蒙特卡羅方法課件1

在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽不會從西邊升起”,1.確定性現(xiàn)象

“可導(dǎo)必連續(xù)”,“水從高處流向低處”,實例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象\隨機(jī)現(xiàn)象一、隨機(jī)現(xiàn)象

確定性現(xiàn)象的特征:

條件完全決定結(jié)果在一定條件下必然發(fā)生“太陽不會從西邊升起”,1.確在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2.隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實例11.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果;3.進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)(結(jié)果無法預(yù)知）.定義在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機(jī)試驗.二、隨機(jī)試驗1.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.三、常用概念及定理1、隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量2、數(shù)學(xué)期望：即均值3、方差：即隨機(jī)變量相對于其數(shù)學(xué)期望的偏離程度4、大數(shù)定理：即當(dāng)n趨于無限大時，隨機(jī)變量的平均值將穩(wěn)定于某值（真值）。5、中心極限定理:即討論隨機(jī)變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布的條件。

三、常用概念及定理1、隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量2MonteCarlo方法：亦稱統(tǒng)計模擬方法，statisticalsimulationmethod

利用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬的方法§2蒙特卡羅方法概述---引言又稱隨機(jī)抽樣技巧或統(tǒng)計試驗方法。半個多世紀(jì)以來，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計算機(jī)的發(fā)明，這種方法作為一種獨立的方法被提出來，并首先在核武器的試驗與研制中得到了應(yīng)用。蒙特卡羅方法是一種計算方法，但與一般數(shù)值計算方法有很大區(qū)別。它是以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)的一種方法。MonteCarlo模擬的應(yīng)用：自然現(xiàn)象的模擬：宇宙射線在地球大氣中的傳輸過程；高能物理實驗中的核相互作用過程；數(shù)值分析：利用MonteCarlo方法求積分MonteCarlo方法：亦稱統(tǒng)計模擬方法，statistMonteCarlo方法簡史簡單地介紹一下MonteCarlo方法的發(fā)展歷史1、Buffon投針實驗：1768年，法國數(shù)學(xué)家ComtedeBuffon利用投針實驗估計的值dLMonteCarlo方法簡史簡單地介紹一下MonteCaBuffon投針實驗(1777年）求π:１．平行線間距＝a,，針長=l為了避免針與兩條線相交，設(shè)0<l<a(針的中點）２．針與平行線垂直方向夾角為α，顯然然，則該事件所有可能的集為：３．N→∞大數(shù)定理4.aBuffon投針實驗(1777年）求π:１．平行線間距＝a,一些人進(jìn)行了實驗，其結(jié)果列于下表：實驗者年份投計次數(shù)π的實驗值沃爾弗(Wolf)185011203.1596史密思(Smith)185532043.1553福克斯(Fox)189434053.1419拉查里尼(Lazzarini)190150003.1415929一些人進(jìn)行了實驗，其結(jié)果列于下表：實驗者年份投計次數(shù)π的沃MonteCarlo模擬的步驟：根據(jù)欲研究的物理系統(tǒng)的性質(zhì)，建立能夠描述該系統(tǒng)特性的理論模型，導(dǎo)出該模型的某些特征量的概率密度函數(shù)；從概率密度函數(shù)出發(fā)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，得到特征量的一些模擬結(jié)果；對模擬結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)，預(yù)言物理系統(tǒng)的某些特性。針與線的相交情況MonteCarlo模擬的步驟：根據(jù)欲研究的物理系統(tǒng)的性質(zhì)注意以下兩點：MonteCarlo方法與數(shù)值解法的不同:MonteCarlo方法利用隨機(jī)抽樣的方法來求解物理問題;數(shù)值解法:從一個物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型出發(fā),通過求解一系列的微分方程來的導(dǎo)出系統(tǒng)的未知狀態(tài);MonteCarlo方法并非只能用來解決包含隨機(jī)的過程的問題:許多利用MonteCarlo方法進(jìn)行求解的問題中并不包含隨機(jī)過程例如:用MonteCarlo方法計算定積分.

對這樣的問題可將其轉(zhuǎn)換成相關(guān)的隨機(jī)過程,然后用MonteCarlo方法進(jìn)行求解注意以下兩點：MonteCarlo方法與數(shù)值解法的不同:MMonteCarlo算法的主要組成部分概率密度函數(shù)(pdf)—必須給出描述一個物理系統(tǒng)的一組概率密度函數(shù);隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器—能夠產(chǎn)生在區(qū)間[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)抽樣規(guī)則—如何從在區(qū)間[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)出發(fā),隨機(jī)抽取服從給定的pdf的隨機(jī)變量;模擬結(jié)果記錄—記錄一些感興趣的量的模擬結(jié)果誤差估計—必須確定統(tǒng)計誤差（或方差）隨模擬次數(shù)以及其它一些量的變化；減少方差的技術(shù)—利用該技術(shù)可減少模擬過程中計算的次數(shù)；并行和矢量化—可以在先進(jìn)的并行計算機(jī)上運(yùn)行的有效算法MonteCarlo算法的主要組成部分概率密度函數(shù)(pdf§2蒙特卡羅方法概述---基本思想基本思想：

針對待求問題，根據(jù)物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計規(guī)律，或人為構(gòu)造一合適的依賴隨機(jī)變量的概率模型，使某些隨機(jī)變量的統(tǒng)計量為待求問題的解，進(jìn)行大統(tǒng)計量（N→∞）的統(tǒng)計實驗方法或計算機(jī)隨機(jī)模擬方法。

理論依據(jù)：

大數(shù)定理：均勻分布的算術(shù)平均收斂于真值中心極限定理：置信水平下的統(tǒng)計誤差兩個例子：

Buffen投針實驗求π（如前所述）射擊問題（打靶游戲）§2蒙特卡羅方法概述---基本思想基本思想：理論依據(jù)：兩1.設(shè)r表示射擊運(yùn)動員彈著點到靶心的距離，ｇ(r)表示擊中r處相應(yīng)的得分?jǐn)?shù)（環(huán)數(shù)），f(r)為該運(yùn)動員彈著點的分布密度函數(shù)，它們反映運(yùn)動員的射擊水平。該運(yùn)動員的射擊成績?yōu)椋海?用概率語言來說，<g>是隨機(jī)變量ｇ(r)的數(shù)學(xué)期望，即３.假設(shè)該運(yùn)動員進(jìn)行了Ｎ次射擊，每次射擊的彈著點依次為r1，r2，…，rN，則Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算術(shù)平均值代表了該運(yùn)動員的成績射擊問題（打靶游戲）1.設(shè)r表示射擊運(yùn)動員彈著點到靶心的距離，ｇ(r)表示擊中r４.當(dāng)N趨于無窮大，則<g>=例如，設(shè)射擊運(yùn)動員的彈著點分布為環(huán)數(shù)78910概率0.10.20.30.5用計算機(jī)作隨機(jī)試驗（射擊）的方法為，選取一個隨機(jī)數(shù)ξ（Zeta），按右邊所列方法判斷得到成績。這樣，就進(jìn)行了一次隨機(jī)試驗（射擊），得到了一次成績ｇ(r)，作Ｎ次試驗后，得到該運(yùn)動員射擊成績的近似值

