數(shù)學模型：26-文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型

文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型數(shù)學模型文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型-提綱文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型數(shù)學模型12345問題的提出建模分析數(shù)學建模模型應用結果分析與討論數(shù)學模型問題的提出文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型創(chuàng)建文明社區(qū)是精神文明建設的一項重要內容，也是近年來精神文建設的一個生長點。盧灣區(qū)文明社區(qū)指標體系研究課題組，經(jīng)過深入街道和對有關職能部門進行充分調查研究，運用科學的手段和方法構建了盧灣區(qū)文明社區(qū)指標體系：該體系有一級指標10個，二級指標達42個，三級指標更是達到176個。由于文明社區(qū)的建設涉及面廣，內容非常豐富，可以說是一個龐大的社會系統(tǒng)工程，各級指標的選取具有一定的主觀性，某些指標之間還有一定的相關性，反映的信息不是完全獨立的。為了更好地展示社區(qū)精神文明建設的現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢,要求依據(jù)文明社區(qū)指標體系建立數(shù)學模型，對各社區(qū)的文明建設狀況作出科學的和客觀、公正、公平的綜合評價和比較。建模分析數(shù)學模型文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型傳統(tǒng)的加權求和再根據(jù)分數(shù)高低進行評估和比較的方法簡便易行，但指標體系中指標眾多，只是在不同的層面和側面反映了文明社區(qū)建設的某些信息，而指標的度量單位多種多樣，數(shù)據(jù)繁多，信息量大，信息之間難以避免會出現(xiàn)重疊，因此要科學客觀地統(tǒng)一度量和確定各個指標的權重有一定的難度，通常只好人為確定，這樣做主觀性太強。本模型根據(jù)文明社區(qū)指標體系，運用多元統(tǒng)計分析、數(shù)值代數(shù)和運籌學等現(xiàn)代數(shù)學理論，對文明社區(qū)的指標體系進行科學分類，建立P個新指標（主成份）。新指標的個數(shù)比原指標的要少得多，但反應的信息和原指標體系反映的基本一樣多，且P個新指標（主成份）是兩兩不相關的，即反映的信息不會重疊，同時這些新指標在對文明社區(qū)評估中的權重可以科學計算確定。據(jù)此，我們能夠對各個社區(qū)的精神文明建設作出科學客觀的綜合評價和比較。

假設有m個文明社區(qū)，記為，對這些社區(qū)文明建設進行評價的指標有n個，分別記為，設對每個社區(qū)根據(jù)這n個指標進行評價，收集得到的數(shù)據(jù)如下：根據(jù)上述各指標的評價結果我們能夠得到如下的主成分分析的樣本矩陣。由該樣本矩陣可以確定相關矩陣R，并根據(jù)R的信息確定P個新指標。數(shù)學模型數(shù)學建模文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型21………

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數(shù)學模型數(shù)學建模－確定相關矩陣R文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型

為了消除指標不同的度量（量綱）帶來的影響，使得評價指標具有可比性，我們對文明社區(qū)指標進行標準化：記，這樣有

由此我們得到標準矩陣其中

數(shù)學建模－確定相關矩陣R數(shù)學模型文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型根據(jù)X和Y之間的關系易知:Y的協(xié)方差陣正好是X的相關矩陣R，這樣

若記則有根據(jù)相關矩陣R，由數(shù)值代數(shù)方法，能夠求出R的特征根和特征向量。數(shù)學模型數(shù)學建模－求R陣的特征根和特征向量文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型因為相關陣，所以R的n個特征根非負，不妨設它們由大到小排列為。它們對應的正則化特征向量為，則的主成分為。我們把第i個社區(qū)的標準化數(shù)據(jù)代入到第j個主成分(新指標)中就可以計算出第i個社區(qū)在第j個主成分上的分值，即得分，該分值越大，則說明該社區(qū)在第j個主成分上的表現(xiàn)越突出。數(shù)學模型數(shù)學建模－選取主成分的個數(shù)文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型根據(jù)代數(shù)理論可知是線性無關的，因此n個主成分是互不相關的，所表示的信息是不重疊的，并且有我們用比值表示的方差在總方差的比率。根據(jù)實際背景，通常稱為第i個主成分（新指標i）的貢獻率，越大，

的方差也越大，社區(qū)間的差異在第i個主成分上的表現(xiàn)越明顯。數(shù)學模型文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型由于，因此相應主成分的貢獻率越來越小。也就是說社區(qū)間的差異主要反映在前面幾個主要的主成分上。通常我們是以累計貢獻率確定選取互相獨立的主成分（新指標呢）的個數(shù)。

數(shù)學建模－選取主成分的個數(shù)因此我們由下式確定主成分的個數(shù)：一般來說，p比n要小得多，即新指標（主成分）的個數(shù)比原社區(qū)評價指標個數(shù)要少得多，但它們反映的信息幾乎一樣多。數(shù)學建模－綜合評估算法數(shù)學模型文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型第一步：根據(jù)m個社區(qū)在n個社區(qū)指標上的數(shù)據(jù)計算出樣本矩陣R第二步：計算標準矩陣和相關矩陣

