《嘗試與猜測-雞兔同籠》教學(xué)設(shè)計

《嘗試與猜測一一雞兔同籠》教學(xué)設(shè)計教學(xué)目標(biāo)：.結(jié)合解決"雞兔同籠〃的問題，體驗借助列表進(jìn)行嘗試與猜測的解題策略。.通過自主探究合作交流中優(yōu)化列表步驟和方法，在練習(xí)中了解嘗試與猜測都可以解決哪些問題，并體會各種方法間的聯(lián)系。.知道與“雞兔同籠〃有關(guān)的數(shù)學(xué)史，進(jìn)行數(shù)學(xué)文化的熏陶和感染。學(xué)情分析：.有些學(xué)生聽說過和學(xué)習(xí)過雞兔同籠的問題，并能有畫圖，假設(shè),方程等很多方法解決，但是解決的正確率不高，經(jīng)過訪談看出他們對于這些方法更多的是套模式，而沒有真正理解。.對于沒有聽說過此類題目的同學(xué)，有的孩子能想到用猜測的方法，或是不知道怎么猜，不知道怎么表示猜測的過程。教學(xué)重點：學(xué)會用列表的方法解決問題。教學(xué)難點：L探索猜測與嘗試的不同的策略并溝通策略間的聯(lián)系。2.體會嘗試與猜測的數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用價值。教學(xué)方法：啟發(fā)談話法、討論法、練習(xí)法、觀察法。教具學(xué)具：書。）得出24條，符合要求嗎？（不符合）又怎么樣了？繼續(xù)試。那你后面為什么還繼續(xù)？組2生1:我還在找規(guī)律，還是剛才規(guī)律。師:看來你是一個特別嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐瑢W(xué)，不僅用取中的方法嘗試答案,還在其中繼續(xù)嘗試努力尋找答案。我們?yōu)樗麌?yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)精神鼓掌。學(xué)生掌聲鼓勵。第三組：跳躍列舉師：我們來欣賞第三組的作品1只雞，7只兔，30條腿；5只雞，3只兔，22條腿，然后又試，能說說你們的想法嗎？組3生1:我是從1只雞7只兔開始試的，但我算了下腿條數(shù)太多了。因為2只雞我覺得不夠，所以我一次增加了4只雞，減少了4只兔，腿數(shù)22條，減少了8條腿，但還是多了。（師隨著學(xué)生的回答在表格中板書增減的數(shù)據(jù)然后我又試了一下6我把雞增加了1,兔又減少了1,所以呢是20條腿,剛剛好。我想底下會不會還有，但是我試了，沒有的。這樣很快找到了結(jié)果。師：（故意地）你一下子從1只雞跳到了5只雞，你就不怕把正確答案給跳過了？生2:我是看到腿多了很多，估計雞要增加不少，所以說我跳著試是有根據(jù)的！師：我喜歡這樣有根據(jù)的跳躍！師：大家看看，她的方法與前面幾個方法有什么不同？學(xué)生舉手躍躍欲試。師：這么多同學(xué)發(fā)現(xiàn)了。請你說！生3:她用了大步跨，小步調(diào)的方法。師：這詞用的真好，給你一個贊。那我們把大步跨，小步調(diào)改一個詞，跳躍。(教師板書：跳躍)生4:我覺得她的方法有一個優(yōu)勢，她這樣一跳之后會發(fā)現(xiàn)一個范圍，在這個范圍內(nèi)尋找就可以，不用胡猜了，也不用一個一個逐一猜了。生5:我補(bǔ)充，我覺得她這樣算比較快一點，雞的只數(shù)不會在1只到5只之間，兔的只數(shù)不會在7只到3只之間，雞的只數(shù)只會比5大，兔的只數(shù)只會比3小。所以很快找到答案。(4)對比提升，優(yōu)化方法。師：大家聽明白了嗎？既減少了嘗試的步驟，又縮小了嘗試的范圍。我們現(xiàn)在比較一下同學(xué)們用三種方法進(jìn)行了列表嘗試，"逐一列表〃、〃取中列表〃和〃跳躍列表〃，你更喜歡哪種方法呢？跟同桌父流父流。學(xué)生進(jìn)行交流。生1:跳躍列表法有個缺點，計算的時候要是計算錯了，可能就把正確答案跳過了。逐一列表法我喜歡，就像地毯式大搜索，一個都不會漏。生2:跳躍法可以看出來在大于這個得數(shù)的范圍內(nèi)是沒有答案的。生3:我比較喜歡取中列表法，因為覺得跳躍列表法存在一個問題，如果跳過了得重試，還有可能算錯，比較麻煩。