４.當(dāng)N趨于無窮大，則<g>=例如，設(shè)射擊運(yùn)動員的彈著點分布

收斂性:大數(shù)定理作為所求解的近似值。由大數(shù)定律可知，如果X1，X2，…，XN獨立同分布，且具有有限期望值（E(X)<∞），則

即隨機(jī)變量X的簡單子樣的算術(shù)平均值，當(dāng)子樣數(shù)Ｎ充分大時，以概率1收斂于它的期望值E(X)。由前面介紹可知，蒙特卡羅方法是由隨機(jī)變量X的簡單子樣X1，X2，…，XN的算術(shù)平均值：§2蒙特卡洛方法概述---大數(shù)定理收斂性:大數(shù)定理作為所求解的近似值。由大數(shù)定律可知，如果Xf(x)是X的分布密度函數(shù)。則當(dāng)N充分大時，有如下的近似式蒙特卡羅方法的近似值與真值的誤差問題，概率論的中心極限定理給出了答案。該定理指出，如果隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN獨立同分布，且具有有限非零的方差σ2

，即§2蒙特卡洛方法概述---中心極限定理其中α稱為置信度，1－α稱為置信水平。這表明，不等式近似地以概率1－α成立，且誤差收斂速度的階為：O(N-1/2)f(x)是X的分布密度函數(shù)。則當(dāng)N充分大時，有如下的近似式蒙上式中λα與置信度α是一一對應(yīng)的，根據(jù)問題的要求確定出置信水平后，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，就可以確定出λα

。通常，蒙特卡羅方法的誤差ε（Epsilon）定義為給出幾個常用的α與λα

的數(shù)值：α0.50.050.003λα

0.67451.963兩點說明：(1)MC方法的誤差為概率誤差，這與其他數(shù)值計算方法是有區(qū)別的。(2)誤差中的均方差σ是未知的，必須使用其估計值來代替，在計算所求量的同時，可計算出估計值。上式中λα與置信度α是一一對應(yīng)的，根據(jù)問題的要求確定出置信水（2）減小估計的均方差σ，比如降低一半，那誤差就減小一半，這相當(dāng)于N增大四倍的效果。

減小方差的各種技巧:（1）增大試驗次數(shù)N。在σ固定的情況下，要把精度提高一個數(shù)量級，試驗次數(shù)N需增加兩個數(shù)量級。因此，單純增大N不是一個有效的辦法。顯然當(dāng)給定置信度α（λα）后，誤差ε由σ和N決定。要減小ε：§2蒙特卡洛方法該概述---減小誤差

效率:一般來說，降低方差的技巧，往往會使觀察一個子樣的時間增加。在固定時間內(nèi)，使觀察的樣本數(shù)減少。所以，一種方法的優(yōu)劣，需要由方差和觀察一個子樣的費用（使用計算機(jī)的時間）兩者來衡量。這就是MC方法中效率的概念。它定義為σ2c

，其中c是觀察一個子樣的平均費用。顯然σ2c越小，方法越有效。（2）減小估計的均方差σ，比如降低一半，那誤差就減小一半，這（1）能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點及物理實驗過程§2蒙特卡羅方法概述---MC優(yōu)點從這個意義上講，蒙特卡羅方法可以部分代替物理實驗，甚至可以得到物理實驗難以得到的結(jié)果。用蒙特卡羅方法解決實際問題，可以直接從實際問題本身出發(fā)，而不從方程或數(shù)學(xué)表達(dá)式出發(fā)。它具有直觀、形象的特點。（2）受幾何條件限制小計算s維空間中的任一區(qū)域Ds上的積分：無論區(qū)域Ds的形狀多么特殊，只要能給出描述Ds的幾何特征的條件，就可以從Ds中均勻產(chǎn)生N個點：（1）能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點及物理實驗過因此，在具有隨機(jī)性質(zhì)的問題中，如考慮的系統(tǒng)形狀很復(fù)雜，難以用一般數(shù)值方法求解，而使用蒙特卡羅方法，不會有原則上的困難。其中Ds為區(qū)域Ds的體積。這是數(shù)值方法難以作到的。得到積分的近似值：（3）收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)由誤差定義可知，在給定置信水平情況下，MC方法的誤差為O(N-1/2)

，與問題本身的維數(shù)無關(guān)。維數(shù)的變化，只引起抽樣時間及估計量計算時間的變化，不影響誤差。這一特點，決定了蒙特卡羅方法對多維問題的適應(yīng)性。而一般數(shù)值方法，比如計算定積分時，計算時間隨維數(shù)的冪次方而增加，而且由于分點數(shù)與維數(shù)的冪次方成正比，需占用相當(dāng)數(shù)量的計算機(jī)內(nèi)存，這些都是一般數(shù)值方法計算高維積分時難以克服的問題。因此，在具有隨機(jī)性質(zhì)的問題中，如考慮的系統(tǒng)形狀很復(fù)雜，難以用（4）具有同時計算多個方案與多個未知量的能力（2）使用蒙特卡羅方法還可以同時得到若干個所求量。（1）對于那些需要計算多個方案的問題，使用蒙特卡羅方法有時不需要像常規(guī)方法那樣逐個計算，而可以同時計算所有的方案，其全部計算量幾乎與計算一個方案的計算量相當(dāng)。（5）誤差容易確定根據(jù)蒙特卡羅方法的誤差公式，可以在計算所求量的同時計算出誤差（6）程序結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)在計算機(jī)上進(jìn)行蒙特卡羅方法計算時，程序結(jié)構(gòu)簡單，分塊性強(qiáng)，易于實現(xiàn)。（4）具有同時計算多個方案與多個未知量的能力（2）使用蒙特卡（1）收斂速度慢（2）誤差具有概率性蒙特卡羅方法的收斂速度為O(N-1/2)

