最新高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識強化記憶1

PAGEPAGE12專題一：常以客觀題考查的內(nèi)容一、集合1、集合〔1〕集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.〔2〕常用數(shù)集及其記法表示自然數(shù)集，或表示正整數(shù)集，表示整數(shù)集，表示有理數(shù)集，表示實數(shù)集.〔3〕集合與元素間的關(guān)系對象與集合的關(guān)系是，或者，兩者必居其一.〔4〕集合的表示法①自然語言法：用文字表達(dá)的形式來描述集合.②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.③描述法：{|具有的性質(zhì)}，其中為集合的代表元素.④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.注意：研究集合問題，一定要理解集合的意義――抓住集合的代表元素。〔5〕集合的分類①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().2、集合間的根本關(guān)系〔1〕子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集〔或A中的任一元素都屬于B(1)AA(2)(3)假設(shè)且，那么(4)假設(shè)且，那么或真子集AB〔或BA〕，且B中至少有一元素不屬于A〔1〕〔A為非空子集〕(2)假設(shè)且，那么集合相等A中的任一元素都屬于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BA〔2〕集合有個元素，那么它有個子集，它有個真子集，它有個非空子集，它有非空真子集.3、集合間的根本運算交集、并集、補集名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集且〔1〕〔2〕〔3〕并集或〔1〕〔2〕〔3〕補集注意：〔1〕數(shù)軸和韋恩圖是進(jìn)行交、并、補運算的有力工具，數(shù)形結(jié)合是解集合問題的常用方法；〔2〕補集思想常運用于解決否認(rèn)型或正面較復(fù)雜的有關(guān)問題。二、常用邏輯用語1、命題：可以判斷真假的語句叫命題；邏輯聯(lián)結(jié)詞：“或〞“且〞“非〞這些詞就叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞；簡單命題：不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題;復(fù)合命題：由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題.常用小寫的拉丁字母，，，，……表示命題.2、四種命題及其相互關(guān)系四種命題的真假性之間的關(guān)系：⑴、兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；⑵、兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．注意：在寫出一個含有“或〞、“且〞命題的否命題時，要注意“非或即且，非且即或〞。否命題要對命題的條件和結(jié)論都否認(rèn)而命題的否認(rèn)僅對命題的結(jié)論否認(rèn)。3、充分條件、必要條件與充要條件⑴、一般地，如果，那么就說：是的充分條件，是的必要條件；假設(shè)，那么是的充分必要條件，簡稱充要條件．⑵、充分條件，必要條件與充要條件主要用來區(qū)分命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系：Ⅰ、從邏輯推理關(guān)系上看：①假設(shè)，那么是充分條件，是的必要條件；②假設(shè)，但，那么是充分而不必要條件;③假設(shè)，但，那么是必要而不充分條件;④假設(shè)且，那么是的充要條件；⑤假設(shè)且，那么是的既不充分也不必要條件.Ⅱ、從集合與集合之間的關(guān)系上看：滿足條件，滿足條件：①假設(shè),那么是充分條件；②假設(shè),那么是必要條件；③假設(shè)AB，那么是充分而不必要條件;④假設(shè)BA，那么是必要而不充分條件;⑤假設(shè)，那么是的充要條件⑥假設(shè)且，那么是的既不充分也不必要條件.4、復(fù)合命題⑴復(fù)合命題有三種形式：或〔〕；且〔〕；非〔〕.⑵復(fù)合命題的真假判斷“或〞形式復(fù)合命題的真假判斷方法：一真必真；“且〞形式復(fù)合命題的真假判斷方法：一假必假；“非〞形式復(fù)合命題的真假判斷方法：真假相對.5、全稱量詞與存在量詞⑴全稱量詞與全稱命題短語“所有的〞“任意一個〞在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“〞表示.含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.⑵存在量詞與特稱命題短語“存在一個〞“至少有一個〞在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“〞表示.含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.⑶全稱命題與特稱命題的符號表示及否認(rèn)①全稱命題：，它的否認(rèn)：全稱命題的否認(rèn)是特稱命題．②特稱命題：，它的否認(rèn)：特稱命題的否認(rèn)是全稱命題.三、平面向量1、向量的物理背景與概念〔1〕了解四種常見向量：力、位移、速度、加速度.〔2〕既有大小又有方向的量叫做向量.2、向量的幾何表示〔1〕帶有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度.〔2〕向量的大小，也就是向量的長度〔或稱?！?，記作；長度為零的向量叫做零向量；長度等于1個單位的向量叫做單位向量，的單位向量是。3、相等向量與共線向量〔1〕長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.〔2〕方向相同或相反的非零向量叫做平行向量〔或共線向量〕.規(guī)定：零向量與任意向量平行.4、向量加法運算及其幾何意義〔1〕三角形加法法那么和平行四邊形加法法那么.三角形法那么的特點：首尾相連．平行四邊形法那么的特點：共起點．〔2〕≤.=3\*GB2⑶三角形不等式：．=4\*GB2⑷運算性質(zhì)：=1\*GB3①交換律：；=2\*GB3②結(jié)合律：；=3\*GB3③5、向量減法運算及其幾何意義〔1〕與長度相等方向相反的向量叫做的相反向量.〔2〕三角形減法法那么和平行四邊形減法法那么.三角形法那么的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．6、向量數(shù)乘運算及其幾何意義〔1〕規(guī)定：實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘.記作：，它的長度和方向規(guī)定如下：①,②當(dāng)時,的方向與的方向相同；當(dāng)時,的方向與的方向相反.〔2〕平面向量共線定理：向量與共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)，使.