1999考研數(shù)學(xué)一真題及答案解析

PAGEPAGE11999年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題(本題共5個(gè)小題，每小題3分，滿分15分。把正確答案填寫在題中橫線上。)(1)lim1x0 x2

1xtanx(2)

dxsinx2dx0y"4y

的通解為y設(shè)n階矩陣A的元素全為1A的nA,B和C滿足條件：ABC )P)P)

1,PBC)9,2 16則P二、選擇題(本題共5小題，每小題3分，滿分15分。每小題給出得四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，把所選項(xiàng)前的字母填在提后的括號內(nèi)。)設(shè)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)是的原函數(shù)，則( )當(dāng)F必是偶函數(shù)。當(dāng)F必是奇函數(shù)。F必是周期函數(shù)。F必是單調(diào)增函數(shù)。x1cosx,x0x設(shè)其中g(shù)(x)是有界函數(shù)，則在x0處( )g)x0極限不存在 極限存在，但不連連續(xù)，但不可導(dǎo) 可導(dǎo)

0x1

12a020

ax 其中n22x, x1 n12a 2

f)conxdn0,12,則

5等于( )n 0 21 1 3 3(A) (B) (C) (D)2 2 4 4A是mn矩陣，B是nm矩陣，則(A)當(dāng)mn時(shí)，必有行列式AB 0(B)當(dāng)mnAB0當(dāng)nm時(shí)，必有行列式AB0 當(dāng)nm時(shí)，必有行列式AB0XYN(0,1N(1,1，則PAGEPAGE2PXY

1. (B)PX+Y 1 1.2 2(C)PX-Y

1. (D)PX-Y1 1.2 2三、(本題滿分5分)yzy)和Ff和Fdz分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 。dx四、(本題滿分5分)求I dxcosyax其為正常數(shù)，L為從A2a,0L沿曲線y=O的弧.五、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)yxx0二階可導(dǎo)，且yx 0，y01過曲線yyx上任意一點(diǎn)P作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為S，區(qū)1間上以yyx為曲邊的曲邊梯形面積記為 S2yyx的方程.

，并設(shè)2S1

S恒為12六、(本題滿分6分)試證：當(dāng)x0時(shí)，

1lnx x12.七、(本題滿分6分)八、(本題滿分7分)x2 y2設(shè)S為橢球面2 2

2 1P)∈S,SP處的切平面，)O(0,0,0的距離，求S

z dS.為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口見圖，已知井深30m30m,抓斗自重400N纜繩每米重50N，抓斗抓起的污泥重2000N，提升速度為20N的速度從抓斗縫隙中漏掉，現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口，問克服重力需作多少焦耳的功？(說明：①1N1J;其中m分別表示米，牛頓，秒，焦耳；②抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不計(jì).)九、(本題滿分7分)設(shè)a 4n 0PAGEPAGE8求 1an

a 的值；n2n1n1

an收斂n十、(本題滿分8分)a設(shè)矩陣A 5

1cb 3其行列式A 又A的伴隨矩陣A*有一個(gè)特征值 ，屬01c0 a于 的一個(gè)特征向量為 (1,1,求abc和 的值.0 0十一、(本題滿分6分)設(shè)AmB為m實(shí)矩陣，B定矩陣的充分必要條件B的秩rB n.

BBTAB為正十二、(本題滿分8分)X與YX,YX和關(guān)于YYYXy1yy23PXxipix 118x2PYyp18161jj十三、(本題滿分6分)設(shè)總體X的概率密度為

6x( x30, 其他X,X1

,2

是取自總體X的簡單隨機(jī)樣本.n求$求$的方差D$.1999年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析分，滿分151.3【分析利用x 0的等價(jià)變換和洛必達(dá)法則求函數(shù)極.【詳解】方法1：lim1 1

limtanxxtanx:xlimtanxxx0

xtanx

x0x2x0 洛x1

limta2x

:xlim

x2 1x0 3x2

x0

x03x2 3方法2：lim1 1

lim1

cosx

xcosxx0x2 xtanx

x0

xsinx

x0 x2xlimsinxxcosx洛limcosxcosx1x0 x

3x2

x03x 3【答案】db【分析欲求 唯一的辦法是作變換，使含有中的x轉(zhuǎn)移到之外dxa【詳解令ux則dt du，所以有dx d0 dxsinx2dt siu2du siu2dusi2dx0 dxx dx0【答案】y

e21

C 1xx其中C2 4 1

為任意常數(shù).【分析】先求出對應(yīng)齊次方程的通解，再求出原方程的一個(gè)特解.【詳解】原方程對應(yīng)齊次方程y"4y0的特征方程為：2

4解得 2, 2，故1 2y"4y0y1

Ce2x 1

e2x,2由于非齊次項(xiàng)為x因此原方程的特解可設(shè)為Axe2x代入原方程可求得A1yy4

Ce21

C 1xe22 4【詳解】因?yàn)? 11 1EA...