，一般不容易得到精確度較高的近似結(jié)果。對于維數(shù)少（三維以下）的問題，不如其他方法好。由于蒙特卡羅方法的誤差是在一定置信水平下估計的，所以它的誤差具有概率性，而不是一般意義下的誤差?！?蒙特卡羅方法概述---MC缺點（3）計算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)例如在粒子輸運(yùn)問題中:經(jīng)驗表明，只有當(dāng)系統(tǒng)的大小與粒子的平均自由程可以相比較時（一般在十個平均自由程左右），蒙特卡羅方法計算的結(jié)果較為滿意。但對于大系統(tǒng)或小概率事件的計算問題，計算結(jié)果往往比真值偏低。在使用蒙特卡羅方法時，可以考慮把蒙特卡羅方法與解析（或數(shù)值）方法相結(jié)合，取長補(bǔ)短，既能解決解析（或數(shù)值）方法難以解決的問題，也可以解決單純使用蒙特卡羅方法難以解決的問題。（1）收斂速度慢（2）誤差具有概率性蒙特卡羅方法的收斂速度為由具有已知分布的總體中抽取簡單子樣，在蒙特卡羅方法中占有非常重要的地位。總體和子樣的關(guān)系，屬于一般和個別的關(guān)系，或者說屬于共性和個性的關(guān)系?！?隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生和檢驗—產(chǎn)生蒙特卡羅模擬就是邊產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)邊進(jìn)行隨機(jī)模擬的方法區(qū)分：數(shù)列的隨機(jī)性和隨機(jī)數(shù)的分布一個完美的隨機(jī)數(shù)序列可能具有某種分布（如均勻分布，高斯分布等），但具有某種分布的數(shù)列卻可能完全不是隨機(jī)的。由具有已知分布的總體中抽取簡單子樣，在蒙特卡羅方法中占有非常進(jìn)行計算機(jī)模擬需要大樣本的均勻分布隨機(jī)數(shù)數(shù)列，如何獲得？真隨機(jī)數(shù)：由隨機(jī)物理過程來產(chǎn)生，例如：放射性衰變、電子設(shè)備的熱噪音、 宇宙射線的觸發(fā)時間等。

偽隨機(jī)數(shù)：由計算機(jī)按遞推公式大量產(chǎn)生，常見的方法有馮.諾曼平方取中法和乘加同余法

進(jìn)行計算機(jī)模擬需要大樣本的均勻分布隨機(jī)數(shù)數(shù)列，如何獲得？真隨如：擲篩子游戲，投擲硬幣

用物理方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列無法重復(fù)實現(xiàn)，不能進(jìn)行程序復(fù)算，給驗證結(jié)果帶來很大困難。而且，需要增加隨機(jī)數(shù)發(fā)生器和電路聯(lián)系等附加設(shè)備，費用昂貴。因此，該方法也不適合在計算機(jī)上使用?！?偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生和檢驗---物理方法在計算機(jī)上用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的基本原理是：利用某些物理現(xiàn)象，在計算機(jī)上增加某些特殊設(shè)備，可以在計算機(jī)上直接產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。這些特殊設(shè)備稱為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器。真隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生：不可重復(fù)，物理方法產(chǎn)生。如：擲篩子游戲，投擲硬幣用物理方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列無法重（1）馮·諾伊曼平方取中法遞推公式：以十進(jìn)制數(shù)為例，平方取中法是把一個2S位的十進(jìn)制自平方后，去頭截尾只保留中間2S個數(shù)字，然后用102S來除，這樣就可以得到在[0,1]上均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)序列。

例如，設(shè)十進(jìn)制數(shù)的2S=4，并取x1=6406，則有：相應(yīng)的偽隨機(jī)數(shù)序列是0.6406，0.3680，0.1354，0.8333，0.4388等§3偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生和檢驗---數(shù)學(xué)方法具有周期性，有些數(shù)甚至?xí)o接著重復(fù)出現(xiàn)，很少使用。偽隨機(jī)數(shù)：可重復(fù)，數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生，必須通過統(tǒng)計檢驗（1）馮·諾伊曼平方取中法遞推公式：以十進(jìn)制數(shù)為例，平方取中由Lehmer在1951年提出來的，它的一般形式是：對于任一初始值x0，偽隨機(jī)數(shù)序列由下面遞推公式確定：（2）Lehmer線性同余法例如特殊形式：乘同余法x0稱為種子，改變它的值就得到基本序列的不同區(qū)段隨機(jī)數(shù)。a---乘子，c---增量，m---模乘同余法具有在計算機(jī)上容易實現(xiàn)、快速等特點，所以乘同余法已被廣泛采用。由Lehmer在1951年提出來的，它的一般形式是：對于任一

偽隨機(jī)數(shù)的均勻性

偽隨機(jī)數(shù)的獨立性均勻性是指在[0,1]區(qū)間內(nèi)等長度子區(qū)間中隨機(jī)數(shù)的數(shù)量是一樣的。按先后順序出現(xiàn)的隨機(jī)數(shù)中，每個隨機(jī)數(shù)的取值與其相距一定間隔的隨機(jī)數(shù)取值之間無關(guān)?！?偽隨機(jī)數(shù)序列的統(tǒng)計檢驗—檢驗判斷偽隨機(jī)數(shù)序列是否滿足均勻和相互獨立的要求，要靠統(tǒng)計檢驗的方法實現(xiàn)。對于偽隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計檢驗，一般包括兩大類：均勻性檢驗和獨立性檢驗偽隨機(jī)數(shù)的均勻性偽隨機(jī)數(shù)的獨立性均勻性是指在[0,1]區(qū)

偽隨機(jī)數(shù)的均勻性將區(qū)間[0,1]分為K個子區(qū)間，統(tǒng)計隨機(jī)數(shù)落在第k

個子區(qū)間的實際頻數(shù)nk，它應(yīng)當(dāng)趨近于理論頻數(shù)mk根據(jù)定義計算統(tǒng)計量如果χ2

值很大，表示遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離理想值，因此要求χ2值盡可能小，但如果它趨于0則有可能N已進(jìn)入循環(huán)。通常求和中的每一項的大小約為1，因此χ2的值約為K

?！?隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生和檢驗---均勻性檢驗K的取值不能太大也不能太小，太大反映不出“小區(qū)間”的均勻性，太小反映不出“大區(qū)間”的均勻性。限制條件（1）偽隨機(jī)數(shù)的均勻性將區(qū)間[0,1]分為K個子區(qū)間，統(tǒng)計隨機(jī)§3隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生及檢驗---獨立性統(tǒng)計檢驗一般采用多維頻率檢驗（1）將偽隨機(jī)數(shù)序列用任意一種辦法進(jìn)行組合，每S個隨機(jī)數(shù)作為S維空間中的一個點的坐標(biāo)值，于是可以構(gòu)成一個點序列。（2）把S維空間中的單位方體分成為K個子方體，方體邊長（3）統(tǒng)計落在第k個子方體中的實際頻數(shù)nk，它應(yīng)當(dāng)趨近于理論頻數(shù)：

偽隨機(jī)數(shù)的獨立性§3隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生及檢驗---獨立性統(tǒng)計檢驗一般采用多維頻率例如將2N

個隨機(jī)數(shù)序列分為兩組：{ξ1

,

ξ

3,…}和{ξ

2,ξ

4,…}，分別作為平面中N

個點的x和y坐標(biāo)值。在xy

平面中作K0×K0

個小正方形網(wǎng)格區(qū)域，落在第(i,j)個網(wǎng)格區(qū)域中的實際頻數(shù)為nij

，則用連續(xù)的兩個隨機(jī)數(shù)作為點(x,y)