第三步：計算R的特征值和相應的標準化特征向量第四步：確定，和主成分。第五步：首先計算各社區(qū)在第j個主成分上的得分，并按所有社區(qū)的得分進行標準化，得到第i個社區(qū)在第j個主成分的標準化得分為然后計算各社區(qū)綜合評價最后按照的降序對所有的社區(qū)進行比較和排名。由實踐可知，通常第一個主成分反映樣本主要方面情況。一般來說，每個主成分反映社區(qū)的某一層面的發(fā)展或建設狀況，前p個主成分基本上反映了各個社區(qū)的總體情況。因此，用前p個主成分來評價各社區(qū)精神文明建設狀況具有較好的綜合性和客觀性。

數(shù)學模型模型應用文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型

根據(jù)課題組提供的指標體系：一級指標10個，二級指標42個，三級指標176個，為了方便起見，我們僅考慮42個二級指標，分別記為。下面我們通過兩個例子來說明模型的應用效果。其中，我們僅根據(jù)文明社區(qū)指標體系研究課題組提供的指標體系來綜合評估模型的合理性和有效性，然后對模型的結果進行分析和討論。指標數(shù)據(jù)指標數(shù)據(jù)指標數(shù)據(jù)ⅠⅡⅢⅣⅠⅡⅢⅣⅠⅡⅢⅣ居住環(huán)境5555社區(qū)設施4.5332文化活動1.51.511公共環(huán)境3311社區(qū)組織3.53.532文化資源1.51.511公共設施2.52.52.52民政福利2.5211科技普及1.21.211環(huán)境質量21.81.51管理評價2211服務質量2211管理評價1.5111教育設施2.8222物質生活2.5211管理機構3222教育內容4.2432精神生活2210.5居委建設3222教育管理2222心理評價1.5111制度建設2.5211教育評估2.2212組織制度2.2222黨支部2.5222公益活動2.4211資源共享1.81.51.51外來人口1111規(guī)范服務2.3211共建活動1110管理績效1111樓組家庭2.3211共建評估1111綜合治理5.5553主義教育2221人口素質2.2211安全小區(qū)4.544.53新風活動2222健康保健1.5111法制教育2.5222文化設計1.81.511.5生育狀況1.3111例1、我們考慮4個社區(qū)，它們關于42個二級指標的數(shù)據(jù)如下表：表1、四個社區(qū)的二級指標的評價表數(shù)學模型模型應用文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型根據(jù)上面建立的綜合評估算法和應用數(shù)學方法軟件包，我們能夠計算出該問題的所有特征值，其中前三個特征值為：它們的累計貢獻率為：93.68%．因此取主成份的個數(shù)為：P=3．這三個特征值的特征向量分別為：社區(qū)名次1190.901241.8423-93.2734-205.414社區(qū)分數(shù)名次11001287237134624根據(jù)上面建立的綜合評估算法計算得到的結果與傳統(tǒng)的評估結果是一致的，所得的排名如下表：表2.綜合評估算法的排名結果表3.傳統(tǒng)評估方法的排名結果

例2、假設有4個社區(qū)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，它們在42個二級指標的評價結果如下表：表5、四個社區(qū)的二級指標的評價表數(shù)學模型模型應用文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型指標數(shù)據(jù)指標數(shù)據(jù)指標數(shù)據(jù)ⅠⅡⅢⅣⅠⅡⅢⅣⅠⅡⅢⅣ居住環(huán)境5555社區(qū)設施4.5333文化活動1.51.511公共環(huán)境3311社區(qū)組織3.53.533文化資源1.51.511公共設施2.52.522民政福利2.5211科技普及1.21.211環(huán)境質量21.811管理評價2211服務質量2211管理評價1.5111教育設施2.8222物質生活2.5211管理機構3222教育內容4.2433精神生活2211居委建設3222教育管理2222心理評價1.5111制度建設2.5211教育評估2.2222組織制度2.2222黨支部2.5222公益活動2.4211資源共享1.81.51.51.5外來人口1111規(guī)范服務2.3211共建活動1111管理績效110.51樓組家庭2.3211共建評估1111綜合治理5.554.53主義教育2222人口素質2.2211安全小區(qū)4.544.54.5新風活動2222健康保健1.5111法制教育2.5222文化設計1.81.511生育狀況1.3111根據(jù)上面建立的綜合評估算法，我們能夠計算出上述問題的所有特征值，其中前兩個特征值分別為：它們的累計貢獻率為：93.16%．因此取主成份的個數(shù)為：P=2．這三個特征值的特征向量分別為：數(shù)學模型模型應用文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型社區(qū)名次1197.041261.2123-166.7644-166.93

3社區(qū)分數(shù)名次11001287237034694根據(jù)上面建立的綜合評估算法和傳統(tǒng)的評估方法所得的排名結果如下表：表5.綜合評估算法的排名結果表6.傳統(tǒng)評估方法的排名結果數(shù)學模型結果分析與討論文明社區(qū)綜合評估數(shù)學模型①根據(jù)數(shù)值模擬可知，綜合評估模型和算法可以客觀公正的對文明社區(qū)進行綜合評估和比較，它在多數(shù)情況下和傳統(tǒng)的評估排序法得到的評價排序結果是一致的。例如在例1中，兩種評估方法得到的排序結果不變。②當兩個社區(qū)的評估結果相差