而取中列表法可以縮小范圍，還更好算，我覺得比較簡便。師指著用跳躍列表法解決的表格:如果你是一個有思想的學(xué)習(xí)者,你觀察跳躍列表法里蘊含大家剛才找到的規(guī)律嗎？生：1只到5只增加4只雞，7只到3只減少4只兔，腿數(shù)就減少4個2。用規(guī)律跳躍就不會錯了。師：我和大家的想法特別接近，在嘗試列表時是不是可以這樣？教師出示一段話：解決問題時，應(yīng)綜合起來運用，一般先用取中列表法減少一半的數(shù)字，再用跳躍列表法加快速度，在接近答案時,用逐一列表法。學(xué)生齊讀，理解后表示同意。4.遷移類推，解決問題。(1)師出示雞兔同籠古題，學(xué)生同桌合作解決問題。師：現(xiàn)在我們能不能用剛才所學(xué)習(xí)的方法解決〃雞兔同籠〃古題了？學(xué)生興趣高漲。教師請學(xué)生小組內(nèi)互相交流自己的想法及合作完成表格。學(xué)生在積極地嘗試和討論，教師巡視中指導(dǎo)。師：同學(xué)們很棒！不斷地跳躍嘗試，在用規(guī)律，還在驗證得出的結(jié)果。同學(xué)們想不想分享一下？（2）全班匯報，實物投影儀展示。生1:我綜合一下，先近似取中，雞多一點18只，兔少一點17只,算出腿數(shù)104條。腿數(shù)多了，然后我又逐一列表，到102太慢，我就跳躍嘗試，跳躍后，離答案近了，我再逐一。師：三合一，好辦法！生2:我有補(bǔ)充。他剛算出來104條腿，規(guī)律是逐一減2條腿,我想可以先把腿數(shù)減到100,所以雞增加2只，兔減少2只。雞20只，兔15只。那么100和94之間相差6條腿，相當(dāng)于兔應(yīng)該減去3只，雞應(yīng)該加上3只，結(jié)果就出來了。23只雞，12只兔。師:大家同意嗎？掌聲給他。我想請教，剛才這位小老師兩級跳，跳到了答案，我要想一步跳，能從104跳到答案嗎?生齊答：104-94=10（條），10:2=5（只）雞18+5=23（只），兔17-5=12（只）5.建立模型，解決問題。師：看來先取中再跳躍真是一個絕妙的方法。那學(xué)到此為止，老師有一個疑問，在生活中你見過把雞和兔放在一個籠子里養(yǎng)的嗎？即使放在一個籠子里養(yǎng)，有沒有必要從上面數(shù)數(shù)一共有多少頭，再從下面數(shù)數(shù)共有多少條腿，然后再計算各有多少只？生：（笑）沒有。師：這個問題是不是有點無聊？可就這樣一個看似無聊的問題,中國人在研究，外國人也在研究。出示：日本的〃龜鶴同游〃的問題。師：這類問題不僅中國古人在研究，現(xiàn)代人也在研究，在抗日戰(zhàn)爭時期，流行過這樣一首歌謠，出示:一隊鬼子一隊狗，兩隊并作一隊走，數(shù)數(shù)頭有80個，卻有200條腿走，請你仔細(xì)算一算，多少鬼子多少狗？師：剛才的這些問題，不是雞兔同籠吧？生齊說：是雞兔同籠問題。生：因為在〃龜鶴問題”中，烏龜相當(dāng)于兔子，有4條腿，鶴相當(dāng)于雞，有兩條腿。這就是〃雞兔同籠"問題。生：鬼子在這里相當(dāng)于雞，有兩條腿,狗相當(dāng)于兔子，有4條腿。生：它們的結(jié)構(gòu)都是相同的。它們都可以轉(zhuǎn)化成雞兔同籠問題。師：說明雞兔同籠問題并不僅僅關(guān)于雞兔的問題，而是……。生：一類問題師：在現(xiàn)實生活中也有很多雞兔同籠的問題，下面我們就來解決一個，檢測一下自己的學(xué)習(xí)效果。在西安風(fēng)靡共享單車和共享汽車。我們來看（師出示PPT）當(dāng)共享單車和共享汽車在一起時，你發(fā)現(xiàn)什么了？生：共享單車相當(dāng)于雞，共享汽車相當(dāng)于兔子。師：出示PPT:停車場里有共享單車和共享汽車共20輛，一共有54個輪子，單車和汽車各有多少輛？師：這里20輛相當(dāng)于什么?（生回答：相當(dāng)于20個頭）54個輪子?（生回答：相當(dāng)于一共有54條腿）大家會做嗎？課下做師：我想請教，難道只有兩個輪子，四個輪子的車才是雞兔同籠的題嗎？生：還有三個輪子和四個輪子的。師：三個輪子是什么？（生回答：三輪車）那它還相當(dāng)于雞嗎？生：相當(dāng)于怪雞，三只腿的怪雞。（三）小結(jié)收獲。