的坐標(biāo)作圖可以直觀看出隨機(jī)數(shù)之間的關(guān)聯(lián)性。顯然左邊是不好的隨機(jī)數(shù)。左上顯示出條帶結(jié)構(gòu)，左下則是規(guī)則網(wǎng)格結(jié)構(gòu)。我們也可以把偽隨機(jī)數(shù)分為三列、四列等，用相似的方法進(jìn)行多維獨立性檢驗例如將2N個隨機(jī)數(shù)序列分為兩組：{ξ1,ξ3,…}第四節(jié)隨機(jī)變量的抽樣實際需要的大多數(shù)隨機(jī)變量并不是[0,1]區(qū)間均勻分布的，而是有各種不同形式分布密度函數(shù)的隨機(jī)變量。因此，對不均勻的隨機(jī)變量抽樣的關(guān)鍵問題是如何從均勻分布的偽隨機(jī)變量樣本中，抽取符合所要求的分布密度函數(shù)的簡單子樣。第四節(jié)隨機(jī)變量的抽樣實際需要的大多數(shù)隨機(jī)變量并不是[0,§4.1隨機(jī)變量的抽樣---離散型隨機(jī)變量X：｛x1,x2,x3,···,xN｝例如：x可取3個值x1,x2,x3，它們出現(xiàn)的幾率分別為2/8,5/8,1/8，則隨機(jī)數(shù)小于2/8時實現(xiàn)x1

，在區(qū)間2/8,7/8中時實現(xiàn)x2

，大于7/8時實現(xiàn)x3.概率密度f：｛p1,p2,p3,···,pN｝如果從[0,1]區(qū)間中均勻抽樣得到的隨機(jī)數(shù)ξ

滿足下式時則物理量x取值為xn

。A.

離散型分布§4.1隨機(jī)變量的抽樣---離散型隨機(jī)變量X：｛x1,x§4.1隨機(jī)變量的抽樣---離散型3MeV光子入射屏蔽鉛板的全吸收反射過程反應(yīng)類型X：光電效應(yīng)康普頓散射電子對產(chǎn)生反應(yīng)截面σ：σ1

σ2

σ3

反應(yīng)幾率f：ε1=σ1/σ

ε2=σ2/σ

ε3=σ3/σ歸一化：例如Poisson分布是離散型分布對此分布進(jìn)行抽樣得到第n個事件發(fā)生的條件為電子對產(chǎn)生光電效應(yīng)康普頓效應(yīng)NNYY§4.1隨機(jī)變量的抽樣---離散型3MeV光子入射屏蔽鉛板設(shè)連續(xù)型變量x在區(qū)間[a,b]中取值，可視為將上述的離散情形取連續(xù)極限:顯然ξ(a)=0,ξ(b)=1且是單調(diào)增要求變量x，可由上式解析反解出x(ξ)

的函數(shù)表達(dá)式，即求反函數(shù)。這對一些簡單的幾率密度函數(shù)解析表達(dá)式是很容易做到的。如粒子隨機(jī)運(yùn)動的自由程分布為指數(shù)分布：則求反函數(shù)后得§4.2隨機(jī)變量的抽樣---連續(xù)型累積函數(shù)注意（1-ξ）和

ξ同樣服從[0，1]的均勻分布設(shè)連續(xù)型變量x在區(qū)間[a,b]中取值，可視為將上述的離散一維：變換抽樣法的基本思想是將一個比較復(fù)雜的分布p(x)的抽樣，變換為已知的簡單分布g(y)

的抽樣我們希望找到x?y

之間的對應(yīng)關(guān)系，使得幾率密度守恒：§4.3隨機(jī)變量的抽樣---變換抽樣法一維：變換抽樣法的基本思想是將一個比較復(fù)雜的分布p(x)的抽例如：黑體輻射的譜密度按頻率ω

表示時為當(dāng)希望將譜密度用波長λ=2πcω

表示時，有顯然，當(dāng)g(y)

取[0,1]均勻分布時，問題即化為：尋找y(x)

，使其導(dǎo)數(shù)為p(x)，然后在[0,1]區(qū)間中對變量y

抽樣得到均勻分布的隨機(jī)數(shù)，再由x(y)

關(guān)系得到對應(yīng)幾率密度函數(shù)p(x)的隨機(jī)抽樣x

。例如：黑體輻射的譜密度按頻率ω表示時為當(dāng)希望將譜密度用波長二維：有兩個變量x和y的聯(lián)合分布密度函數(shù)為p(x,y)，欲變換至變量u和v，它們的聯(lián)合分布密度函數(shù)為g(u,v)取聯(lián)合分布密度函數(shù)g(u,v)

為均勻分布：則我們的任務(wù)就是尋找變換式x=x(u,v),y=y(u,v)

，以使p(x,y)=|?(u,v)/?(x,y)|

對均勻隨機(jī)變量(u,v)

進(jìn)行抽樣，代入變換式得x

和y的抽樣。二維：有兩個變量x和y的聯(lián)合分布密度函數(shù)為p(x,y)3.舍選抽樣法：第一類舍選法、第二類舍選法、第三類舍選法3.舍選抽樣法：第一類舍選法、第二類舍選法、第三類舍選法第五節(jié)蒙特卡洛方法的簡單應(yīng)用

——求圓周率和模擬氫原子電子云第五節(jié)蒙特卡洛方法的簡單應(yīng)用

§5.3氫原子電子的分布密度由原子物理理論和量子理論可知，氫原子態(tài)的波函數(shù)只是半徑的函數(shù)，與和無關(guān)。而氫原子中電子半徑的分布密度，即電子在半徑處單位厚度球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率習(xí)慣上把這種分布形象地稱為電子云。§5.3氫原子電子的分布密度由原子物理理論和量子理論可知模擬結(jié)果氫原子態(tài)電子云模擬圖氫原子態(tài)電子云模擬圖氫原子組合電子云模擬圖模擬結(jié)果氫原子態(tài)電子云模擬圖氫原子態(tài)電子云模擬圖氫原子組合電馬爾可夫鏈：系統(tǒng)宏觀物理量：轉(zhuǎn)變概率：正則系綜：§

6.1蒙特卡羅方法在材料中應(yīng)用的基本原理MonteCarlo方法實際上是一種統(tǒng)計力學(xué)的計算技術(shù),根據(jù)體系的能量分布規(guī)律，引入粒子運(yùn)動的隨機(jī)過程，進(jìn)而獲得體系有關(guān)信息的統(tǒng)計平均結(jié)果。狀態(tài)R出現(xiàn)的概率從狀態(tài)Ri演化到Rj的概率基本原理：馬爾可夫鏈：系統(tǒng)宏觀物理量：轉(zhuǎn)變概率：正則系綜：§6.1各種溫度下金薄膜外延生長的KMC模擬§6.2蒙特卡羅在材料科學(xué)中的應(yīng)用結(jié)構(gòu)特性：材料生長過程、徑向分布函數(shù)，原子數(shù)密度分布，體系晶體結(jié)構(gòu)，鍵角分布，健對分布等團(tuán)簇結(jié)構(gòu)，薄膜生長，合金偏析，高分子材料，磁性材料等熱學(xué)性質(zhì)：Lindemann指數(shù)，熱容量，熔點等Cu19團(tuán)簇隨著溫度的降低，體系發(fā)生微相分離，左：Micelle