...1...1...

(對應(yīng)元素相減)1 1... 1兩邊取行列式，1

1...1

n 1...11 1...1EA

n 1...1............

... .........1 1... 1 n 1... 1把第把第列

1行

1 1...1提取列 1 1...1行行 ( n) ( n)

...0的公因子

............L 1 1... 1行行 00...n)令EA n)0，得 重)， 重)，故矩A的n個(gè)特征值1 2是n和重)【答案】14【詳解】根據(jù)加法公式有PUBUC)P)P)P)P)P)P)P)因?yàn)镻P)P，設(shè)PP)P)pA,B兩兩相互獨(dú)立，所以有P)P)ppp2，P)P)ppp2，P)P)ppp2，又由于ABC ，因此有P)P()0,所以 PUBUC)P)P)P)P)P)P)P)pppp2 p2 p2 03p3p29 9 9又PUBUC) ，從而PUBUC)3p3p2 ，則有3p3p2 0p2

16 16 163 0，解得p3或p116 4 4因PP)P)p

1，故p

1，即P12 4 4二、選擇題A)【詳解】應(yīng)用函數(shù)定義判定函數(shù)的奇偶性、周期性和單調(diào)性.FF

xC于是0F(0

Cu

xf(u C.0當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，f(u) 從而有F(

x0

xC F0即F1x2是偶函數(shù)，但其原函數(shù)F1不是奇函數(shù)，可排3)x是周期函數(shù)，但其原函數(shù)F

1x12 4x在區(qū)間(,)內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)，但其原函數(shù)F非單調(diào)增函數(shù)，可排除(D).

1x2在區(qū)間(,)內(nèi)2D)【詳解】由于可導(dǎo)必連續(xù)，連續(xù)則極限必存在，可以從函數(shù)可導(dǎo)性入手.1f(0) 1cosx 2x2xxxx因?yàn)?xxxxx0 x0

lim lim 0,x0 x0f(0)

f(x)f(0)

limx2

limxg(x)0,x0 x

x0 x x0ff(0)0(D).C)【詳解】由題設(shè)知，應(yīng)先將從

1,1周期(周期2)延拓，進(jìn)一步展開為傅里葉級數(shù)，S(5)S(21)S(1)S1)(2 2 2 2而x1的間斷點(diǎn)，按狄利克雷定理有，21S()

1 1 1f( 0)f( 0) 12 2 2 3.2 2 2 4B【詳解】方法1A是mnB是nm矩陣，則AB是m階方陣，因)min)minm.當(dāng)m n時(shí)，有))]nm.0的系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè)故有行列式AB0，故應(yīng)選(B).方法2：B是nm矩陣,當(dāng)m n時(shí),則)n系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個(gè))，方程Bx0必有非零解，即存在x0

0Bx0

0，兩邊左乘AABx0

0，即ABx0有非零解，從而AB 0，故(B).方法3：用排除法

1 00m nAmn

,B0 n

00AB AB 0000nm，取Amn

10nm

,AB0AB 011nm，取Amn

10nm

,AB1，AB(B).0B因XY相互獨(dú)立，且X~N(0,1，Y~N(1,)所以T XY~N1 1

2),T1

XY~N(u,2)2 2其中u1

E(XY)，21

D(XY)，u2

E(XY)，22

DY)E1E2

)EY)EX EY 011，)EY)EX EY 01 1DY)DY)DXDY112DY)DXDY1121D)2所以 T1

XY~N(12)，T2

XY~N(出發(fā))A選項(xiàng)：PXY0 1.因T XY~N(12)2 1由標(biāo)準(zhǔn)化的定義：若X~N,2

Xu~N(0,1)2所以，2

XY1:N(0,1，將其標(biāo)準(zhǔn)化有PXY0

XY10

PXY1 12222又因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖像是關(guān)于y軸對稱，所以22222PXY12

1，而2

XY1

1 12，所以A錯.222B選項(xiàng)：PXY1 1.2222故B正確.

