行列式性質(zhì)與計算

行列式的性質(zhì)1一、行列式的性質(zhì)行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.若記，則.記性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即.2性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.證明根據(jù)行列式的定義，有若記，則行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.3性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.驗證于是推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有，所以.

備注：交換第行（列）和第行（列），記作.4性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數(shù)，等于用數(shù)乘以此行列式.驗證我們以三階行列式為例.記根據(jù)三階行列式的對角線法則，有備注：第行（列）乘以，記作.5推論行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．備注：第行（列）提出公因子，記作.6驗證我們以4階行列式為例.性質(zhì)4

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．7性質(zhì)5

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和,例如：則8驗證我們以三階行列式為例.9性質(zhì)6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．則驗證我們以三階行列式為例.記備注：以數(shù)乘第行（列）加到第行（列）上，記作.10例１二、應(yīng)用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．11解12例2

計算階行列式解將第列都加到第一列得13例3設(shè)

證明14證明對作運算，把化為下三角形行列式設(shè)為對作運算，把化為下三角形行列式設(shè)為15對D

的前k行作運算，再對后n

列作運算，把D

化為下三角形行列式故16(行列式中行與列具有同等的地位,凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成立).

計算行列式常用方法：(1)利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．三、小結(jié)行列式的6個性質(zhì)17計算4階行列式思考題18思考題解答解19行列式按行(列)展開對角線法則只適用于二階與三階行列式.本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示高階行列式.20一、引言結(jié)論三階行列式可以用二階行列式表示.思考題任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示？21例如把稱為元素的代數(shù)余子式．在n階行列式中，把元素所在的第行和第列劃后，留下來的n－1階行列式叫做元素的余子式，記作.結(jié)論因為行標(biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識行列式的元素，所以行列式中每一個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式.22引理

一個n階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即．例如23即有又從而下面再討論一般情形.分析當(dāng)位于第1行第1列時,24我們以4階行列式為例.思考題：能否以代替上述兩次行變換？25思考題：能否以代替上述兩次行變換？答：不能.26

被調(diào)換到第1行，第1列27二、行列式按行（列）展開法則定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即28同理可得29例（例7續(xù)）30

證明用數(shù)學(xué)歸納法例證明范德蒙德(Vandermonde)行列式所以n=2時(1)式成立.31假設(shè)(1)對于n－1階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行減去前行的倍：按照第1列展開，并提出每列的公因子，就有32

n?1階范德蒙德行列式33推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即分析我們以3階行列式為例.把第1行的元素?fù)Q成第2行的對應(yīng)元素，則34定理3

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等