2018-2019學年上海市閔行區(qū)高二(下)期末數(shù)學試卷

第第頁（共20頁）【分析】設(shè)z=x+yi,x,y€R.由滿足|z-2|=|Rez+2|,可得&直-2)'十丫〃二|x+2|,化為:y2=8x.可得F(2,0),Q(3,2),拋物線的準線I:x=-2.過點P作PH丄I,垂足為H.可得z-3-2i|+|z-2|=|PF|+|PQ|>|QH|.【解答】解：設(shè)z=x+yi,x,y€R.滿足z-2|=瓏乙+2|,..,」|「==|x+2|,化為：y2=8x.可得F(2,0),Q(3,2),拋物線的準線I:x=-2.過點P作PH丄I,垂足為H.則z-3-2i|+|z-2|=|PF|+|PQ|〉|QH|=5,當且僅當三點Q,P,H三點共線時取等號.故答案為：5.H0kF【點評】本題考查了復數(shù)的幾何意義、拋物線的定義標準方程及其性質(zhì)、三角形三邊大小關(guān)系,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.（5分）在長方體ABCD-AiBiCiDi中，AB='!,BC=AAi=1，點M為線段ABi的中點，點P為對角線ACi上的動點，點Q為底面ABCD上的動點，貝UMP+PQ的最小值為3_7—.A1C【分析】畫出圖形，，利用折疊與展開法則同一個平面，轉(zhuǎn)化折線段為直線段距離最小轉(zhuǎn)化求解A1C【分析】畫出圖形，，利用折疊與展開法則同一個平面，轉(zhuǎn)化折線段為直線段距離最小轉(zhuǎn)化求解MP+PQ的最小值.【解答】解：由題意，要求MP+PQ的最小值，就是P到底面ABCD的距離的最小值與MP的最小值之和，Q是P在底面上的射影距離最小，展開三角形ACCi與三角形ABiCi,在同一個平面上如圖，COBCOB易知/BiACi=/CiAC=30°,=F,可知MQ丄AC時，MP+PQ的最小，最小值|2|為=亍故答案為二.4【點評】本題考查最小值的求解,考查空間想象能力以及學生的計算能力,難度比較大.、選擇題（本大題共4題,每題5分,共20分）（5分）已知空間三條直線I、m、n.若I與m異面，且I與n異面，則（）A.m與n異面B.m與n相交C.m與n平行D.m與n異面、相交、平行均有可能【分析】可根據(jù)題目中的信息作圖判斷即【解答】解：空間三條直線I、m、n?若I與m異面，且I與n異面，/m與n可能異面（如圖3）,也可能平行（圖1）,也可能相交（圖2）,故選：D.

【點評】木題考杳平聞的基木性質(zhì)，著重考杳學生的理解與轉(zhuǎn)化能力，考杳數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.（5分）若一個直三棱柱的所有棱長都為1，且其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為（）A.nC.11A.n分析】由題意可知上下底面中心連線的中點就是球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積解答】解：根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長都為1的正三棱柱,CiOAi,OAi,A]Dsin60°設(shè)上下底面中心連線EF的中點0,則0就是球心，其外接球的半徑為設(shè)D為AiCi中點，在直角三角形EDAi中，EAi在直角三角形OEAi中，OE二二，由勾股定理得°A：■「?。簂L1球的表面積為S="?—-丄",故選：B.【點評】本題考查空間幾何體中位置關(guān)系、球和正棱柱的性質(zhì)以及相應(yīng)的運算能力和空間形象能力，是中檔題.（5分）定義：復數(shù)z與i的乘積zi為復數(shù)z的旋轉(zhuǎn)復數(shù)”設(shè)復數(shù)z=x+yi（x,y€R）對應(yīng)的點（x,y）在曲線X2-2xy-y=0上，則z的〃旋轉(zhuǎn)復數(shù)”對應(yīng)的點的軌跡方程為（）2222A.y+2xy-x=0B.y-2xy+x=0C.y+2xy+x=0D.y-2xy-x=0【分析】根據(jù)題意求出旋轉(zhuǎn)復數(shù)zi=-y+xi（x,y€R）對應(yīng)的點（-y,x）,再根據(jù)復數(shù)z=x+yi（x,y€R）對應(yīng)的點（x,y）在曲線X2-2xy-y=0上求出結(jié)論即可.【解答】解：復數(shù)z=x+yi（x,y€R）對應(yīng)的點（x,y）在曲線x2-2xy-y=0上，復數(shù)z的旋轉(zhuǎn)復數(shù)zi二-y+xi（x,y€R）對應(yīng)的點（-y,x）,令x，=-y,y'=x,則，x=y',y=-x，即，y'2-2y，（-x）-（-x'）=0故，y2+2xy+x=0故選：C.【點評】本題考查復數(shù)運算以及點的軌跡方程，難度較易.（5分）已知直線I與拋物線X2=4y交于A、B兩點，若四邊形OAMB為矩形，記直線OM的斜率為k,則|k|的最小值為（）A.4B.2二C.2D.—】【分析】先設(shè)出AB的方程為y=mx+n,與拋物線聯(lián)立方程組，根據(jù)矩形OABM的特征求出n的值，然后建立|k|表達式，求出其最小值.【解答】解：設(shè)AB的方程為y=mx+n,則刁得x-4mx-4n=0,設(shè)A(設(shè)A(Xi,yi),B(X2,y2),貝xi+X2二Hiy1y2=(mx1+n)(mx2+n)=4m,x1x2=

