BC，分別與FD、GE的延長線交于M、N。則四邊形MFGN為矩形，MDAFDB，NEAGEC，于是MN=FG，MD=DF=NE=EG，得到四邊形DFGE為矩

8、形，從而命題得證。方法14：構(gòu)造平行四邊形法一過點D、E作DF/EG，分別交BC于F、G，過點A作MN/EG，分別與FD、GE的延長線交于M、N。則四邊形MFGN為平行四邊形，與構(gòu)造矩形法相同原理，從而命題得證。方法15：構(gòu)造平行四邊形法二過點A作AF/BC，且AF=BC，連接CF，延長DE，交CF于G，則四邊形ABCF為平行四邊形，AB/FC。得到ADECGE，于是CG=AD=DB，則四邊形BCGD為平行四邊形，從而命題得證。八、類型八：旋轉(zhuǎn)法方法16：旋轉(zhuǎn)法一FADEBCGGFADEBCFADEBC因AE=EC，故可將ADE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)1800至CFE。則ADEFEC，AD/FC，AD

9、=FC，則BD/FC且BD=FC，則四邊形DBCF是平行四邊形。由DE=DF，所以DEBC，DE=BC。方法19方法18方法16方法17：旋轉(zhuǎn)法二因AE=EC，故可將ABC繞點E順時針旋轉(zhuǎn)1800至CFA。可得到四邊形DBCG是平行四邊形，從而命題得證。方法18：旋轉(zhuǎn)法三連接BE，因AE=EC，故可將ABE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)1800至CGE，則ADECFE，BDEGFE，于是BD/FC，BD=FC，可得到四邊形DBCF是平行四邊形，從而命題得證。九、類型九：同一法方法19：同一法FADEBCGFADEBC過點D作DF/BC，交AC于F，ADFABC，得到AF=AC。由已知條件中AE=EC，能夠推

10、出F與E為同一個點，從而命題得證。方法20方法19十、類型十：反證法方法20：反證法一假設(shè)DE與BC不平行，設(shè)DE與BC交于點F。過點C作CG/BD，交DF于G，則FGCFDB，得到GC：DB= FG：FD 1，即GCDB。根據(jù)CG/BD可知，CEGAED，則GC=AD=DB，這與GCDB相矛盾，從而命題中的DE/BC得證。再根據(jù)DE/BC很容易證明DE=BC。 初中數(shù)學中的幾何變換包括：平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱。我把這些方法分成了十種不同的類型，其中運用這三種變換都能達到證明的目的。因為有中點，所以倍長法與作高法和構(gòu)造法都能構(gòu)造全等三角形，并且還能自動生成對頂角，平行法相當于就是把線段進行平移，也能構(gòu)造全等三角形，并生成對頂角，因此平行法、倍長法與作高法和構(gòu)造法都可以轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)，從而順利地尋找到證明思路與方法。這些輔助線的作法能互相轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵之處就在AE=