高等數(shù)學課件：6-5直線

1第五節(jié)直線一、直線的一般式方程二、直線的點向式方程與參數(shù)方程三、兩直線的夾角、直線與平面的夾角四、過直線的平面束2定義空間直線可看成兩平面的交線.空間直線的一般式方程一、直線的一般式方程L注(2)直線L的一般式方程形式不是唯一的.3方向向量的定義如果一非零向量平行于//1.點向式方程一條已知直線,這個向量稱為這條直線的方向向量.方向數(shù).二、直線的點向式方程與參數(shù)方程一條直線可以有許多方向向量求此直線的方程。4直線的對稱式方程令直線的參數(shù)方程因為故//故直線方程的幾種形式可以互相轉換.(點向式、標準式）5

例1解所求直線方程為·

M1·

M2求過兩點M1(1,2,3),M2(2,6,5)的直線方程.向量與直線平行

過兩點作一直線6則直線的一個方向向量為:

于是對稱式方程可寫成:一般,如直線過兩點7如點向式方程為可寫成一般方程(1)

將直線的點向式方程又如可寫成一般方程化為一般式方程2.各類直線方程的互換8（2）

直線的一般式方程化為點向式方程(1)用代數(shù)的消元法化為比例式;有兩種方法(2)在直線上找一定點,再求出方向向量,即寫出點向式方程.9寫成比例式,例2

解法一(1)(2)兩個方程中,每一個只有兩個變量,共同的變量即得對稱式方程.化為對稱式方程.解出x.此直線上一定點為方向向量為10先求直線上一定點:

于是得直線上的一定點取對稱式方程

將化為對稱式方程.因所求直線與兩平面的法向量都垂直.法二11兩個對稱式方程實際上直線的對稱式方程不唯一.?注意都滿足這兩個對稱式方程,過兩點確定唯一的因此這兩個對稱式方程表示同一條怎么不一樣答:(當定點取得不同時對稱式方程不同).另外可驗證,兩個點一條直線,直線.123.直線的參數(shù)方程上式何時有用如求直線的參數(shù)方程故?答:直線與平面的交點.13得解再代入代入平面方程,求直線例3與平面的交點.得14解先作一過點M且與已知直線垂直的平面再求已知直線與該平面的交點N,令.

M垂直相交的直線方程.例415交點取所求直線的方向向量為直線方程為代入得將.

M161、兩直線的夾角直線直線^兩直線的方向向量的夾角稱為兩直線的夾角.兩直線的夾角公式（銳角）三、兩直線的夾角、直線與平面的夾角17兩直線的位置關系://直線直線例(兩直線垂直、平行的條件)18直線和它在平面上的投影直線的定義^^2、直線與平面的夾角夾角

稱為直線與平面的夾角.19直線與平面的夾角公式直線與平面的//(直線與平面垂直、平行的充要條件)位置關系：20平面束的方程設有兩塊不平行的平面其中系數(shù)不互相成比例交成一條直線L過直線L的全體平面平面束(3)表示過直線L的平面四、過直線的平面束21解·想一想還有別的方法嗎?試比較哪種方法簡單?將點代入(1)中,得將代入(1)中,得例5過已知直線的平面束方程為22例6解過已知直線的平面束方程為23由此得代回平面束方程為24空間直線的一般方程兩直線的夾角直線與平面的夾角(兩直線垂直、平行的充要條件)(直線與平面垂直、平行的充要條件)五、小結空間直線的參數(shù)方程(關鍵確定直線的方向向量)空間直線的對稱式方程各類直線方程的作用及它們之間的互換25思考題1求此直線方程.解所確定的平面方程為26即的平面方程:故所求方程:即27思考題2問:求異面直線的公垂線的長有公式可循嗎?答:有.設直線為兩異面直線,它們分別過點其方向向量分別為28過一點且與一已知平面平行,與一已知直線相交的直線方程.應注意即有因此在L上即有共面,則由對稱式求出所給直線.為了確定所求直線的方向向量垂直于已給平面的法線向量由于已知直線L與欲求直線相交,取一已知點B,它與欲求直線上任一點A的連線AB必與L,29

與直線及都平行且過原點的平面方程為().提示平面過原點由點法式方程即可得.法向量1.練習302.3.

提示

提示31C

提示^兩直線的夾角公式:4.32解設所求直線的方向向量為取所求直線的方程5.的交線平行的直線方程.33解設平面束方程由即6.34由35第六節(jié)曲面及其方程一、曲面方程的概念三、旋轉曲面二、柱面四、二次曲面36水桶的表面、曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡.曲面方程的定義曲面的實例(1)曲面S上任一點的坐標都滿足方程;(2)滿足方程的三元數(shù)組(x,y,z)所對應的點都如果曲面S有下述關系:那么,就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的圖形.一、曲面方程的概念臺燈的罩子面等.與三元方程在曲面S上;37

曲面的參數(shù)方程為凡三元方程都表示空間一曲面?是一個三元方程,注但不表示任何曲面.錯,如38解所求方程為球心在原點的球面方程例1特殊是球面上任一點,39

研究空間曲面有(2)已知曲面,(1)已知方程,兩個基本問題(討論旋轉曲面)(討論柱面,二次曲面)求方程;研究圖形.40定義二、柱面平行于定直線并沿定曲線C這條定曲線C稱為柱面的動直線L稱為柱面的準線,母線.所形成的曲面稱為移動的直線L

柱面.準線母線41因此,該方程的圖形是以xOy面上以圓為準線,

例2

討論方程在xOy面上,解現(xiàn)在空間直角坐標系中討論問題.母線平行于z軸的柱面.表一個圓C.過點作平行z軸的直線L,設點在圓C上,

對任意z,點的坐標也滿足方程沿曲線C,

平行于z軸的一切直線所形成的曲面上的點的坐標都滿足此方程,在空間,就是圓柱面方程.此曲面稱為圓柱面.的圖形.42平面表示母線平行于z表示母線平行于z軸拋物柱面柱面舉例

其準線是xOy面上的拋物線