嚴伽(疋］+x—4n,y1+y2=m(x1+x2)+2n,2222-4mn+4mn+nn+阻=n'■11,解之得n'■11,解之得n二4或n=0（舍去），因為om過AB的中點p,貝則|k|“OP|訂壽|訂塔坦ng|皿4|二|m|+|—|^2^23tilm當且僅當m2=2，即皿=±血時，取得等號；第13頁（共20頁）第第17頁（共20頁）第第17頁（共20頁）第第i6頁（共20頁）故選：B.【點評】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題目.三、解答題（本大題共5題，共76分）（14分）如圖，正四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面邊長AB=2,若BDi與底面ABCD所成的角的正切值為一】.（i,求正四棱柱ABCD-AiBiCiDi的體積；（2,求異面直線AiA與BiC所成的角的大小.【分析】（i）利用直線與平面所成角，求解側(cè)棱的長度，然后求解體積.（2）說明/CBiB是異面直線AiA與BiC所成的角，由此能求出異面直線AiA與BiC所成的角的大小.【解答】解：（i）：正四棱柱ABCD-AiBiCiDi的底面邊長為2,AAi丄平面ABCD,BDi與底面ABCD所成的角的正切值為持打.BD=2:?,所以AAi=4,正四棱柱ABCD-AiBiCiDi的體積：2X2X4=i6.（2）TAiA//BiB，/CBiB是異面直線AiA與BiC所成的角，由（i）知AAi=4,BC=2,4tan/CB1B=7;異面直線AiA與BiC所成的角的大小為arctan2.

