定積分的定義

定積分微積分基本定理的敘述、證明與應用，是本章的重點，也是全書的核心所在.定積分的概念我們先從幾個例子談起.例1變力作功設有一質(zhì)點受到力F的作用而在x軸上運動，F(xiàn)的方向與x軸平行，其大小|F1=f⑴與質(zhì)點所在的位置有關。問題：當質(zhì)點從a位移到b時，變力f(x)作的總功是多少(圖7—1)?帽7"7-2例如，一個質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星，要把它從地面送上太空，要計算地心引力對它作的功，如果把鉛垂線選作x軸，則這時的力為f(x)=-^m。X2常力作功：(功=力乂距離)w=F-S變力f(x)是隨x變化的連續(xù)量，功具有可加性，考慮將其一點點求和。因此這是個連續(xù)量連續(xù)作用的積累問題.分4步解決1、分割在區(qū)間［前中插入n個分點.a=x<x<x<...<x=b。012n第i個小區(qū)間為［x,x］，長度為Ax=x-x，i=1,2,n

i-1iiii-12、取近似當￥很小時，可以認為f(x)的變化較小，取&e［x,尤］，則質(zhì)點從x到％過程中，力所作的功ii-1ii-1i△w澆f(E.)Ax3、求和力所作的總功W牝2f(&)Axiii=14、取極限記X=max｛華｝，貝。W=lim2f(E)Ax很i=1ii例2質(zhì)點作變速直線運動的路程設質(zhì)點作變速直線運動，速度為v=頃)，求質(zhì)點在時間間隔［/對內(nèi)所走過的路程，勻速直線運動：路程=速度X時間S=vt?變速v(t)，?路程具有可加性因此這是個連續(xù)量連續(xù)作用的積累問題.分4步解決1、分割在區(qū)間［前中插入n個分點：。=t0￥<...</b。第i個小區(qū)間為［t,t］，長度為At=t-1，i=1,2,n

i-1iiii-12、取近似當At很小時，可以認為v(t)的變化較小，取Ee［t,t］，則質(zhì)點從t到t過程中，所走過的路程ii-1ii-1iAS牝v(E.)At3、求和在［a,b］內(nèi)走過總路程S^2v(E)Atiii=14、取極限記人=max｛At｝，貝DS=lim2v(E)At1<i<n1膈.，11例3曲邊梯形的面積所謂曲邊梯形，是指由三條直邊及一條曲邊所圍成的圖形。垂直于底邊的直線交曲邊只有一點。ra7-3圖7-4設三條直邊為y=0,x=a，x=b曲邊是連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)>0)分4步解決1、分割在區(qū)間［a,b］中插入n個分點.a=x<x<x<...<x=b。012n第i個小區(qū)間為L,x］，長度為Ax=x-x，i=1,2,ni-1iiii-12、取近似當￥很小時，可以認為f(x)的變化較小，取&.eL/x］，則小曲邊梯形的面積近似于AS牝f(&■)Ax.3、求和曲邊梯形的面積S，lLf(&)Axiii=14、取極限記人=max"則S=lim￡f(&)Ax圖7-5設想曲邊梯形是由線段上,y)|0<y<f(x。)｝當x0從a變到b時掃出來的(圖7-5)。如果函數(shù)f(x)等于常數(shù)，這時圖形是矩形，面積很易求得。對一般的連續(xù)函數(shù)f(x)，困難就在于當x0從a變到b時，f(x)也在連續(xù)的變化。因此，求曲邊梯形的面積，也就是求一個連續(xù)量連續(xù)變化的“積累”問題，從這個意義來看，例3是例1、例2的幾何“解釋”。這些例子，都歸結(jié)為求某種和式的極限。我們把它概括抽象出來，便得到下面的定積分定義。定義7.1設函數(shù)f⑴在區(qū)間［。,］上有定義.用分點a=x<x<xv???vx=b