右：lamellar

研究對象研究性質(zhì)磁學(xué)性質(zhì)：磁滯回線，矯頑力，居里點等各種溫度下金薄膜外延生長的KMC模擬§6.2蒙特卡羅在材料§

6.3Metropolis

蒙特卡羅模擬基本過程一個由N個原子構(gòu)成的系統(tǒng)，通過勢函數(shù)計算總能，總能E是系統(tǒng)構(gòu)型R(r)的函數(shù)制造隨機(jī)數(shù)，使原子產(chǎn)生隨機(jī)嘗試運(yùn)動，將原狀態(tài)R更新為新狀態(tài)R’通過勢能函數(shù)計算出新狀態(tài)與原狀態(tài)的系統(tǒng)總能量差δE在某一溫度下，系統(tǒng)從R構(gòu)型到R’構(gòu)型的接受概率為：P=exp(-ΔE/kBT)產(chǎn)生η∈（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)，如果P>η

，更新狀態(tài)R→R’如果P<Q，保持原狀態(tài)R通過各種方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，經(jīng)過大量的蒙特卡洛模擬步，系統(tǒng)將達(dá)到一個穩(wěn)定的平衡狀態(tài)原子隨機(jī)交換原子隨機(jī)運(yùn)動兩種嘗試運(yùn)動如果體系較大，可以通過局部能量變化計算整個體系的能量差，以減少計算量若為Bath算法則：P=exp(-ΔE/kBT)/[1+exp(-ΔE/kBT)]§6.3Metropolis蒙特卡羅模擬基本過程一個由勢函數(shù)參數(shù)模擬系綜:NTV階段距離:8.5?

模擬溫度:200K~500K模擬步數(shù):5×106邊界條件：自由邊界條件參考文獻(xiàn)：X.W.Zhou，ActaMaterialia49(2005)FeCo系統(tǒng)模擬參數(shù)勢函數(shù)變化曲線MC模擬參數(shù)勢函數(shù)參數(shù)模擬系綜:NTV參考文獻(xiàn)：FeCo平衡結(jié)構(gòu)平均原子勢能約為3.01eV最終結(jié)構(gòu)Fe7Co6合金團(tuán)簇模擬結(jié)果初始結(jié)構(gòu)平均原子勢能曲線原子數(shù)分布密度正二十面體結(jié)構(gòu)具有幻數(shù)（如13，55，147…）個原子的團(tuán)簇許多都具有正二十面體的低能結(jié)構(gòu)如Cu，Co，Ni等平衡結(jié)構(gòu)平均原子勢能約為3.01eV最終結(jié)構(gòu)Fe7Co6合金Fe28Co27合金團(tuán)簇模擬結(jié)果初始結(jié)構(gòu)最終結(jié)構(gòu)平均原子勢能曲線原子數(shù)分布密度平衡結(jié)構(gòu)平均原子勢能約為3.37eVFe28Co27合金團(tuán)簇模擬結(jié)果初始結(jié)構(gòu)最終結(jié)構(gòu)平均原子勢能在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象稱為確定性現(xiàn)象.

“太陽不會從西邊升起”,1.確定性現(xiàn)象

“可導(dǎo)必連續(xù)”,“水從高處流向低處”,實例自然界所觀察到的現(xiàn)象:確定性現(xiàn)象\隨機(jī)現(xiàn)象一、隨機(jī)現(xiàn)象

確定性現(xiàn)象的特征:

條件完全決定結(jié)果在一定條件下必然發(fā)生“太陽不會從西邊升起”,1.確在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實例1

“在相同條件下擲一枚均勻的硬幣,觀察正反兩面出現(xiàn)的情況”.2.隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果有可能出現(xiàn)正面也可能出現(xiàn)反面.在一定條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象.實例11.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.每次試驗的可能結(jié)果不止一個,并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果;3.進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)(結(jié)果無法預(yù)知）.定義在概率論中,把具有以下三個特征的試驗稱為隨機(jī)試驗.二、隨機(jī)試驗1.可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行;2.三、常用概念及定理1、隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量2、數(shù)學(xué)期望：即均值3、方差：即隨機(jī)變量相對于其數(shù)學(xué)期望的偏離程度4、大數(shù)定理：即當(dāng)n趨于無限大時，隨機(jī)變量的平均值將穩(wěn)定于某值（真值）。5、中心極限定理:即討論隨機(jī)變量序列部分和的分布漸近于正態(tài)分布的一類定理。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)和誤差分析的理論基礎(chǔ)，指出了大量隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布的條件。

三、常用概念及定理1、隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量2MonteCarlo方法：亦稱統(tǒng)計模擬方法，statisticalsimulationmethod

利用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬的方法§2蒙特卡羅方法概述---引言又稱隨機(jī)抽樣技巧或統(tǒng)計試驗方法。半個多世紀(jì)以來，由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和電子計算機(jī)的發(fā)明，這種方法作為一種獨立的方法被提出來，并首先在核武器的試驗與研制中得到了應(yīng)用。蒙特卡羅方法是一種計算方法，但與一般數(shù)值計算方法有很大區(qū)別。它是以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)的一種方法。MonteCarlo模擬的應(yīng)用：自然現(xiàn)象的模擬：宇宙射線在地球大氣中的傳輸過程；高能物理實驗中的核相互作用過程；數(shù)值分析：利用MonteCarlo方法求積分MonteCarlo方法：亦稱統(tǒng)計模擬方法，statistMonteCarlo方法簡史簡單地介紹一下MonteCarlo方法的發(fā)展歷史1、Buffon投針實驗：1768年，法國數(shù)學(xué)家ComtedeBuffon利用投針實驗估計的值dLMonteCarlo方法簡史簡單地介紹一下MonteCaBuffon投針實驗(1777年）求π:１．平行線間距＝a,，針長=l為了避免針與兩條線相交，設(shè)0<l<a(針的中點）２．針與平行線垂直方向夾角為α，顯然然，則該事件所有可能的集為：３．N→∞大數(shù)定理4.aBuffon投針實驗(1777年）求π:１．平行線間距＝a,一些人進(jìn)行了實驗，其結(jié)果列于下表：實驗者年份投計次數(shù)π的實驗值沃爾弗(Wolf)185011203.1596史密思(Smith)185532043.1553?？怂?Fox)189434053.1419拉查里尼(Lazzarini)190150003.1415929一些人進(jìn)行了實驗，其結(jié)果列于下表：實驗者年份投計次數(shù)π的沃MonteCarlo模擬的步驟：根據(jù)欲研究的物理系統(tǒng)的性質(zhì)，建立能夠描述該系統(tǒng)特性的理論模型，導(dǎo)出該模型的某些特征量的概率密度函數(shù)；從概率密度函數(shù)出發(fā)進(jìn)行隨機(jī)抽樣，得到特征量的一些模擬結(jié)果；對模擬結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)，預(yù)言物理系統(tǒng)的某些特性。針與線的相交情況MonteCarlo模擬的步驟：根據(jù)欲研究的物理系統(tǒng)的性質(zhì)注意以下兩點：MonteCarlo方法與數(shù)值解法的不同:MonteCarlo方法利用隨機(jī)抽樣的方法來求解物理問題;數(shù)值解法:從一個物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型出發(fā),通過求解一系列的微分方程來的導(dǎo)出系統(tǒng)的未知狀態(tài);MonteCarlo方法并非只能用來解決包含隨機(jī)的過程的問題:許多利用MonteCarlo方法進(jìn)行求解的問題中并不包含隨機(jī)過程例如:用MonteCarlo方法計算定積分.