師：看來生活中有著許多雞兔同籠影子的題目，我們研究雞兔同籠的問題，不在于這個問題的本身，是學(xué)會一種解決問題的方法，是在于建立這樣一個模型，從而幫助大家掌握解決問題的方法和策略。學(xué)完本節(jié)課，你有什么想說的？生1:我覺得雞兔同籠很有趣。生2:我覺得它和我們的生活息息相關(guān)。生3:可以給我們更多的見識和長進(jìn)。生4:我覺得學(xué)了這個內(nèi)容能夠幫助我們的思維發(fā)展。生5:讓我們?nèi)谌肓松睢煟航裉煳覀円?雞兔同籠〃拉開了古題研究的序幕，我們知道《孫子算經(jīng)》里還有其他古題，它們還能讓我們長見識，開眼界，學(xué)方法。我們下次再一起學(xué)習(xí)！多媒體課件、學(xué)習(xí)單、撲克牌等。教學(xué)過程：（一）課前游戲，滲透方法。.第一輪游戲師：同學(xué)們，我們來玩一個"猜數(shù)游戲〃。請你從老師手中的撲克牌中抽出一張牌，猜猜它是幾？師：誰愿意來猜？（生1抽出一張牌。）師：如果不計你猜測的次數(shù)，你最多幾次一定能猜準(zhǔn)它？學(xué)生思考生2:13次。師：為什么？生2:因為撲克牌的數(shù)只有13個。師：你可真厲害！如果我們一個一個猜，猜13次一定能猜出答案。但是，這樣猜太慢了！你還想怎么猜呢？師請抽出牌的那個同學(xué)猜：我猜3吧。師：你猜出的數(shù)比這張撲克牌的數(shù)小一些。生3:是不是2呢?師：剛那位同學(xué)猜出的數(shù)比這張撲克牌的數(shù)小一些，是不是應(yīng)該調(diào)整？往哪調(diào)？生4:我來說。往大調(diào)一些。生5:我認(rèn)為她猜的是9。師：你真厲害！她剛猜的是3小了一些，你一下子就調(diào)整到9了，看，猜對了！老師展示牌面的數(shù)，學(xué)生看到是"9〃，驗證并贊嘆，鼓掌。.第二輪游戲?qū)W生再次抽牌猜數(shù)，感受猜測、驗證、調(diào)整的過程。猜測：生6:我猜3.師：你這次所猜的比撲克牌上的數(shù)小得多。生7:我猜可能是K。（學(xué)生根據(jù)老師的提示利用跳躍調(diào)整的方法，一下子跳躍到最大數(shù)K。）師：這個數(shù)比K小一點。怎么調(diào)？生8:我猜10。學(xué)生再次猜中。（原設(shè)計中預(yù)計學(xué)生會這樣猜測:學(xué)生可能取中猜數(shù)，然后調(diào)整。）本課中未發(fā)生。師：剛才我們經(jīng)歷了猜數(shù)游戲，剛才你是怎么猜的？生：先猜一個較小的數(shù)，然后驗證。如果小了，就往大調(diào)整，如果大了，就往小猜。教師隨學(xué)生回答板書：猜測，驗證，調(diào)整師：看來在不斷的嘗試和猜測中也有數(shù)學(xué)問題。板書：嘗試與猜測（二）創(chuàng)設(shè)問題情境，引出研究問題。.文化渲染，引出〃雞兔同籠〃。教師播放PPT（配古典音樂）師：在我國博大精深、源遠(yuǎn)流長的歷史文化中，既有被人們熟知的四大名著等文學(xué)作品；還誕生了《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》，和充滿趣味的《孫子算經(jīng)》這樣的一部部聞名世界的數(shù)學(xué)著作，特別是《孫子算經(jīng)》更像一本妙趣橫生的數(shù)學(xué)故事書，收集了像雞兔同籠、三女歸家、婦人洗碗，問物幾何等特別有趣的題目。大家想了解這些古題嗎？那今天我們就從《雞兔同籠》拉開我們研究的序幕吧。（板書：雞兔同籠）.化繁為簡，出示例題。師：出示雞兔同籠：早在1500年前，孫子算經(jīng)中就記載了這樣一個問題。今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，雞兔各幾何。師：就讓我們穿越古代用古人的感覺來讀題。生齊讀題目。師：讀的真好！雉是什么意思？你能把這個題目翻譯翻譯嗎？生：雞和兔在一個籠子里，一共三十五只，九十四條腿。雞兔各有幾只？師：這道古題的數(shù)比較大，在日常生活中，我們往往要把復(fù)雜的問題簡單化，所以我們試試把這道古題化繁為易來研究。師出示：雞兔同籠，一共有8個頭，20條腿，雞兔各有幾只？.