線性方程組的表示消元法

關(guān)于線性方程組的表示消元法第1頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五2定義1§1線性方程組的表示、消元法第2頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五3讓第3頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五4借助于矩陣乘法，線性方程組可表示為第4頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五5第5頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五6線性方程組研究的主要問題為：（1）線性方程組是否有解？（2）線性方程組如有解，有多少個解?（3）線性方程組如有解，如何求解？如解有無窮多，如何表示所有的解？第6頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五7引例求解線性方程組用消元法解下列方程組的過程．消元法解線性方程組第7頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五8解第8頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五9用“回代”的方法求出解：第9頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五10解得(2)第10頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五11

從上面的例子我們可以看出，用消元法解線性方程組，實際上是對線性方程組施行了以下三種變換：

(1)互換兩個方程的位置；

(2)用一非零數(shù)c乘某一方程；

(3)把其中一個方程的k倍加到另一個方程上我們稱以上三種變換為線性方程組的初等變換

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這三種初等變換只改變了線性方程組的系數(shù)和常數(shù)，而未知量保持不變。因此，如果將未知量與系數(shù)和常數(shù)項分離開來，實際上是對系數(shù)和常數(shù)項構(gòu)成的增廣矩陣作了三種初等行變換。因此解線性方程組時只需對由系數(shù)和常數(shù)項所構(gòu)成的增廣矩陣作初等行變換。

第12頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五13問題：（1）為什么經(jīng)過一系列的初等行變換以后得到的新的方程組的解為原方程組的解。我們需要給出它的理論依據(jù)。(2)是否任意一個線性方程組都有解，在什么條件下方程組無解？

第13頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五14第14頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五15第15頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五16階梯矩陣定義例第一，二，三行的首元所在的列依次為2，1，3，不是嚴格增的，故不是階梯行.第16頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五17（1）可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元．行階梯形矩陣特點：第17頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五18回顧:消元法解方程的過程實際上就是用一系列初等行變換把增廣矩陣化為階梯形矩陣(特別是若當階梯形)的過程.現(xiàn)重新用初等行變換化增廣矩陣為Jordan階梯形的方法求解線性方程組第18頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五19解第19頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五20第20頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五21第21頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五22階梯形第22頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五23若當階梯形于是得到原方程組的同解方程組第23頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五24例

解線性方程組第24頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五25解：寫出增廣矩陣，對其進行初等行變換化簡：以為增廣矩陣的線性方程組有一矛盾方程0=47，從而原方程組無解。

第25頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五26注：若原方程組與同解方程組中出現(xiàn)矛盾方程，則原方程組無解。

第26頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五27例

用消元法解線性方程組第27頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五28解：第28頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五29所以原方程組的解為，與用Gramer法則所得結(jié)果一樣。

第29頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五30例

解齊次線性方程組AX=0，其中系數(shù)矩陣第30頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五31解：

與原方程組同解的齊次線性方程組BX=0的一般形式為，

第31頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五32很顯然對于任意的都能解出令，得

方程組的解為

第32頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五33從上面的例子可以看出，求解線性方程組分為以下幾步：1.對增廣矩陣作初等行變換化為階梯形；2.若階梯形增廣矩陣對應(yīng)的最后一個不為零的方程為，則原方程組無解；否則方程組一定有解.3.有解的情況下:當階梯形增廣矩陣非零數(shù)行等于未知數(shù)個數(shù)時,則解唯一;否則非零行數(shù)就小于未知數(shù),這時候方程組有無窮多解.要解出方程組,就需要繼續(xù)對階梯形增廣矩陣進行初等行變換,最終化為若當階梯形.若當階梯形增廣矩陣對應(yīng)的方程組實際上就是解(讓非首元對應(yīng)的未知數(shù)取任意數(shù)).第33頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五34證明：必要性。設(shè)滿足。若，則

A可逆，有唯一解矛盾，故。

充分性。當n=1時，有非零解，假設(shè)n-1時結(jié)論成立。

定理1

設(shè)A為n階方陣，則齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是。

第34頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五35當為n時，設(shè)A經(jīng)初等變換化為階梯形矩陣B：，其中C為n-1階方陣，P為n階可逆矩陣。取行列式得。解同解方程組。若b=0，則是一個非零解；

第35頁，共37頁，2022年，5月20日，18點41分，星期五36若，則，由歸納假設(shè)，齊次線性方程組有非零解