【點評】本題考查三棱錐的體積的求法，考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.2（14分）設(shè)z+1為關(guān)于x的方程x+px+q二0（p,q駅）的虛根，i是虛數(shù)單位.（1）當z=-1+i時，求p、q的值；（2）若q=1,在復平面上，設(shè)復數(shù)z所對應(yīng)的點為M,復數(shù)2-4i所對應(yīng)的點為N,試求|MN|的取值范圍.【分析】（1）由條件知方程只+px+q=0的兩根分別為i,-i，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系可得p,q的值；（2）根據(jù)條件，令a+1=cosB,b=sin0,0（[0,2n）,然后由|MN|=血二靈匚喬忑;6石畀可得|MN|的范圍.【解答】解：（1）vz=-1+i,???z+1=i,i-i二-pb€R）,貝Uz+l=3+l+bi=a+1i-i二-pb€R）,貝Uz+l=3+l+bi=a+1—bi.由根于系數(shù)的關(guān)系有（2）設(shè)z=a+bi（a,由題意可得：（z+1）.=（a+1）2+b2二1.令a+1=cos0,b=sin0,,2n）.復數(shù)z所對應(yīng)的點為M,復數(shù)2-4i所對應(yīng)的點為N,|MN=G瀘十（“門8十4）*=V10si□十G）+2E€[4,6].【點評】本題考查實系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、共軛復數(shù)的性質(zhì)、三角函數(shù)求值、復數(shù)的幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬中檔題.（14分）如圖，圓錐的展開側(cè)面圖是一個半圓，BC、EF是底面圓0的兩條互相垂直的第第16頁（共20頁）D為頂點、直徑，D為母線AC的中點，已知過EF與DD為頂點、DO為對稱軸的拋物線的一部分（1）證明：圓錐的母線與底面所成的角為可⑵若圓錐的側(cè)面積為8n,求拋物線焦點到準線的距離.[:d-.]■:1:：■<!■■：:1?可得1=2r?即可求得圓錐的母線與底面所成的角為&D為原點，直線DO為x軸，建立（1,2）在物線y2=2px上，求得pD為原點，直線DO為x軸，建立（1,2）在物線y2=2px上，求得p空間直角坐標系，可設(shè)拋物線方程為y2=2px，點F即可.【解答】證明：（1）設(shè)圓錐底面半徑為r，母線為I.圓錐的展開側(cè)面圖是一個半圓,l=2r.圓錐的母線與底面所成的角為a.圓錐的母線與底面所成的角為3r=2,解：（2）°.圓錐的側(cè)面積為8n,urlr=2,BC、EF是底面圓O的兩條互相垂直的直徑，D為母線AC的中點,OD=在過EF與D的平面內(nèi)，以D為原點，直線DO為x軸，建立空間直角坐標系,可設(shè)拋物線方程為y2=2px,點F(1,2)在物線y2=2px上，p=2拋物線焦點到準線的距離為p=2.【點評】本題考查了圓錐的性質(zhì)，拋物線的方程及性質(zhì)，屬于中檔題.(16分)我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱之為塹堵：將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為陽馬；將四個面均為直角三角形的四面體稱之為鱉臑[biendo].某學校科學小組為了節(jié)約材料，擬依托校園內(nèi)垂直的兩面墻和地面搭建一個塹堵形的封閉的實驗室ABC-A1B1C1(圖1),A1ABB1是邊長為2的正方形.(1)若厶ABC是等腰三角形，在圖2的網(wǎng)格中(每個小方格都是邊長為1的正方形)畫出塹堵的三視圖；(2)若CiD丄A1B1,D在AiBi上，證明：CiD丄DB,并回答四面體DBB1C1是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，請說明理由；⑶當陽馬A1-C1CBB1的體積最大時，求點B1到平面A1BC的距離..1.1由AA1=2,點C到直線AB的距離為1，由此在圖2的網(wǎng)格中畫出塹堵的三視圖(2)由平面A1B1C1丄平面ABB1A1，且平面A1B1C1n平面ABB1A1=A1B1，得C[D丄平面ABB1A1，從而C1D丄DB,四面體DBB1C1是鱉臑，由此能求出結(jié)果.(3)當陽馬A1-C1CBB1的體積最大時，AC丄BC,且AC=BC=?，以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點B1到平面A1BC的距離.【解答】解：(1)解：△ABC是等腰三角形，由AB=2,得AC=BC=.f,又AA1=2,點C到直線AB的距離為1,第17頁（共20頁）第第2i頁（共20頁）第第2i頁（共20頁）在圖2的網(wǎng)格中畫出塹堵的三視圖，如圖所示（2）證明：如圖2所示，由平面AiBiCi丄平面ABBiAi，且平面AiBiCin平面ABB1A1=A1B1,C〔D?平面AiBiCi,CiD丄AiBi,-CiD丄平面ABBiAi,又BD?平面ABBiAi,-CiD丄DB;四面體DBBiCi是鱉臑，BDBi中，/BBiD是直角，△BBiCi中，/BBiCi是直角，BiCiD中，/BiDCi是直角，BCiD中，/BDCi是直角；（3）當陽馬Ai-CiCBBi的體積最大時，AC丄BC,且AC=BC=.'!,以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CCi為z軸，建立空間直角坐標系,Bi（0,血，2）,Ai（血，0,2）,B（0,櫃，0）,C（0,0,0）,CE；=（0,負’丄），ca；=（應(yīng)，°,2）,CB=（0,価，。），設(shè)平面AiBC的法向量ii=（x,y,z）.n'■CA=V2k+23=0貝［|__L取心伍,得席二點Bi到平面AiBC的距離:7n,,C&=>f2y點Bi到平面AiBC的距離:7Ini第第23頁（共20頁）第第23頁（共20頁）第第19頁(共20頁)正視左視tii，：|.j瓷兒陽馬、點到平面的距離等知識點，考查空間中線線、t視線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題(18分)設(shè)點P(Xo,yo)是拋物線r：皆4x上異于原點O的一點，過點P作斜率為ki、k2的兩條直線分別交r于A(Xi,力)、B%,y?兩點(P、A、B三點互不相同).⑴已知點Q(3,0),求|PQ|的最小值；⑵若yo=6,直線AB的斜率是k3,求丄丄的值；町句幻(3)若yo=2,當-「，二0時，B點的縱坐標的取值范圍.【分析】(1)由旳二』(切-卻5仟&,_2耳十9={(“一1宀3|,可得恥|的最小值;⑵設(shè)AP或BP的方程為y=k⑵設(shè)AP或BP的方程為y=k(x-9)+6,求得A((-?；⑶同理⑵可得),(211h1ki忑衣3)，即可得-的范圍,k21丄21.11klk2町k2幻一=1,，結(jié)合k1?k3二-k2k3幻496),B((3)kl說=3；從而求得B點的縱坐標的取值范圍.【解答】解:(1)|PQ|=J(切一刃文十y3_十臥°X0>0,.?當X°=1時，|PQ|的最小值2」；0—〕十?(2)可得P(9,6)設(shè)AP或BP的方程為y=k(x-9)+6,ry=kG-9j+62由口?ky2-24y+24-36k=o

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