新課標(biāo)2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第6章立體幾何第1節(jié)空間幾何體教師用書

歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對您有所幫助！第一節(jié)空間幾何體考試要求：1．認識柱、錐、臺及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．2．能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓錐、棱柱及其簡易組合)的直觀圖．3．知道棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行側(cè)棱平行且相等相交于一點但不一定相等延長線交于一點側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線相互平行且相等并垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)3．空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，其規(guī)則是：(1)“斜”：在直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°或135°．(2)“二測”：圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線，在直觀圖中長度為原來的一半．畫直觀圖要注意平行，還要注意長度及角度兩個要素．4．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺側(cè)＝π(r1＋r2)l5．空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝S底·h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)S底·h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3(1)求棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積時，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點與平面幾何知識來解決．(2)常常利用一些幾何體的展開圖解決表面上的最短距離問題．(3)求幾何體的體積時，要注意利用分割、補形與等體積法．6．常用結(jié)論幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論：(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R．①若球為正方體的外接球，則2R＝eq\r(3)a；②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝a；③若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq\r(2)a．(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2)．(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1．解決與球“外接”問題的關(guān)鍵：(1)確定球心．(2)構(gòu)造正(長)方體等特殊幾何體．二、基本技能·思想·活動經(jīng)驗1．判斷下列說法的正誤，對的打“√”，錯的打“×”．(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱． (×)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐． (×)(3)棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分． (√)(4)圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2πS． (×)2．如圖，長方體ABCDA′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是()A．棱臺 B．四棱柱C．五棱柱 D．簡單組合體C解析：由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱．3．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為()A．1cm B．2cmC．3cm D．eq\f(3,2)cmB解析：S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，所以r2＝4，所以r＝2cm．4．體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A．12π B．eq\f(32π,3)C．8π D．4πA解析：由題意可知正方體的棱長為2，其體對角線為2eq\r(3)即為球的直徑，所以球的表面積為4πR2＝(2R)2π＝12π．故選A．5．在直觀圖(如圖所示)中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2cm，則在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO為__________，面積為________cm2．矩形8解析：由斜二測畫法的規(guī)則可知，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO是一個長為4cm，寬為2cm的矩形，所以四邊形ABCO的面積為8cm2．考點1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與直觀圖——基礎(chǔ)性1．用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是()A．圓柱B．圓錐C．球D．圓柱、圓錐、球體的組合體C解析：截面是任意的，且都是圓面，則該幾何體為球體．2．下列命題正確的是()A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺C．圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面D．一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺C解析：由圓錐、圓臺、圓柱的定義可知A，B錯誤，C正確．對于D，只有用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，D不正確．3．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，則原圖形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形C解析：如圖，在原圖形OABC中，應(yīng)有OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2cm．所以O(shè)C＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r((4\r(2))2＋22)＝6(cm)，所以O(shè)A＝OC，所以四邊形OABC是菱形．4．(多選題)下列命題中正確的是()A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B．在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱C．存在每個面都是直角三角形的四面體D．棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等BC解析：A不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；B正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；C正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1ABC，四個面都是直角三角形；D不正確，棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱的延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等．1．解決空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的判斷問題主要方法是定義法，即緊扣定義來判斷，或列舉反例進行判斷．解答此類問題常常由于概念理解出錯，如第2題有可能錯選A，B，D，第4題錯選A，D等．2．解決直觀圖問題，要理解并學(xué)會運用斜二測畫法規(guī)則．