嘗試猜測，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。（1）請全班讀題，分析題意。學(xué)生齊讀簡化后的題目。師：現(xiàn)在我們就借這個題開展"雞兔同籠〃的研究。師：誰說一說在這道題中你都看到了哪些數(shù)學(xué)信息？生1:一共有8個頭，20條腿。師：還有沒有隱藏的數(shù)學(xué)信息？生2:這個籠子里有雞和兔。生3:兔子有4條腿，雞有2條腿。師：這兩個條件題里有沒有寫出來？（生回答沒有）他發(fā)現(xiàn)了!掌聲給他。（學(xué)生掌聲鼓勵。）師：這道題，你想怎么研究？生4:我認(rèn)為可以用假設(shè)法。生5:我認(rèn)為可以設(shè)X。師：你想用方程的方法。還有嗎？生6:還可以用表格法。生7:還有抬腿法。師：同學(xué)們真是知識淵博！說了這么多方法，那回憶剛才我們在玩猜牌游戲的時候，我們能不能用嘗試猜測的方法，猜一猜，有幾只雞？有幾只兔呀?學(xué)生點頭。師：好，誰來猜一猜？生8:我猜有4只雞，3只兔。有學(xué)生舉手要反駁，這時老師:你這樣猜，那我也猜，有5只雞，5只兔。更多學(xué)生舉手和搖頭反對。師：有人搖頭了，為什么？生9:因為一共有8個頭，說明籠子里一共有8個動物，可是她剛剛說的4只雞，3只兔，是7個動物。老師做恍然大悟狀那我剛說的5只雞，5只兔，有多少個頭啊？（生齊答：10個頭。）都不對。師：題目上說的是8個頭，那么在猜測時總只數(shù)是不能變的。師：誰來再猜猜？生10:我猜有2只兔，6只雞。師：可以嗎？還可以怎么猜？生11：我猜有5只兔，3只雞。師：那我能不能從簡單的開始，一切從"易〃做起。我猜1只雞，7只兔？學(xué)生齊說可以。師：猜出的結(jié)果呈現(xiàn)在哪里呢？生12:表格里。師出示白卡紙制作的表格張貼在黑板，與學(xué)生共同分析每一個格子要填的內(nèi)容。并相應(yīng)的格子里，填出1,7。師:剛才我們在猜這組數(shù)據(jù)時，有一個同學(xué)反駁我了，請你來說。生13：老師你這么猜，兔子的腿數(shù)超過了20。師：你是怎么算出來的？生13:四七二十八。師：兔子28條腿，這個籠子里還有一只雞，雞是2條腿，合起來多少條？（生齊答：30條。）生：可是題目中是多少條腿？（20條）雖然滿足了8個頭，卻不滿足20條腿，那怎么辦？學(xué)生七嘴八舌：繼續(xù)猜。生齊答：2只雞，6只兔。師：多少條腿？生14:先算雞，二二得四，雞一共有四條腿，再算兔子，兔子有6只，四六二十四，有24條腿，這已經(jīng)超過了。師：光看兔子腿已經(jīng)多了，再看總腿數(shù)28條腿，還是比我們題目中的20條腿，多了。那怎么辦？生齊答：繼續(xù)猜測。師：繼續(xù)試。那我們現(xiàn)在是一個一個試的。那除了這種嘗試猜測的方法，你還可以怎么猜？生15:我們還可以全部看成兔來猜。師：那你是把雞也偽裝成兔了。還可以怎么猜？生16:可以猜總只數(shù)的平均數(shù)，猜有4只雞，4只兔。師：這么多猜測的方法，那么到底能實現(xiàn)我們最終的答案嗎？每個同學(xué)手中有一個學(xué)習(xí)單，嘗試猜測才巴你的答案寫在第一個表格中,看看你能找到答案嗎？（2）獨立研究，小組交流。教師巡視的過程中，選擇不同方法的小組上臺填出表格。老師走入各個小組中共同交流。（在黑板上貼出三至四張表格）（3）展示交流，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。師：小組討論非常熱烈！哪個小組愿意把你們組都認(rèn)可、欣賞的方法推薦給大家？（老師指著第一張表格）這是哪個小組的作品？請兩位小老師上來講講，這是怎么列舉出來的？（兩位男生比較羞澀，一位女同學(xué)來描述他們的做法。）（第一組是逐一列舉）生1：我發(fā)現(xiàn)他們是一只一只試的，先試1只雞，7只兔，總腿數(shù)30條，發(fā)現(xiàn)腿數(shù)多了，他們就減少兔，增加雞，變成2只雞，6只兔，總腿數(shù)28條，然后再增加雞，減少兔，最后試出來符合題中的要求。生2補(bǔ)充：我發(fā)現(xiàn)他們就相當(dāng)于一個一個列下去，然后邊列就會邊發(fā)現(xiàn)一個順序，（此時教師問:一個一個列就是什么