〔3〕運算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③7、平面向量根本定理〔1〕平面向量根本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量，有且只有一對實數(shù)，使.8、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.9、平面向量的坐標(biāo)運算〔1〕設(shè)，那么：①，②，③，④.〔2〕設(shè)，那么：.10、平面向量共線的坐標(biāo)表示(1)分點坐標(biāo)公式：設(shè)點是線段上的一點，、的坐標(biāo)分別是，，當(dāng)時，點的坐標(biāo)是．〔當(dāng)〔2〕設(shè)，那么：①線段AB中點坐標(biāo)為，②△ABC的重心坐標(biāo)為.11、平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義〔1〕.〔2〕在方向上的投影為：.〔3〕.〔4〕.〔5〕.〔1〕設(shè)，那么：①②③④(2)設(shè)，那么：.(3)兩向量的夾角公式13、平面幾何中的向量方法14、向量在物理中的應(yīng)用舉例四、不等式1、不等式的根本性質(zhì)①〔對稱性〕②〔傳遞性〕③〔可加性〕〔同向可加性〕〔異向可減性〕④〔可積性〕⑤〔同向正數(shù)可乘性〕〔異向正數(shù)可除性〕⑥〔平方法那么〕⑦〔開方法那么〕⑧〔倒數(shù)法那么〕2、幾個重要不等式①,〔當(dāng)且僅當(dāng)時取號〕.變形公式：②〔根本不等式〕,〔當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號〕.變形公式：用根本不等式求最值時〔積定和最小，和定積最大〕，要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等〞.③〔三個正數(shù)的算術(shù)—幾何平均不等式〕〔當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號〕.④〔當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號〕.⑤〔當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號〕〔當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號〕⑥3、幾個著名不等式①平均不等式：,〔當(dāng)且僅當(dāng)時取號〕.〔即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均〕.變形公式：②琴生不等式:〔特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)〕假設(shè)定義在某區(qū)間上的函數(shù),對于定義域中任意兩點有那么稱f(x)為凸〔或凹〕函數(shù).4、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比擬法〔作差，作商法〕、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法等.常見不等式的放縮方法：=1\*GB3①舍去或加上一些項，如=2\*GB3②將分子或分母放大〔縮小〕，如:等.5、一元二次不等式的解法判別式二次函數(shù)的圖象一元二次方程的根〔其中無實根的解集或的解集求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對應(yīng)方程的根.三求：求對應(yīng)方程的根.四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象.五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿〔奇穿偶切〕，結(jié)合原式不等號的方向，寫出不等式的解集.7、分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，那么〔時同理〕規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解⑴⑵⑶⑷⑸規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，從“小〞的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法：⑴當(dāng)時,⑵當(dāng)時,規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、對數(shù)不等式的解法⑴當(dāng)時,⑵當(dāng)時,規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.11、含絕對值不等式的解法：規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.⑴定義法：⑵平方法：⑶同解變形法，其同解定理有：①②③④12、含有兩個〔或兩個以上〕絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解形如且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：⑴討論與0的大?。虎朴懻撆c0的大?。虎怯懻搩筛拇笮?14、恒成立問題⑴不等式的解集是全體實數(shù)〔或恒成立〕的條件是：①當(dāng)時②當(dāng)時⑵不等式的解集是全體實數(shù)〔或恒成立〕的條件是：①當(dāng)時②當(dāng)時⑶恒成立恒成立⑷恒成立恒成立15、能成立問題假設(shè)在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,那么等價于在區(qū)間上；假設(shè)在區(qū)間上存在實數(shù)使不等式成立,那么等價于在區(qū)間上的.16、恰成立問題假設(shè)不等式在區(qū)間上恰成立,那么等價于不等式的解集為；假設(shè)不等式在區(qū)間上恰成立,那么等價于不等式的解集為.17、線性規(guī)劃問題⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點定域法：由于直線的同一側(cè)的所有點的坐標(biāo)代入后所得的實數(shù)的符號相同.所以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點〔如原點〕，的正負(fù)即可判斷出或表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.即：直線定邊界，分清虛實；選點定區(qū)域，常選原點.法二：根據(jù)或，觀察的符號與不等式開口的符號，假設(shè)同號，或表示直線上方的區(qū)域；假設(shè)異號，那么表示直線上方的區(qū)域.即：同號上方，異號下方.⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共局部.