對這樣的問題可將其轉(zhuǎn)換成相關(guān)的隨機(jī)過程,然后用MonteCarlo方法進(jìn)行求解注意以下兩點：MonteCarlo方法與數(shù)值解法的不同:MMonteCarlo算法的主要組成部分概率密度函數(shù)(pdf)—必須給出描述一個物理系統(tǒng)的一組概率密度函數(shù);隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器—能夠產(chǎn)生在區(qū)間[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)抽樣規(guī)則—如何從在區(qū)間[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)出發(fā),隨機(jī)抽取服從給定的pdf的隨機(jī)變量;模擬結(jié)果記錄—記錄一些感興趣的量的模擬結(jié)果誤差估計—必須確定統(tǒng)計誤差（或方差）隨模擬次數(shù)以及其它一些量的變化；減少方差的技術(shù)—利用該技術(shù)可減少模擬過程中計算的次數(shù)；并行和矢量化—可以在先進(jìn)的并行計算機(jī)上運(yùn)行的有效算法MonteCarlo算法的主要組成部分概率密度函數(shù)(pdf§2蒙特卡羅方法概述---基本思想基本思想：

針對待求問題，根據(jù)物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計規(guī)律，或人為構(gòu)造一合適的依賴隨機(jī)變量的概率模型，使某些隨機(jī)變量的統(tǒng)計量為待求問題的解，進(jìn)行大統(tǒng)計量（N→∞）的統(tǒng)計實驗方法或計算機(jī)隨機(jī)模擬方法。

理論依據(jù)：

大數(shù)定理：均勻分布的算術(shù)平均收斂于真值中心極限定理：置信水平下的統(tǒng)計誤差兩個例子：

Buffen投針實驗求π（如前所述）射擊問題（打靶游戲）§2蒙特卡羅方法概述---基本思想基本思想：理論依據(jù)：兩1.設(shè)r表示射擊運(yùn)動員彈著點到靶心的距離，ｇ(r)表示擊中r處相應(yīng)的得分?jǐn)?shù)（環(huán)數(shù)），f(r)為該運(yùn)動員彈著點的分布密度函數(shù)，它們反映運(yùn)動員的射擊水平。該運(yùn)動員的射擊成績?yōu)椋海?用概率語言來說，<g>是隨機(jī)變量ｇ(r)的數(shù)學(xué)期望，即３.假設(shè)該運(yùn)動員進(jìn)行了Ｎ次射擊，每次射擊的彈著點依次為r1，r2，…，rN，則Ｎ次得分g(r1)，g(r2)，…，g(rN)的算術(shù)平均值代表了該運(yùn)動員的成績射擊問題（打靶游戲）1.設(shè)r表示射擊運(yùn)動員彈著點到靶心的距離，ｇ(r)表示擊中r４.當(dāng)N趨于無窮大，則<g>=例如，設(shè)射擊運(yùn)動員的彈著點分布為環(huán)數(shù)78910概率0.10.20.30.5用計算機(jī)作隨機(jī)試驗（射擊）的方法為，選取一個隨機(jī)數(shù)ξ（Zeta），按右邊所列方法判斷得到成績。這樣，就進(jìn)行了一次隨機(jī)試驗（射擊），得到了一次成績ｇ(r)，作Ｎ次試驗后，得到該運(yùn)動員射擊成績的近似值

４.當(dāng)N趨于無窮大，則<g>=例如，設(shè)射擊運(yùn)動員的彈著點分布

收斂性:大數(shù)定理作為所求解的近似值。由大數(shù)定律可知，如果X1，X2，…，XN獨立同分布，且具有有限期望值（E(X)<∞），則

即隨機(jī)變量X的簡單子樣的算術(shù)平均值，當(dāng)子樣數(shù)Ｎ充分大時，以概率1收斂于它的期望值E(X)。由前面介紹可知，蒙特卡羅方法是由隨機(jī)變量X的簡單子樣X1，X2，…，XN的算術(shù)平均值：§2蒙特卡洛方法概述---大數(shù)定理收斂性:大數(shù)定理作為所求解的近似值。由大數(shù)定律可知，如果Xf(x)是X的分布密度函數(shù)。則當(dāng)N充分大時，有如下的近似式蒙特卡羅方法的近似值與真值的誤差問題，概率論的中心極限定理給出了答案。該定理指出，如果隨機(jī)變量序列X1，X2，…，XN獨立同分布，且具有有限非零的方差σ2

，即§2蒙特卡洛方法概述---中心極限定理其中α稱為置信度，1－α稱為置信水平。這表明，不等式近似地以概率1－α成立，且誤差收斂速度的階為：O(N-1/2)f(x)是X的分布密度函數(shù)。則當(dāng)N充分大時，有如下的近似式蒙上式中λα與置信度α是一一對應(yīng)的，根據(jù)問題的要求確定出置信水平后，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，就可以確定出λα

。通常，蒙特卡羅方法的誤差ε（Epsilon）定義為給出幾個常用的α與λα

的數(shù)值：α0.50.050.003λα

0.67451.963兩點說明：(1)MC方法的誤差為概率誤差，這與其他數(shù)值計算方法是有區(qū)別的。(2)誤差中的均方差σ是未知的，必須使用其估計值來代替，在計算所求量的同時，可計算出估計值。上式中λα與置信度α是一一對應(yīng)的，根據(jù)問題的要求確定出置信水（2）減小估計的均方差σ，比如降低一半，那誤差就減小一半，這相當(dāng)于N增大四倍的效果。

減小方差的各種技巧:（1）增大試驗次數(shù)N。在σ固定的情況下，要把精度提高一個數(shù)量級，試驗次數(shù)N需增加兩個數(shù)量級。因此，單純增大N不是一個有效的辦法。顯然當(dāng)給定置信度α（λα）后，誤差ε由σ和N決定。要減小ε：§2蒙特卡洛方法該概述---減小誤差

效率:一般來說，降低方差的技巧，往往會使觀察一個子樣的時間增加。在固定時間內(nèi)，使觀察的樣本數(shù)減少。所以，一種方法的優(yōu)劣，需要由方差和觀察一個子樣的費用（使用計算機(jī)的時間）兩者來衡量。這就是MC方法中效率的概念。它定義為σ2c