XY1112 222

PXY10

1(根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的對稱性)2C選項(xiàng)：PXY0 1.2

XY(1)0(1)

PXY1 1 122222

，故C錯.22D選項(xiàng)：PXY1 1.22222PXY1)1(1)22

XY1 2 122P D222三【詳解】分別在zy)和F)0的兩端對x求導(dǎo)數(shù)，得dzf(x,y)x1dyf(x,y)dx dxF FdyFdz0x y

zdxPAGEPAGE11整理后得

xfdzdxdx

f(x,y)xf(x,y)Fdyydxxf fxf fxfF Fy xxf 1F Fy zdz

Fdzzdx

Fx(fxfy

z

0)dx Fy

y zz四【詳解】方法1：湊成閉合曲線，應(yīng)用格林公式.添加從點(diǎn)Oy0A2a,0的有向直I Q

dxdy a2a)1 x y 2D D其中D為L1

+L所圍成的半圓域，后一積分選擇x為參數(shù)，得L:1x,0x2a,0可直接積分

2a2a2b，故III

2a2b a3.線段L則1Ie線段L則1IexdxexcosyaxdyLexy)dxexcosyaxdyL1利用格林公式，前一積分方法2：將曲線積分分成兩部分，其中一部分與路徑無關(guān)，余下的積分利用曲線的參數(shù)方程計(jì)算.I exdxexcosyaxdyLexexcosydy axdyL L前一積分與路徑無關(guān)，所以exexcosydyex(0,0) 0L (2a,0)對后一積分，取L的參數(shù)方程xaadx ，則 ，t從0到，得yadyaaxdyL(a2bsita2bsicota2bsi2ta3cota3co2dt01 12a2b a2b a32 2從而 I0(2a2b

1 1a2b a3) 2a2b a32 2 2 2五【詳解】如圖，曲線yP處的切線方程為Yy又S x2 0根據(jù)題設(shè)2S

1,即2g

x兩邊對x求導(dǎo)并化簡得y'21 2 2y'0這是可降階得二階常微分方程，令pyy

dpdpdy dpg p ，dxdydx dydp dpdy dy則上述方程可化為ypdy

分離變量得 ，解得pp y

即 C1 dx 1從而有 yCex1

C，根據(jù) y(0)'(0)可得C 0,2 1 2故所求曲線得方程為yex六【詳解】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，證法1：令

1x

2.易知f(1)0所以切線與所以切線與x軸的交點(diǎn)為xy,0y'由于y)0(0)1因此)0x0)于是S 1yxx12yy'y22y'.又 f2xlnxx21,f(1)0xf2lnx11,f(1)20x2f(x)

1)x3可見，當(dāng)0x1

f0 f0；當(dāng)1x 時(shí)，ff因此，f(1)2為f的最小值，即當(dāng)0x 時(shí)，ff(1)20，以f為單調(diào)增函.又因?yàn)閒(1)0，所以有0x1時(shí)f0；1x 時(shí)f0，所以利用函數(shù)單調(diào)性可知，f為f)的最小值，即f)f(1)0所以有x0時(shí)，

1lnx x12.證法2：先對要證的不等式作適當(dāng)變形，當(dāng)x1時(shí)，原不等式顯然成立；當(dāng)0x1時(shí)，原不等式等價(jià)于lnxx1;x1當(dāng)1x 時(shí)，原不等式等價(jià)于令 xx

x1;x1則 f

1 2 x2 1 0x0x x12 xx12又因?yàn)閒(1)0,利用函數(shù)單調(diào)性可知當(dāng)0x1時(shí)，即lnxx當(dāng)1x 時(shí)，即lnxx1;x1 x1綜上所述，當(dāng)x0時(shí)，

1lnx x12.WW400N30m12000J.1將抓斗由x處提升到xdx處，克服纜繩重力所作的功為dW250(30從而W3050(30022500J.2七【詳解】建立坐標(biāo)軸如圖所示，解法1：將抓起污泥的抓斗提升至井口需做W W W W，其中W是克服抓斗自重所作1 2 3 1的功；W是克服纜繩重力作的功；W2 3在時(shí)間間隔內(nèi)提升污泥需做功為PAGEPAGE17dW (原始污泥重漏掉污泥重）3(2000將污泥從井底提升至井口共需時(shí)間

