2023屆四川省廣元市四川師范大學附屬萬達中學高三下學期聯考數學試題（含答案解析）

2023高考數學模擬試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經過點，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．2．函數的圖象為C，以下結論中正確的是（）①圖象C關于直線對稱；②圖象C關于點對稱；③由y=2sin2x的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C.A．① B．①② C．②③ D．①②③3．已知為定義在上的奇函數，且滿足當時，，則（）A． B． C． D．4．對于定義在上的函數，若下列說法中有且僅有一個是錯誤的，則錯誤的一個是（）A．在上是減函數 B．在上是增函數C．不是函數的最小值 D．對于，都有5．已知正項等比數列的前項和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．6．已知雙曲線的離心率為，拋物線的焦點坐標為，若，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B．C． D．7．已知、，，則下列是等式成立的必要不充分條件的是（）A． B．C． D．8．已知，，那么是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件9．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件10．已知點是拋物線：的焦點，點為拋物線的對稱軸與其準線的交點，過作拋物線的切線，切點為，若點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．11．已知數列為等差數列，為其前項和，，則（）A．7 B．14 C．28 D．8412．設函數，若在上有且僅有5個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知非零向量的夾角為，且，則______.14．已知雙曲線的一條漸近線為,則焦點到這條漸近線的距離為_____．15．的展開式中的常數項為_______．16．已知等邊三角形的邊長為1．,點、分別為線段、上的動點,則取值的集合為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知動點到定點的距離比到軸的距離多.（1）求動點的軌跡的方程；（2）設，是軌跡在上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當，變化且時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（是參數），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求直線與曲線的普通方程，并求出直線的傾斜角；（2）記直線與軸的交點為是曲線上的動點，求點的最大距離.19．（12分）已知在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線與直線的直角坐標方程；（2）若曲線與直線交于兩點，求的值.20．（12分）如圖，三棱柱中，平面，，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）一張邊長為的正方形薄鋁板（圖甲），點，分別在，上，且（單位：）.現將該薄鋁板沿裁開，再將沿折疊，沿折疊，使，重合，且重合于點，制作成一個無蓋的三棱錐形容器（圖乙），記該容器的容積為（單位：），（注：薄鋁板的厚度忽略不計）（1）若裁開的三角形薄鋁板恰好是該容器的蓋，求，的值；（2）試確定的值，使得無蓋三棱錐容器的容積最大.22．（10分）[選修45：不等式選講]已知都是正實數，且，求證:．

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【答案解析】

先根據平面的基本性質確定平面，然后利用面面平行的性質定理，得到截面的形狀再求解.【題目詳解】如圖所示：確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【答案點睛】本題主要考查平面的基本性質，面面平行的性質定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.2．B【答案解析】

根據三角函數的對稱軸、對稱中心和圖象變換的知識，判斷出正確的結論.【題目詳解】因為，又，所以①正確.，所以②正確.將的圖象向右平移個單位長度，得，所以③錯誤.所以①②正確，③錯誤.故選:B【答案點睛】本小題主要考查三角函數的對稱軸、對稱中心，考查三角函數圖象變換，屬于基礎題.3．C【答案解析】

由題設條件，可得函數的周期是，再結合函數是奇函數的性質將轉化為函數值，即可得到結論.【題目詳解】由題意，，則函數的周期是，所以，，又函數為上的奇函數，且當時，，所以，.故選：C.【答案點睛】本題考查函數的周期性，由題設得函數的周期是解答本題的關鍵，屬于基礎題.4．B【答案解析】

根據函數對稱性和單調性的關系，進行判斷即可．【題目詳解】由得關于對稱，若關于對稱，則函數在上不可能是單調的，故錯誤的可能是或者是，若錯誤，則在，上是減函數，在在上是增函數，則為函數的最小值，與矛盾，此時也錯誤，不滿足條件．故錯誤的是，故選：．【答案點睛】本題主要考查函數性質的綜合應用，結合對稱性和單調性的關系是解決本題的關鍵．5．C【答案解析】

由可得，故可求的值.【題目詳解】因為，所以，故，因為正項等比數列，故，所以，故選C.【答案點睛】一般地，如果為等比數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）公比時，則有，其中為常數且；（3）為等比數列（）且公比為.6．A【答案解析】

求出拋物線的焦點坐標，得到雙曲線的離心率，然后求解a，b關系，即可得到雙曲線的漸近線方程．【題目詳解】拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點坐標為（1，0），則p＝2，又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以雙曲線的漸近線方程為：y＝±．故選：A．【答案點睛】本題考查雙曲線的離心率以及雙曲線漸近線方程的求法，涉及拋物線的簡單性質的應用．7．D【答案解析】

構造函數，，利用導數分析出這兩個函數在區(qū)間上均為減函數，由得出，分、、三種情況討論，利用放縮法結合函數的單調性推導出或，再利用余弦函數的單調性可得出結論.【題目詳解】構造函數，，則，，所以，函數、在區(qū)間上均為減函數，當時，則，；當時，，.由得.①若，則，即，不合乎題意；②若，則，則，此時，，由于函數在區(qū)間上單調遞增，函數在區(qū)間上單調遞增，則，；③若，則，則，此時，由于函數在區(qū)間上單調遞減，函數在區(qū)間上單調遞增，則，.綜上所述，.故選：D.【答案點睛】本題考查函數單調性的應用，構造新函數是解本題的關鍵，解題時要注意對的取值范圍進行分類討論，考查推理能力，屬于中等題.8．B【答案解析】

由，可得，解出即可判斷出結論．【題目詳解】解：因為，且．，解得．是的必要不充分條件．故選：．【答案點睛】本題考查了向量數量積運算性質、三角函數求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．9．A【答案解析】