012n將區(qū)間任意分成n個小區(qū)間，小區(qū)間的長度為Ax=x.-x./F,2,...,n，記X=max{&}，在每個小區(qū)間上任取一點.L,x］，作和式1<z<n。=￡f弓)Ax.-i=1若當—0時，和式.的極限存在(設為I)，則稱f(x)在［a,b］是可積的，極限值I稱為f(x)在［a,b］的定積分，記作里f(x)?概括起來，也就是I=limXf(&.)Ax.=jbf(x)dxA^°.=ia注1這是一種新的極限注2極限的存在與否與［a,b］的分法無關，與§志丁x,］的取法無關！注3和式e=￡f&)Ax稱為黎曼和iii=1a,b分別稱為積分下限和積分上限，［a,b］積分區(qū)間f(x)稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量定積分是一個數(shù)，是黎曼和的極限等價定義：limf(x)=A=Vs>0，38>0，x■x0當0<1x-x0l<8時，有|f(x)-Al<slimnf(&)Ax=I=Vs>0，38>0，項i=i..對［a,b］的任意分法及V§日x,x］，當X<6時,有|￡f(&)Ax-11<￡iii=1注意兩個任意一一對區(qū)間的分法任意和七在子區(qū)間的取法任意。i正因為此，使黎曼和的極限比通常函數(shù)的極限復雜得多。對函數(shù)極限，當0<|x-xo1<8時，對每個X來說，f(x)是唯一確定的；而對黎曼和極限，當/時，乎f&心不是唯一確定的，這時，區(qū)間的分法有無窮多種，對每一個分J(SiA-^ii=1法，&.的取法又有無窮多種。等價定義：設f(X)在［a,b］有定義，I是一個確定的數(shù)，若Vs>0，士〉0，對［a,b］的任意分法及V&.日x1,x.］，當X<8時，有I私f(&)Ax-1l<siii=1則稱I為f(x)在［a,b］的定積分，記作I=jbf(x).并稱f(x)在［a,b］可積。a變力f(x)使質(zhì)點沿直線從a移到b時所作的功是f(x)在［a,b］的定積分(f(x)作用的方向與位移的方向重合)W=jbf(x)dxa變速直線運動的質(zhì)點所走過的路程是速度V任)在時間區(qū)間［a,b］上的定積分，即S=jbv(t)dta定積分的幾何意義jbf(x)dxa當f(x)>0時，jbf(x)dx是曲邊梯形的面積a當f(x)<0(a<x<b)時，jbf(x)dx是曲邊梯形的面積的負值a

圖7鈿圖7-6i定積分可視為對連續(xù)量求和離散量求和￡a.自變量，從1離散地變到ni=1連續(xù)量求和jbf(x)dx自變量連續(xù)地從a變到ba對積分變量x圖7鈿圖7-6i￡a，i只是求和指標，是啞元用什么字母表示無關ii=1如1=劉1=1001i2k2n2

i=1k=1n=1同理jbf(x)dx=jbf(t)dt=jbf(u)duaaa注意：這與不定積分有本質(zhì)的區(qū)別，不定積分中，積分變量是不能隨便改的兩個規(guī)定：1、當a=b時，規(guī)定jbf(x)dx=0a2、當a>b時規(guī)定jbf(x)dx=-jaf(x)dx這個等式不論a，b誰大誰小均成立微積分基本定理定理7.11(微積分基本定理)設f⑴在［a,對上可積，f⑴在脫,。］連續(xù)，且是f⑴jbf(x)dx=F(b)-F(a)-在",。］的任意一個原函數(shù)，即F，(了)=f(x)，Vxe［a,b］jbf(x)dx=F(b)-F(a)-lim工f(E)Ax=jbf(x)dx=F(b)一F(a)A^°,=1a1、從第一個等式看，定積分是黎曼和的極限，其背景是求連續(xù)量連續(xù)作用的總和或積累.2、從第二個等式看，它是微分為f(x)dx的函數(shù)F(x)在a，b兩點的函數(shù)值之差.由此我們可以看到微積分基本定理的意義：1、從上述2知，f(x)dx含有微分的意思.但從定積分的定義來看，定積分是作為求連續(xù)量連續(xù)作用的總和或積累引入，是黎曼和的極限，很難看出與微分有聯(lián)系.而不定積分才是作為微分運算的逆運算引入.因此，意義之一是它在理論上，把積分學中的兩種積分統(tǒng)一到一起.2、在計算上使定積分的計算大大前進了一步，將求黎曼和的極限轉(zhuǎn)化為求不定積分，使定積分的計算成為可能，而且可以機械化