高三復數(shù)復習專題

高三復數(shù)復習專題高三復數(shù)復習專題高三復數(shù)復習專題標準文檔高三復數(shù)專題復習：一、復數(shù)的看法及運算：1、復數(shù)的看法：（1）虛數(shù)單位i；（2）實部：Rez，虛部：Imz；有理數(shù)實數(shù)(b0)無理數(shù)a,bR；（3）復數(shù)的分類(zabi)純虛數(shù)(a0)虛數(shù)(b0)0)非純虛數(shù)(a（4）相等的復數(shù)：2、復數(shù)的加、減、乘、除法規(guī)：1）加減法擁有交換律和結合律；2）乘法擁有交換律、結合律、分配律；（3）除法：abiacbdbcad(cdi0)。cdic2d2c2d2i3、復數(shù)的共軛與模：（1）zRzz；z是純虛數(shù)zz，反之不成立；（2）復數(shù)zabi與點Za,b是一一對應關系，另：z與z關于x軸對稱，z表示z對應點與原點的距離。4、復數(shù)共軛運算性質：z1z2z1z2,z1z2z1z2,z1z1；z2z25、復數(shù)模的運算性質：z1z2z1z1(z20),znn。z1zz,z2zz226、復數(shù)的模與共軛的練習：zzz。7、重要結論（1）對復數(shù)z、z1、z2和自然數(shù)m、n，有zmznzmn，(zm)nzmn，(z1z2)nnnz1z2(2)i1i，i21，i3i，i41；i4n11，i4n21，i4n3i，i4n1.(3)(1i)22i，1ii，1ii.1i1i(4)設13i，2，2，120，3n3n2，合用文案標準文檔nn1n20一些幾何結論的復數(shù)形式(1)復平面上Z1，Z,2，Z,3三點共線的充要條件是z2z1(R).z3zz(2)復平面上Z1Z2Z3為正三角形的充要條件是（有三種形式，它們1.z1z2z2z3z3z1;12z22z32z1z2z2z3z1z3;3.2z1z2z30cosisin.33(3)復平面上Z1Z2Z3的面積為S表示為S1Imz2z1z2z1.2(4)復平面上z1,z2,z3,z4四點共圓的充要條件是z3z1z3z2：z1z4z2z4二、復數(shù)的三角形式：1、復數(shù)的三角形式看法：任何1個復數(shù)zabi,都能夠改寫成復數(shù)的形式：zr(cosisin),其中：ra2b2,cosa,sinb;rr2、復數(shù)的三角形式的乘法公式：

是等價的）R,0.設復數(shù)z1r1(cosisin),z2r2(cosisin)則，z1z2r1(cosisin)r2(cosisin)r1r2cosisin即：兩個復數(shù)相乘，積的模等于兩個復數(shù)的模之積，積的輻角等于兩個復數(shù)的輻角之和。上述結論，能夠實行到有限個復數(shù)相乘的情況；z1z2z3znr1(cos1isin1)r2(cos2isin2)r3(cos3isin3)rn(cosnisinn)r1r2r3rncos123nisin123n3、復數(shù)的三角形式的乘方公式（棣莫佛定理）r(cosisin)nrn(cosnisinn)即：復數(shù)的n（n∈N）次冪的模等于模的n次冪，輻角等于這個復數(shù)的輻角的n倍，這個定理稱為棣莫佛定理。4、復數(shù)的三角形式的除法公式設z1r1cosisin,z2r2cosisin;則：z1r1cosisinr1cosisin.z2r2cosisinr2即：兩個復數(shù)像除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角。合用文案標準文檔三、復數(shù)中的方程問題：1、實系數(shù)一元二次方程的根的情況：對方程ax2bxc0（其中a,b,cR且a0），令b24ac，當0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根。當=0時，方程有兩個相等的實根；當0時，方程有兩個共軛虛根：x1bi,x2bi。222、復系數(shù)一元二次方程根的情況：對方程ax2bxc0,xb的平方根；2a3、一元二次方程的根與系數(shù)的關系：x1b若方程ax20（其中a,b,cR且ax2bxc0）的兩個根為x1、x2，則a；cx1x2a四、例題精選例1：已知z23223240，求z；izi10231i34i22例2：已知z4，求z；23i1例3：設z為虛數(shù)，z為實數(shù)，且12。z（1）求z的值及z的實部的取值范圍；（2）證明：u1z為純虛數(shù)；1z合用文案標準文檔例4：已知關于t的方程t220()有兩個根、t2，且滿足t1t223。taaRt1（1）求方程的兩個根以及實數(shù)a的值；（2）當a0時，若關于任意xR，不等式logax2ak22mk2k關于任意的2,1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。2例5：已知復數(shù)z1滿足(1i)z115i,z2a2i，其中i為虛數(shù)單位，aR，若z1z2z1，求a的取值范圍。