，其中c是觀察一個子樣的平均費用。顯然σ2c越小，方法越有效。（2）減小估計的均方差σ，比如降低一半，那誤差就減小一半，這（1）能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點及物理實驗過程§2蒙特卡羅方法概述---MC優(yōu)點從這個意義上講，蒙特卡羅方法可以部分代替物理實驗，甚至可以得到物理實驗難以得到的結(jié)果。用蒙特卡羅方法解決實際問題，可以直接從實際問題本身出發(fā)，而不從方程或數(shù)學(xué)表達(dá)式出發(fā)。它具有直觀、形象的特點。（2）受幾何條件限制小計算s維空間中的任一區(qū)域Ds上的積分：無論區(qū)域Ds的形狀多么特殊，只要能給出描述Ds的幾何特征的條件，就可以從Ds中均勻產(chǎn)生N個點：（1）能夠比較逼真地描述具有隨機(jī)性質(zhì)的事物的特點及物理實驗過因此，在具有隨機(jī)性質(zhì)的問題中，如考慮的系統(tǒng)形狀很復(fù)雜，難以用一般數(shù)值方法求解，而使用蒙特卡羅方法，不會有原則上的困難。其中Ds為區(qū)域Ds的體積。這是數(shù)值方法難以作到的。得到積分的近似值：（3）收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)由誤差定義可知，在給定置信水平情況下，MC方法的誤差為O(N-1/2)

，與問題本身的維數(shù)無關(guān)。維數(shù)的變化，只引起抽樣時間及估計量計算時間的變化，不影響誤差。這一特點，決定了蒙特卡羅方法對多維問題的適應(yīng)性。而一般數(shù)值方法，比如計算定積分時，計算時間隨維數(shù)的冪次方而增加，而且由于分點數(shù)與維數(shù)的冪次方成正比，需占用相當(dāng)數(shù)量的計算機(jī)內(nèi)存，這些都是一般數(shù)值方法計算高維積分時難以克服的問題。因此，在具有隨機(jī)性質(zhì)的問題中，如考慮的系統(tǒng)形狀很復(fù)雜，難以用（4）具有同時計算多個方案與多個未知量的能力（2）使用蒙特卡羅方法還可以同時得到若干個所求量。（1）對于那些需要計算多個方案的問題，使用蒙特卡羅方法有時不需要像常規(guī)方法那樣逐個計算，而可以同時計算所有的方案，其全部計算量幾乎與計算一個方案的計算量相當(dāng)。（5）誤差容易確定根據(jù)蒙特卡羅方法的誤差公式，可以在計算所求量的同時計算出誤差（6）程序結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)在計算機(jī)上進(jìn)行蒙特卡羅方法計算時，程序結(jié)構(gòu)簡單，分塊性強(qiáng)，易于實現(xiàn)。（4）具有同時計算多個方案與多個未知量的能力（2）使用蒙特卡（1）收斂速度慢（2）誤差具有概率性蒙特卡羅方法的收斂速度為O(N-1/2)

，一般不容易得到精確度較高的近似結(jié)果。對于維數(shù)少（三維以下）的問題，不如其他方法好。由于蒙特卡羅方法的誤差是在一定置信水平下估計的，所以它的誤差具有概率性，而不是一般意義下的誤差?！?蒙特卡羅方法概述---MC缺點（3）計算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)例如在粒子輸運(yùn)問題中:經(jīng)驗表明，只有當(dāng)系統(tǒng)的大小與粒子的平均自由程可以相比較時（一般在十個平均自由程左右），蒙特卡羅方法計算的結(jié)果較為滿意。但對于大系統(tǒng)或小概率事件的計算問題，計算結(jié)果往往比真值偏低。在使用蒙特卡羅方法時，可以考慮把蒙特卡羅方法與解析（或數(shù)值）方法相結(jié)合，取長補(bǔ)短，既能解決解析（或數(shù)值）方法難以解決的問題，也可以解決單純使用蒙特卡羅方法難以解決的問題。（1）收斂速度慢（2）誤差具有概率性蒙特卡羅方法的收斂速度為由具有已知分布的總體中抽取簡單子樣，在蒙特卡羅方法中占有非常重要的地位?？傮w和子樣的關(guān)系，屬于一般和個別的關(guān)系，或者說屬于共性和個性的關(guān)系?！?隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生和檢驗—產(chǎn)生蒙特卡羅模擬就是邊產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)邊進(jìn)行隨機(jī)模擬的方法區(qū)分：數(shù)列的隨機(jī)性和隨機(jī)數(shù)的分布一個完美的隨機(jī)數(shù)序列可能具有某種分布（如均勻分布，高斯分布等），但具有某種分布的數(shù)列卻可能完全不是隨機(jī)的。由具有已知分布的總體中抽取簡單子樣，在蒙特卡羅方法中占有非常進(jìn)行計算機(jī)模擬需要大樣本的均勻分布隨機(jī)數(shù)數(shù)列，如何獲得？真隨機(jī)數(shù)：由隨機(jī)物理過程來產(chǎn)生，例如：放射性衰變、電子設(shè)備的熱噪音、 宇宙射線的觸發(fā)時間等。

偽隨機(jī)數(shù)：由計算機(jī)按遞推公式大量產(chǎn)生，常見的方法有馮.諾曼平方取中法和乘加同余法

進(jìn)行計算機(jī)模擬需要大樣本的均勻分布隨機(jī)數(shù)數(shù)列，如何獲得？真隨如：擲篩子游戲，投擲硬幣

用物理方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列無法重復(fù)實現(xiàn)，不能進(jìn)行程序復(fù)算，給驗證結(jié)果帶來很大困難。而且，需要增加隨機(jī)數(shù)發(fā)生器和電路聯(lián)系等附加設(shè)備，費用昂貴。因此，該方法也不適合在計算機(jī)上使用?！?偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生和檢驗---物理方法在計算機(jī)上用物理方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的基本原理是：利用某些物理現(xiàn)象，在計算機(jī)上增加某些特殊設(shè)備，可以在計算機(jī)上直接產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)。這些特殊設(shè)備稱為隨機(jī)數(shù)發(fā)生器。真隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生：不可重復(fù)，物理方法產(chǎn)生。如：擲篩子游戲，投擲硬幣用物理方法產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)序列無法重（1）馮·諾伊曼平方取中法遞推公式：以十進(jìn)制數(shù)為例，平方取中法是把一個2S位的十進(jìn)制自平方后，去頭截尾只保留中間2S個數(shù)字，然后用102S來除，這樣就可以得到在[0,1]上均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)序列。

例如，設(shè)十進(jìn)制數(shù)的2S=4，并取x1=6406，則有：相應(yīng)的偽隨機(jī)數(shù)序列是0.6406，0.3680，0.1354，0.8333，0.4388等§3偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生和檢驗---數(shù)學(xué)方法具有周期性，有些數(shù)甚至?xí)o接著重復(fù)出現(xiàn)，很少使用。偽隨機(jī)數(shù)：可重復(fù)，數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生，必須通過統(tǒng)計檢驗（1）馮·諾伊曼平方取中法遞推公式：以十進(jìn)制數(shù)為例，平方取中由Lehmer在1951年提出來的，它的一般形式是：對于任一初始值x0，偽隨機(jī)數(shù)序列由下面遞推公式確定：（2）Lehmer線性同余法例如特殊形式：乘同余法x0稱為種子，改變它的值就得到基本序列的不同區(qū)段隨機(jī)數(shù)。a---乘子，c---增量，m---模乘同余法具有在計算機(jī)上容易實現(xiàn)、快速等特點，所以乘同余法已被廣泛采用。由Lehmer在1951年提出來的，它的一般形式是：對于任一

