1.2.2 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(優(yōu)秀經(jīng)典公開課比賽教案)

1.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系備課教師：劉德清、龍新榮、郭曉芳、劉世杰、王煥剛、沈良宏一、教學(xué)目標(biāo)：1?理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，會用解方程組的通法求三角函數(shù)值；培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)求值問題；培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性及思維的深化；在恒等式證明的教學(xué)過程中，注意培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，從而提高邏輯推理能力．通過對同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的學(xué)習(xí)，揭示事物間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)辨證唯物主義思想。二、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用（求值、化簡、恒等式證明）教學(xué)難點(diǎn)：關(guān)系式在解題中的靈活運(yùn)用和對學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng).三、教學(xué)過程：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師牛互動設(shè)計意圖復(fù)教師提出問題，推出習(xí)引入復(fù)習(xí)單位圓和三角函數(shù)線；三角函數(shù)定義和勾股定理學(xué)生回答sin2a+cos2a=1sina、、卄=tana這兩cosa個最基本的關(guān)系式。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：提問：更好地理解同角三角關(guān)sin2a+cos2a=11?何謂“同函數(shù)的基本關(guān)系式及sina二tana角”？2.同角三角函功能。系式cosa數(shù)的基本關(guān)系式的作用，它可以用來解決哪些問題？的“同角”的概念與角的表達(dá)形式無關(guān)，如：3.利用同角三深.asin—2asin23a+cos23a=1=tan—角函數(shù)的基本關(guān)系式解題的化理解a2cos—2當(dāng)我們知道一個角的某一三角函數(shù)值時，利用這兩個三角函數(shù)關(guān)系式和三角函數(shù)定義，就可求出這個角的其余三角函數(shù)值。此外，還可用它們化簡三角注意事項？

函數(shù)式和證明三角恒等式。當(dāng)然，上述關(guān)系（公式）都必須在定義域允許的范圍內(nèi)成立4例1已知sina二5，并且a是第二象限角，求a的例1可讓學(xué)生自己解決例1是已知一個角的任一三角函數(shù)值可求其他三角函數(shù)值.出這個角的其余各三分析：由平方關(guān)系可求cosa的值，由已知條角函數(shù)值的簡單應(yīng)件和cosa的值可以求tana的值，進(jìn)而用倒數(shù)關(guān)系求得cota的值.用。解：°.°sin2Q+cos2Q=l,a是第二象限角cosa=-J1-sin2a1'3=—11—(—)2=——,計*5'應(yīng)4sina54.tana-一一一cosa33用513cota——.tana4舉例2.已知cosa——，求sina、tana的值.17體現(xiàn)分類討論的思想，比較與例1的異例分析：cosaVOa是第二或第三象限角.因此要對a所在象限分類.同。當(dāng)a是第二象限角時，例2可讓學(xué)生討論解決

.rA/8、15sma=*1-cos2a=J-(-—)2=一,\171715sina1715tana==———=———.cosa88當(dāng)a是第三象限時，?卄L/815sina=—弋1—cos2a=—.1—(——)2=——,V171715sina1715tana==——=——.cosa88例3已知sina一cosa=一——，180。<a<2700,5求tana的值.解：以題意和基本三角恒等式，得到方程組rinacosa=5，消去a，得5cos2a-sin2a+cos2a=1L、、■V5cosa—2=0,由方程解得cosa=-5-,或cosa=—~5，因為180°vav270°，所以cosavO,即運(yùn)、2逛cosa=——^，代入原方程組得sina=一一亍，于是sinatana==2.cosa，，…sin0—cos0例4化簡：x——.tan0一1學(xué)生獨(dú)立完成，并交流不同解法，比較優(yōu)劣。提問：你怎樣理解化簡？證明恒等式有哪些途徑？由學(xué)生完成證明，展示不同證法，可能的證法除課本給出的以外，左側(cè)還給出了一些證法，供參考。結(jié)合例6,由學(xué)生總結(jié)證明三角恒等式的常體現(xiàn)方程的思想展示不同的解題方法，培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用公式的能力和思辯的能力。體會如何運(yùn)用公式化簡，明確化簡的目標(biāo)。三角函數(shù)式的化簡是一種不指定答案的恒等變形，體現(xiàn)了由繁到簡的最基本解題原則。通過討論探究，培養(yǎng)發(fā)散思維，提高綜合運(yùn)用知識思考、解決問題的能力。體驗證明的過程就是通過化簡與消去

用方法。教師在證明思路和解題規(guī)范上給予指導(dǎo)。等式兩邊差異來促成統(tǒng)一。、sin9-cos9sin9-cos9解：原式=sin91=sin9-cos9=cos°cos9cos9用方法。教師在證明思路和解題規(guī)范上給予指導(dǎo)。等式兩邊差異來促成統(tǒng)一。例5化簡：丫1—sin2440點(diǎn)評：三角函數(shù)化簡時，應(yīng)合理利用公式，明確化簡的基本要求，盡量化為最簡形式。解：原式=、：'1—sin2(360°+80°)=、1—sin280°=Jcos280°=cos80°.例6求證：sin4a—cos4a=2sin2a—1tan2a—sin2a=tan2a-sin2acosa1+sina=1一sinacosa分析：思路1.把左邊分子分母同乘以cosx,再利用公式變形；思路2：把左邊分子、分母同乘以(1+sinx)先滿足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需將分子轉(zhuǎn)化為零；思路4：用作商法，但先要確定一邊不為零；思路5：利用公分母將原式的左邊和右邊轉(zhuǎn)化為同一種形式的結(jié)果；思路6：由乘積式轉(zhuǎn)化為比例式；思路7：用綜合法.證明：(1)原式左邊=(sin2a+cos2a)(sin2a—cos2a)=sin2a—cos2a=sin2a—(1—sin2a)=2sin2a—1=右邊.因此sin4a—cos4a=2sin2a—1.(2)原式右^=tan2a(1—cos2a)=tan2a—tan2acos2asin2a=tan2a—-cos2a=tan2a—sin2acos2a=左邊.因此tan2a—sin2a=tan2a-sin2a.(3)證法1：左邊=cosx-cosx_1—sin2x_1+sinx(1—sinx)cosx(1—sinx)-cosxcosx

右邊，???原等式成立+證法2：亠、丄(1+sinx)-cosx(1+sinx)-cosx(1+sinx)(l-sinx)1-sin2x(1+sinx)-cosx1+sinx———右邊cos2xcosx證法3：cosx1+sinxcos2x一(1一sin2x)1一sinxcosx(1一sinx)-cosx???,coS2x一coS2x八==0(1一sinx)-cosxcosx1+sinx?_??*1-sinxcosx、‘1+sinx證法4：.cosx主0,..1+sinx主0,.?主0,cosxcosx1一sinxcos2x…1+sinxG+sinx)(-sinx)cosxcos2x==11-sin2xcosx1+sinx?_???1-sinxcosx4、亠cosxcosx證法5:左邊=1一sinxcosxcos2x(1-sinx)-cosx'亠、召1+sinx1一sinx右邊cosx1一sinx1一sin2xcos2xcosx(1-sinx)(1-sinx)cosx'??左邊=右邊???原等式成立.證法6:?(1一sinx)(1+sinx)=1一sin2x=cos2x=cosx-cosx

cosx1+sinx???1-sinxcosx證法7:?/sin2a+cos2a=1,cos2x=1一sin2xcosx-co