首先利用二倍角正切公式由，求出，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可；【題目詳解】解：∵，∴可解得或，∴“”是“”的充分不必要條件.故選：A【答案點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，二倍角正切公式的應用是解決本題的關鍵，屬于基礎題．10．D【答案解析】

根據拋物線的性質，設出直線方程，代入拋物線方程，求得k的值，設出雙曲線方程，求得2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，利用雙曲線的離心率公式求得e．【題目詳解】直線F2A的直線方程為：y＝kx，F1（0，），F2（0，），代入拋物線C：x2＝2py方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，∴A（p，），設雙曲線方程為：1，丨AF1丨＝p，丨AF2丨p，2a＝丨AF2丨﹣丨AF1丨＝（1）p，2c＝p，∴離心率e1，故選：D．【答案點睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質，考查轉化思想，考查計算能力，屬于中檔題．11．D【答案解析】

利用等差數列的通項公式，可求解得到，利用求和公式和等差中項的性質，即得解【題目詳解】，解得．．故選：D【答案點睛】本題考查了等差數列的通項公式、求和公式和等差中項，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.12．A【答案解析】

由求出范圍，結合正弦函數的圖象零點特征，建立不等量關系，即可求解.【題目詳解】當時，，∵在上有且僅有5個零點，∴，∴.故選:A.【答案點睛】本題考查正弦型函數的性質，整體代換是解題的關鍵，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【答案解析】

由已知條件得出,可得，解之可得答案.【題目詳解】向量的夾角為,且,,可得:,

可得,

解得，

故答案為:1.【答案點睛】本題考查根據向量的數量積運算求向量的模，關鍵在于將所求的向量的模平方，利用向量的數量積化簡求解即可，屬于基礎題.14．2.【答案解析】

由雙曲線的一條漸近線為，解得．求出雙曲線的右焦點，利用點到直線的距離公式求解即可．【題目詳解】雙曲線的一條漸近線為解得：雙曲線的右焦點為焦點到這條漸近線的距離為：本題正確結果：【答案點睛】本題考查了雙曲線和的標準方程及其性質，涉及到點到直線距離公式的考查，屬于基礎題．15．【答案解析】

寫出展開式的通項公式，考慮當的指數為零時，對應的值即為常數項.【題目詳解】的展開式通項公式為：，令，所以，所以常數項為.

故答案為：.【答案點睛】本題考查二項展開式中指定項系數的求解，難度較易.解答問題的關鍵是，能通過展開式通項公式分析常數項對應的取值.16．【答案解析】

根據題意建立平面直角坐標系,設三角形各點的坐標,依題意求出,,,的表達式,再進行數量積的運算,最后求和即可得出結果.【題目詳解】解:以的中點為坐標原點,所在直線為軸,線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標系,如圖所示,則,,,,則,,,設,,,即點的坐標為,則,,,所以故答案為:【答案點睛】本題考查平面向量的坐標表示和線性運算,以及平面向量基本定理和數量積的運算,是中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）或；（2）證明見解析，定點【答案解析】

（1）設，由題意可知，對的正負分情況討論，從而求得動點的軌跡的方程；（2）設其方程為，與拋物線方程聯立，利用韋達定理得到，所以，所以直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點．【題目詳解】（1）設，動點到定點的距離比到軸的距離多，，時，解得，時，解得.動點的軌跡的方程為或（2）證明：如圖，設，，由題意得（否則）且，所以直線的斜率存在，設其方程為，將與聯立消去，得，由韋達定理知，，①顯然，，，，將①式代入上式整理化簡可得：，所以，此時，直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點.【答案點睛】本題主要考查了動點軌跡，考查了直線與拋物線的綜合，是中檔題．18．（1），，直線的傾斜角為（2）【答案解析】

（1）由公式消去參數得普通方程，由公式可得直角坐標方程后可得傾斜角；（2）求出直線與軸交點，用參數表示點坐標，求出，利用三角函數的性質可得最大值．【題目詳解】（1）由，消去得的普通方程是：由，得，將代入上式，化簡得直線的傾斜角為（2）在曲線上任取一點，直線與軸的交點的坐標為則當且僅當時，取最大值.【答案點睛】本題考查參數方程與普通方程的互化，考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，屬于基礎題．求兩點間距離的最值時，用參數方程設點的坐標可把問題轉化為三角函數問題．19．（1）曲線的直角坐標方程為；直線的直角坐標方程為（2）【答案解析】

（1）由公式可化極坐標方程為直角坐標方程，消參法可化參數方程為普通方程；（2）聯立兩曲線方程，解方程組得兩交點坐標，從而得兩點間距離．【題目詳解】解：（1）曲線的直角坐標方程為直線的直角坐標方程為（2）據解，得或【答案點睛】本題考查極坐標與直角坐標的互化，考查參數方程與普通方程的互化，屬于基礎題．20．（1）詳見解析；（2）.【答案解析】

（1）連接，，則且為的中點，又∵為的中點，∴，又平面，平面，故平面．（2）由平面，得，．以為原點，分別以，，所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，，，，．取平面的一個法向量為，由，得：，令，得同理可得平面的一個法向量為∵平面平面，∴解得，得，又，設直線與平面所成角為，則.所以，直線與平面所成角的正弦值是．21．（1），；（2）當值為時，無蓋三棱錐容器的容積最大.【答案解析】

（1）由已知求得，求得三角形的面積，再由已知得到平面，代入三棱錐體積公式求的值；（2）由題意知，在等腰三角形中，，則，，寫出三角形面積，求其平方導數的最值