例6：設虛數(shù)z滿足2z5z10。（1）求z的值；（2）若zm為實數(shù)，求實數(shù)m的值；mz（3）若12iz在復平面上對應的點在第一、第三象限角平方線上，求復數(shù)z。合用文案標準文檔例7：已知方程x2xp0有兩個根x和x，pR。12（1）若x1x23，求實數(shù)p；（2）若x1x23，求實數(shù)p；例8：已知復數(shù)zabi(a,bR)是方程x24x50的根，復數(shù)u3i(uR)滿足z25，求u的取值范圍。例9：關于x的方程x2(2abi)xabi0有實根，求一個根的模是2，求實數(shù)a,b的值。例10：設兩復數(shù)z1,z2滿足z12axz1z2a40z220（其中a0且a1，xR），求z14z2是虛數(shù)。（1）求證：z1是定值，求出此定值；z2（2）當xN時，求滿足條件的虛數(shù)z1的實部的所有項的和。z2合用文案標準文檔例11：設兩個復數(shù)z1、z2滿足100z12z22kz1z2kR，并且z2是虛數(shù)，當kN時，z1求所以滿足條件的虛數(shù)z2的實部之和。z1例12：計算：（1）2cosisin3cosisin1212665（2）3cosisin55（3）12cosisin6cosisin3366例13：給定復數(shù)222z，在z，z,zz,z,z,z,z,z這八個值中，不同樣值的個數(shù)至多是___________。例14：已知以下命題（1）zzzR；（2）zzz為純虛數(shù)；（3）z1z20z1z2；（4）z1z20z10或z20；（5）z12z220z1z22220；（6）zz2zz.其中正確的命題是____________；例15：可否存在復數(shù)z同時滿足條件：①1106；②z的實部、虛部為整數(shù)。若存zz，若不存在，說明原由。z在，求出復數(shù)合用文案標準文檔例16：設z1是已知復數(shù)，z為任意復數(shù)且z1,zzz1，則復數(shù)對應的點的軌跡是()A、以z1的對應點為圓心、1為半徑的圓；B、以z1的對應點為圓心，1為半徑的圓；C、以1z1的對應點為圓心、1為半徑的圓；22D、以1z1的對應點為圓心，1為半徑的圓；22例17：滿足方程zRez1的復數(shù)z對應的點的軌跡是()。A、圓B、橢圓C、雙曲線D、拋物線例18：復平面內，滿足z(1i)z(1i)2的復數(shù)z所對應的點的軌跡是()A、橢圓B、雙曲線C、一條線段D、不存在例19：滿足方程z215z160的復數(shù)z對應的點的軌跡是()A、四個點B、四條直線C、一個圓D、兩個圓例20：設復數(shù)z(2xa)(2xa)i,x、aR，當x在,內變化時，求z的最小值ga。例21：若復數(shù)z1和z2滿足：z2az1i(a0)，且z2z1z1z2842。z1和z2在復平面中對應的點為Z1和Z2，坐標原點為O，且OZ1OZ2，求OZ1Z2面積的最大值，并指出此時a的值。合用文案標準文檔例22：已知復數(shù)z01mim0,zxyi,abix,y,a,bR，i為虛數(shù)單位，且關于任意復數(shù)z，有z0z,2z。（1）試求m的值，并分別寫出a和b用x、y表示的關系式；（2）將x,y作為點P的坐標，a,b作為點Q的坐標，上述關系能夠看作是坐標平面上點的一個變換：它將平面上的點P變到這一平面上的點Q，當點P在直線yx1上搬動時，試求點P經(jīng)該變換后獲取的點Q的軌跡方程；3）可否存在這樣的直線：它上面的任一點經(jīng)上述變換后獲取的點仍在該直線上？若存在，試求出所有這些直線；若不存在，則說明原由。例23：已知復數(shù)z1mni,z222i和zxyi，其中m,n,x,y均為實數(shù)，且zz1iz2。（1）若復數(shù)z1所對應的點M(m,n)在曲線y1(x3)21上運動，求復數(shù)z所對應的點2P(x,y)的軌跡方程；（2）將（1）中點P的軌跡上每一點沿向量a(3,1)方向平移，獲取新的軌跡C，求C的2方程。（3）軌跡C上任意一點A（異于極點）作其切線l,l交y軸于點B。問：以AB為直徑的圓可否恒過x軸上必然點？若存在，求出此定點坐標；若不存在，則說明原由。合用文案標準文檔例題答案：1、1Rez1；（2）略；5、a1,7；6、（1）z5；（2）m5；7；2、1；3、（1）2（3）z10310i或z10310i；、（）p5或p2；（）①當0p1222271224時，方程無解；②當p0時，p2；③當p19；8、u2,6；9、當b0時，p44時，a4或a4；當b0時，a1,a13。53b3baxa40a2xia20a1時，a1a190a1a21、（1），定值；（2）；時，；102221a1a11、95；12、略；13、4；14、（1）（4）；15、存在、z13i或z3i；16、D；17、D；18、C；19、C；20、a22,a2；21、8，此時a1，提示：由條件得2a24a2,a28421a8422a22z11a1a2,Sa2z1z22z121a1a222，(842)