⑶利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)為常數(shù)〕的最值：法一：角點法：如果目標(biāo)函數(shù)〔即為公共區(qū)域中點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)〕的最值存在，那么這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對應(yīng)值，最大的那個數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最大值，最小的那個數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最小值法二：畫——移——定——求：第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線，平移直線〔據(jù)可行域，將直線平行移動〕確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解；第四步，將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值.第二步中最優(yōu)解確實定方法：利用的幾何意義：,為直線的縱截距.①假設(shè)那么使目標(biāo)函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最小值；②假設(shè)那么使目標(biāo)函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最大值.⑷常見的目標(biāo)函數(shù)的類型：①“截距〞型：②“斜率〞型：或③“距離〞型：或或在求該“三型〞的目標(biāo)函數(shù)的最值時，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問題簡單化.五、推理與證明1、歸納推理把從個別事實中推演出一般性結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).簡言之,歸納推理是由局部到整體、由特殊到一般的推理。歸納推理的一般步驟：通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì)；從的相同性質(zhì)中推出一個明確表述的一般命題〔猜測〕；證明〔視題目要求，可有可無〕.2、類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理〔簡稱類比〕．簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.類比推理的一般步驟：找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；用一類對象的特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜測；檢驗猜測。3、合情推理歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比擬、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜測的推理.歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理，通俗地說，合情推理是指“符合情理〞的推理.4、演繹推理從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理．簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.演繹推理的一般模式———“三段論〞，包括M·aSM·aS⑵小前提所研究的特殊情況；⑶結(jié)論據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷．用集合的觀點來理解：假設(shè)集合中的所有元素都具有性質(zhì),是的一個子集,那么中所有元素也都具有性質(zhì)P.從推理所得的結(jié)論來看，合情推理的結(jié)論不一定正確，有待進(jìn)一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確.5、直接證明與間接證明⑴綜合法：利用條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立.框圖表示：要點：順推證法；由因?qū)Ч?⑵分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件〔條件、定理、定義、公理等〕為止.框圖表示：要點：逆推證法；執(zhí)果索因.⑶反證法：一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法.反證法法證明一個命題的一般步驟：(1)〔反設(shè)〕假設(shè)命題的結(jié)論不成立；(2)〔推理〕根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到導(dǎo)出矛盾為止；(3)〔歸謬〕斷言假設(shè)不成立；(4)〔結(jié)論〕肯定原命題的結(jié)論成立.六、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)1、復(fù)數(shù)的概念⑴虛數(shù)單位；⑵復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；⑶復(fù)數(shù)的實部、虛部，虛數(shù)與純虛數(shù).2、復(fù)數(shù)的分類復(fù)數(shù)3、相關(guān)公式⑴⑵⑶⑷指兩復(fù)數(shù)實部相同，虛部互為相反數(shù)〔互為共軛復(fù)數(shù)〕.4、復(fù)數(shù)運算⑴復(fù)數(shù)加減法：；⑵復(fù)數(shù)的乘法：；⑶復(fù)數(shù)的除法：〔類似于無理數(shù)除法的分母有理化虛數(shù)除法的分母實數(shù)化〕5、常見的運算規(guī)律設(shè)是1的立方虛根，那么，6、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)平面：用來表示復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)系，其中軸叫做復(fù)平面的實軸，軸叫做復(fù)平面的虛軸.的幾何意義是間的距離.七、算法初步1、算法三種語言：自然語言、流程圖、程序語言；2、流程圖中的圖框：起止框、輸入輸出框、處理框、判斷框、流程線等標(biāo)準(zhǔn)表示方法；起止框任何流程圖都不可缺少的，它說明程序的開始和結(jié)束，所以一個完整的流程圖的首末兩端必須是起止框。輸入輸出框表示數(shù)據(jù)的輸入或結(jié)果的輸出，它可用在算法中的任何需要輸入、輸出的位置處理框是采用來賦值、執(zhí)行計算語句、傳送運算結(jié)果的圖形符號判斷框判斷框一般有一個入口和兩個出口，有時也有多個出口，它是惟一的具有兩個或兩個以上出口的符號，在只有兩個出口的情形中，通常都分成“是〞與“否〞〔也可用“Y〞與“N〞〕兩個分支用帶有箭頭的流程線連接圖形符號.3、算法的三種根本構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)⑴順序結(jié)構(gòu)示意圖：語句n+1語句n+1語句n順序結(jié)構(gòu)描述的是是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的。⑵條件結(jié)構(gòu)示意圖：①IF-THEN-ELSE格式：②IF-THEN格式：滿足條件？