30m 3m/s所以 W3

103(200057000J.0因此，共需做功W W W1 2

W2250091500J3解法2W，當(dāng)抓斗運(yùn)動到x包括抓斗的自重400N纜繩的重力50(30，污泥的重力

x3即 40050(30

20x

1703 330 170 85于是 W 3900 xdx3900x x20 3 3 0

1170002450091500J八【分析】先寫出切平面方程，然后求(x,y,z)，最后將曲面積分化成二重積分.r【詳解】點(diǎn)PS，S在點(diǎn)P處的法向量為n ，設(shè))為上任意一點(diǎn)，則的方程為0，化簡得xX

yYzZ1由點(diǎn)到平面的公式，O(0,0,0到的距離

2 2xxx2yy2zz(2x(y2AxByCzA2 B2 AxByCzA2 B2 C24 4zx24zx24y24zdS2(x,y,z)S S用投影法計(jì)算此第一類曲面積分將S投影到xOy平面其投影域?yàn)镈

y2 2由曲面方程知z

x2 y2 D,于是2于是21x22y21x22y22x

221x221x22y22y421x2 y2x2 421x2 y2x2 y22 2因此 dS 1 d x yzx24zx24y24zdS2(x,y,z)S S1 12 2 34x2 y2d極坐標(biāo) d (4.4 40 0 2D1 1 1九【詳解(1)因?yàn)?a a

44

xse2

xdxnn n

n0 n014

1 1t 1xdt 1又由部分和數(shù)列

n0 n0

1)S n1a

n 1 n 1 1 1( )1 ,n ii i

1) ii1 n1有 n

i1 i1 i11,n因此 1a a 1.nn n2n1(2)先估計(jì)a的值，因?yàn)閚dta 4xdx，令t，則dtxdx，即n 0

1所以 a

1

1dt ,n 010 n1a所以 n

1 1,n n1)n11 a由于 10，所以nn1

收斂，從而1n1

n也收斂.n詳解】根據(jù)題設(shè)，A*有一個(gè)特征值 ，屬于 的一個(gè)特征向量為 (1,1,,根據(jù)0 0特征值和特征向量的概念，有A* ,0把A 1代入AA

AEAA

AE E則AA*

E A*0代入，于是AA*

A A,即 A0 0 0a 1c 1 1 a1c 1也即 5 b 30

1 1， 5b3 101c0 a 1 1 (1a 1a1a1c乘以矩陣5b3，需用(1c)a0 0a1c5b0

(a110(5b3) 10(1

[(1a] 10矩陣相等，則矩陣的對應(yīng)元素都相同，可得1c)1(1)1c)1(1)b3)1(2)ca)10(50(1A0A因A 10，A的特征值 0，A*的特征值*

0，故 00(1),((a1(1ca)，0 0兩邊同除 ，得 a1c (1ca)0整理得ac，代中，得 1.再把 1代入中得b 30 0又由A 1，b 3以及ac，有a1aa1aaa1aA5333行1行5332列1列5231a0 a11010013

a1a2 3

(131，1)2aa3 1故ac2,因此a2, 1.0十一【詳解】BTAB為正定矩陣，則由定義知，對任意的實(shí)n維列向量x0，有BTABx0,

TABx 于是，Bx0n維列向量x0Bx0.(Bx0則AA00矛盾).因此0只有零解故有rB n(Bx0有唯一零解的充要條件是rB n).A為m階實(shí)對稱矩陣，則ATA，故BTABTBTATBBTAB根據(jù)實(shí)對稱矩陣的定義知BTABrBn，則線性方程組Bx0只有零解，從而對任意的實(shí)n維列向量x0，有Bx0A為正定矩陣，所以對于Bx0有BxTABx BTABx0,故BTABn維列向量x0，有BTABx0).十二【詳解】離散型隨機(jī)變量邊緣分布律的定義：p PX

PX x

pi1,2Li i i j ijp PY

j PX xy

p,j1,2Lj j i j iji iX的邊緣分布時(shí)，就把對應(yīng)xy都加起來，同理求關(guān)于Y的邊緣分布時(shí)，就把對應(yīng)y的所有x故PY y p PX xy p 即1 1 i 1 i iPY

PX x

PX

,Yy1而由表知PY y

11，PX

1y

2 11，所以1 6 2 1 8PX x

PY

PX

11 11 1

2 1 6824XY相互獨(dú)立，則有：

PXxPXxyPXxPYyijijij i j因PX xy 1，PY y 1，而PX xy

PX xPYy1 1 24 1 61

1 1 1 1PX x

241所以PX x1

1 11PY y 1 416再由邊緣分布的定義有PX

PX x

PX x

PX xy1 1 1 1 2 1 3所以 PX xy PX x PX xy PX xy1 3 1 1 1 1 21111424812又由獨(dú)立性知PX xy PX xPY y1 3 1 31PX x

121所以 PY y3

1 31PX