偽隨機(jī)數(shù)的均勻性

偽隨機(jī)數(shù)的獨立性均勻性是指在[0,1]區(qū)間內(nèi)等長度子區(qū)間中隨機(jī)數(shù)的數(shù)量是一樣的。按先后順序出現(xiàn)的隨機(jī)數(shù)中，每個隨機(jī)數(shù)的取值與其相距一定間隔的隨機(jī)數(shù)取值之間無關(guān)?！?偽隨機(jī)數(shù)序列的統(tǒng)計檢驗—檢驗判斷偽隨機(jī)數(shù)序列是否滿足均勻和相互獨立的要求，要靠統(tǒng)計檢驗的方法實現(xiàn)。對于偽隨機(jī)數(shù)的統(tǒng)計檢驗，一般包括兩大類：均勻性檢驗和獨立性檢驗偽隨機(jī)數(shù)的均勻性偽隨機(jī)數(shù)的獨立性均勻性是指在[0,1]區(qū)

偽隨機(jī)數(shù)的均勻性將區(qū)間[0,1]分為K個子區(qū)間，統(tǒng)計隨機(jī)數(shù)落在第k

個子區(qū)間的實際頻數(shù)nk，它應(yīng)當(dāng)趨近于理論頻數(shù)mk根據(jù)定義計算統(tǒng)計量如果χ2

值很大，表示遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離理想值，因此要求χ2值盡可能小，但如果它趨于0則有可能N已進(jìn)入循環(huán)。通常求和中的每一項的大小約為1，因此χ2的值約為K

?！?隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生和檢驗---均勻性檢驗K的取值不能太大也不能太小，太大反映不出“小區(qū)間”的均勻性，太小反映不出“大區(qū)間”的均勻性。限制條件（1）偽隨機(jī)數(shù)的均勻性將區(qū)間[0,1]分為K個子區(qū)間，統(tǒng)計隨機(jī)§3隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生及檢驗---獨立性統(tǒng)計檢驗一般采用多維頻率檢驗（1）將偽隨機(jī)數(shù)序列用任意一種辦法進(jìn)行組合，每S個隨機(jī)數(shù)作為S維空間中的一個點的坐標(biāo)值，于是可以構(gòu)成一個點序列。（2）把S維空間中的單位方體分成為K個子方體，方體邊長（3）統(tǒng)計落在第k個子方體中的實際頻數(shù)nk，它應(yīng)當(dāng)趨近于理論頻數(shù)：

偽隨機(jī)數(shù)的獨立性§3隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生及檢驗---獨立性統(tǒng)計檢驗一般采用多維頻率例如將2N

個隨機(jī)數(shù)序列分為兩組：{ξ1

,

ξ

3,…}和{ξ

2,ξ

4,…}，分別作為平面中N

個點的x和y坐標(biāo)值。在xy

平面中作K0×K0

個小正方形網(wǎng)格區(qū)域，落在第(i,j)個網(wǎng)格區(qū)域中的實際頻數(shù)為nij

，則用連續(xù)的兩個隨機(jī)數(shù)作為點(x,y)

的坐標(biāo)作圖可以直觀看出隨機(jī)數(shù)之間的關(guān)聯(lián)性。顯然左邊是不好的隨機(jī)數(shù)。左上顯示出條帶結(jié)構(gòu)，左下則是規(guī)則網(wǎng)格結(jié)構(gòu)。我們也可以把偽隨機(jī)數(shù)分為三列、四列等，用相似的方法進(jìn)行多維獨立性檢驗例如將2N個隨機(jī)數(shù)序列分為兩組：{ξ1,ξ3,…}第四節(jié)隨機(jī)變量的抽樣實際需要的大多數(shù)隨機(jī)變量并不是[0,1]區(qū)間均勻分布的，而是有各種不同形式分布密度函數(shù)的隨機(jī)變量。因此，對不均勻的隨機(jī)變量抽樣的關(guān)鍵問題是如何從均勻分布的偽隨機(jī)變量樣本中，抽取符合所要求的分布密度函數(shù)的簡單子樣。第四節(jié)隨機(jī)變量的抽樣實際需要的大多數(shù)隨機(jī)變量并不是[0,§4.1隨機(jī)變量的抽樣---離散型隨機(jī)變量X：｛x1,x2,x3,···,xN｝例如：x可取3個值x1,x2,x3，它們出現(xiàn)的幾率分別為2/8,5/8,1/8，則隨機(jī)數(shù)小于2/8時實現(xiàn)x1

，在區(qū)間2/8,7/8中時實現(xiàn)x2

，大于7/8時實現(xiàn)x3.概率密度f：｛p1,p2,p3,···,pN｝如果從[0,1]區(qū)間中均勻抽樣得到的隨機(jī)數(shù)ξ

滿足下式時則物理量x取值為xn

。A.

離散型分布§4.1隨機(jī)變量的抽樣---離散型隨機(jī)變量X：｛x1,x§4.1隨機(jī)變量的抽樣---離散型3MeV光子入射屏蔽鉛板的全吸收反射過程反應(yīng)類型X：光電效應(yīng)康普頓散射電子對產(chǎn)生反應(yīng)截面σ：σ1

σ2

σ3

反應(yīng)幾率f：ε1=σ1/σ

ε2=σ2/σ

ε3=σ3/σ歸一化：例如Poisson分布是離散型分布對此分布進(jìn)行抽樣得到第n個事件發(fā)生的條件為電子對產(chǎn)生光電效應(yīng)康普頓效應(yīng)NNYY§4.1隨機(jī)變量的抽樣---離散型3MeV光子入射屏蔽鉛板設(shè)連續(xù)型變量x在區(qū)間[a,b]中取值，可視為將上述的離散情形取連續(xù)極限:顯然ξ(a)=0,ξ(b)=1且是單調(diào)增要求變量x，可由上式解析反解出x(ξ)

的函數(shù)表達(dá)式，即求反函數(shù)。這對一些簡單的幾率密度函數(shù)解析表達(dá)式是很容易做到的。如粒子隨機(jī)運(yùn)動的自由程分布為指數(shù)分布：則求反函數(shù)后得§4.2隨機(jī)變量的抽樣---連續(xù)型累積函數(shù)注意（1-ξ）和

ξ同樣服從[0，1]的均勻分布設(shè)連續(xù)型變量x在區(qū)間[a,b]中取值，可視為將上述的離散一維：變換抽樣法的基本思想是將一個比較復(fù)雜的分布p(x)的抽樣，變換為已知的簡單分布g(y)

的抽樣我們希望找到x?y