考點2空間幾何體的表面積與體積——綜合性考向1空間幾何體的表面積問題(1)(2021·新高考全國Ⅰ卷)已知圓錐的底面半徑為eq\r(2)，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)B解析：由題意知圓錐的底面周長為2eq\r(2)π．設(shè)圓錐的母線長為l，則πl(wèi)＝2eq\r(2)π，即l＝2eq\r(2)．故選B．(2)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為30°，則該三棱柱的側(cè)面積為()A．4＋4eq\r(2) B．4＋4eq\r(3)C．12 D．8＋4eq\r(2)A解析：連接A1B．因為AA1⊥底面ABC，則AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為∠CA1B＝30°．又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2eq\r(2)，所以BC＝eq\r(2)．又AB⊥BC，則AB＝eq\r(2)，則該三棱柱的側(cè)面積為2eq\r(2)×2＋2×2＝4＋4eq\r(2)．(3)在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長最短50cm，最長80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝cm2．2600π解析：將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形．由題意得所求側(cè)面展開圖的面積S＝eq\f(1,2)×(50＋80)×(π×40)＝2600π(cm2)．求解幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積1．一個六棱錐的體積為2eq\r(3)，其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_________．12解析：設(shè)正六棱錐的高為h，側(cè)面的斜高為h′．由題意，得eq\f(1,3)×6×eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×h＝2eq\r(3)，所以h＝1，所以斜高h′＝eq\r(12＋(\r(3))2)＝2，所以S側(cè)＝6×eq\f(1,2)×2×2＝12．2．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書中將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵．已知一個塹堵的底面積為6，體積為eq\f(4π,3)的球與其各面均相切，則該塹堵的表面積為________．36解析：設(shè)球的半徑為r，底面三角形的周長為l，由已知得r＝1，所以塹堵的高為2．則eq\f(1,2)lr＝6，l＝12，所以表面積S＝12×2＋6×2＝36．考向2空間幾何體的體積問題(1)如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的體積為()A．eq\f(\r(3),12) B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(6),12) D．eq\f(\r(6),4)A解析：易知三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積，又三棱錐A-B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12)．(2)(2021·八省聯(lián)考)圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底面半徑分別為4和5，則該圓臺的體積為________．61π解析：圓臺的下底面半徑為5，故下底面在外接球的大圓上，如圖，設(shè)球的球心為O，圓臺上底面的圓心為O′，則圓臺的高OO′＝eq\r(OQ2－O′Q2)＝eq\r(52－42)＝3．據(jù)此可得圓臺的體積V＝eq\f(1,3)π×3×(52＋5×4＋42)＝61π．求空間幾何體的體積的常用方法公式法對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行求解割補法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算其體積等體積法一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．如果一個幾何體的底面面積和高較難求解時，我們可以采用等體積法進行求解．通過選擇合適的底面來求幾何體體積，主要用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積1．(2021·全國甲卷)已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為30π，則該圓錐的側(cè)面積為________．39π解析：設(shè)圓錐的高為h，母線長為l，則圓錐的體積V＝eq\f(1,3)×π×62×h＝30π，解得h＝eq\f(5,2)．所以l＝eq\r(r2＋h2)＝eq\r(62＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq\s\up12(2))＝eq\f(13,2)，故圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝π×6×eq\f(13,2)＝39π．2．如圖，已知體積為V的三棱柱ABC-A1B1C1，P是棱B1B上除B1，B以外的任意一點，則四棱錐P-AA1C1C的體積_________．eq\f(2V,3)解析：如圖，把三棱柱ABC-A1B1C1補成平行六面體A1D1B1C1-ADBC．設(shè)點P到平面AA1C1C的距離為h，則Veq\s\do10(P-AA1C1C)＝eq\f(1,3)Seq\s\do10(AA1C1C)·h＝eq\f(1,3)Veq\s\do10(AA1C1C-DD1B1B)＝eq\f(1,3)·2Veq\s\do10(ABC-A1B1C1)＝eq\f(2V,3)．考點3與球有關(guān)的切、接問題——綜合性考向1“相切”問題已知正四面體P-ABC的表面積為S1，此四面體的內(nèi)切球的表面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝________．eq\f(6\r(3),π)解析：設(shè)正四面體的棱長為a，則正四面體的表面積為S1＝4×eq\f(\r(3),4)×a2＝eq\r(3)a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的eq\f(1,4)，即r＝eq\f(1,4)×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(6),12)a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝eq\f(πa2,6)，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(\r(3)a2,\f(πa2,6))＝eq\f(6\r(3),π)．處理與球有關(guān)內(nèi)切問題的策略解答此類問題時首先要找準(zhǔn)切點，通過作截面來解決．如果內(nèi)切的是多面體，則作截面時主要抓住多面體過球心的對角面來作，利用體積分割法求內(nèi)切球半徑．考向2“相接”問題已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A．eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C．eq\f(13,2) D．3eq\r(10)C解析：如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M．又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋62)＝eq\f(13,2)．處理與球有關(guān)外接問題的策略(1)構(gòu)造正(長)方體等特殊幾何體轉(zhuǎn)化為特殊幾何體的外接球問題．(2)空間問題平面化，把平面問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，作出適當(dāng)截面(過球心、接點等)．(3)利用球與截面圓心的連線垂直于截面，確定球心所在的直線．1．已知三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為()A．eq\f(27,2)π B．eq\f(27\r(3),2)πC．27eq\r(3)π D．27πB解析：因為三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC≌△PAC．因為PA⊥PB，所以PA⊥PC，PC⊥PB．以PA，PB，PC為過同一頂點的三條棱作正