概率論教學(xué)講解課件

章隨機變量的數(shù)字特征節(jié)數(shù)學(xué)期望節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)節(jié)矩、協(xié)方差矩陣章隨機變量的數(shù)字特征節(jié)數(shù)學(xué)期望節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)節(jié)矩、協(xié)方差1§4.1數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望二、隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)§4.1數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望二、隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三2

在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.

然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，3隨機變量有關(guān)的某些數(shù)字特征，雖然不能完整地描述隨機變量但能清晰地描述隨機變量在某些方面的重要特征，在這些數(shù)字特征中，最常用的是

1.隨機變量的平均取值——數(shù)學(xué)期望2.隨機變量的取值偏離平均值的程度——方差3.描述兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)隨機變量有關(guān)的某些數(shù)字特征，雖然不能完整地描述隨機變量但能清4一.數(shù)學(xué)期望

例1設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計成績及得分人數(shù)如下表所示：分數(shù)4060708090100

人數(shù)1691572則學(xué)生的平均成績是總分÷總?cè)藬?shù)(分)。即1.數(shù)學(xué)期望的概念數(shù)學(xué)期望——描述隨機變量取值的平均特征11/15/20225一.數(shù)學(xué)期望

例1設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計成績及得1.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望1.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望6例1

設(shè)甲、乙兩射手在同樣條件下進行射擊，其命中環(huán)數(shù)是一隨機變量，分別記為X、Y，并具有如下分布律

X10987 Y10987

Pk0.60.10.20.1 Pk0.40.30.10.2 試問甲、乙兩射手的射擊水平哪個較高？解由此可見，射手甲的射擊水平略高與射手乙的射擊水平。（環(huán)）例1設(shè)甲、乙兩射手在同樣條件下進行射擊，其命中環(huán)數(shù)是一解7關(guān)于定義的幾點說明

(1)E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量X

取可能值的真正的平均值,也稱均值.

(2)級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)和不隨級數(shù)中各項次序的改變而改變,之所以這樣要求是因為數(shù)學(xué)期望是反映隨機變量X

取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.(3)

數(shù)學(xué)期望完全由隨機變量的概率分布所確定.若服從某一分布也稱是這一分布的數(shù)學(xué)期望.關(guān)于定義的幾點說明(1)E(X)是一個實數(shù),而非變8例2

商店的銷售策略例2商店的銷售策略9解解10例3

設(shè)X~P(),求E(X).解

X的分布律為E(X)=例3設(shè)X~P(),求E(X).解X的分布律11例13.設(shè)某種疾病的發(fā)病率為1%，在1000個人中普查這種疾病,為此要化驗每個人的血.方法是，每100個人一組,把從100個人抽來的血混在一起化驗，如果混合血樣呈陰性，則通過；如果混合血樣呈陽性，則再分別化驗該組每個人的血樣.求平均化驗次數(shù).解:設(shè)Xj為第j組的化驗次數(shù)，XjPj1101X為1000人的化驗次數(shù)，則11/15/202212例13.設(shè)某種疾病的發(fā)病率為1%，在1000個人中普查這種（P106例4.5）11/15/202213（P106例4.5）11/10/2022132.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)——

加權(quán)平均它是一個數(shù)不再是隨機變量2.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)——加權(quán)平均14例5

設(shè)X服從指數(shù)分布，其概率密度為求例4

設(shè)X~U(a,b),求E(X).解X的概率密度為E(X)=例5設(shè)X服從指數(shù)分布，其概率密度為求例4設(shè)X~U(15解因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù).實例

顧客平均等待多長時間?

設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X(以分計)服從指數(shù)分布,其概率密度為試求顧客等待服務(wù)的平均時間?解因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù).實例顧客平均等待16例5設(shè)有5個相互獨立的電子元件,其壽命Xk(k=1,2,..,5)均服從同一指數(shù)分布，其概率密度為

求將這5個元件串聯(lián)組成的系統(tǒng)的平均壽命．例5設(shè)有5個相互獨立的電子元件,其壽命Xk(k=1,2,17

(1)串聯(lián)時系統(tǒng)壽命，

其分布函數(shù)為解

Xk的分布函數(shù)為

(1)串聯(lián)時系統(tǒng)壽命18注意

不是所有的隨機變量都有數(shù)學(xué)期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為它的數(shù)學(xué)期望不存在!注意不是所有的隨機變量都有數(shù)學(xué)期望例如：柯西(Cauc19引例：設(shè)隨機變量X的分布律為解:求隨機變量Y=X2的數(shù)學(xué)期望Xpk-101Ypk01上式可見即一般的有二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望引例：設(shè)隨機變量X的分布律為解:求隨機變量Y=X2的數(shù)學(xué)期望20(1)X(離散型)的分布律為：

若級數(shù)絕對收斂，則

(2)X(連續(xù)型)的概率密度為f(x),若積分絕對收斂，則定理1

設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)：Y=g(X)(g為連續(xù)函數(shù))(1)X(離散型)的分布律為：

若級數(shù)21Y=g(X)證

（1）由離散型隨機變量的函數(shù)的分布，有（2）設(shè)X是連續(xù)離散型隨機變量，Y=g(X)的概率密度為

Y=g(X)證（1）由離散型隨機變量的函數(shù)的分布，有（2）22例6

設(shè)風(fēng)速V在(0,a)上服從均勻分布，飛機機翼受到的壓力W=kV2,(k為常數(shù)),求W的數(shù)學(xué)期望．解

風(fēng)速V的概率密度為例6設(shè)風(fēng)速V在(0,a)上服從均勻分布，飛機機翼受到的壓23例7

國際市場每年對我國某種商品的需求量X（噸）是一隨機變量，它服從(a,b)上的均勻分布．設(shè)每售出該商品一噸可以為國家創(chuàng)匯s萬元，但若銷不出去而壓于倉庫，則每噸虧損l萬元，問應(yīng)組織多少貨源才使國家收益的期望值最大？解

設(shè)組織貨源為t（噸）,由題意收益Y是X的函數(shù)：令得:例7國際市場每年對我國某種商品的需求量X（噸）是一隨機變24(1)若(X,Y)是離散型，其分布律為(2)若(X,Y)是連續(xù)型，其概率密度為f(x,y)，則定理推廣：則定理推廣：

設(shè)Z=g(X,Y)（g為二元連續(xù)函數(shù)),(1)若(X,Y)是離散型，其分布律為(2)若(X,Y25(1)若(X,Y)是離散型，其分布律為則結(jié)論：(2)若(X,Y)是連續(xù)型，其概率密度為f(x,y)，則(1)若(X,Y)是離散型，其分布律為則結(jié)論：(2)若26求的數(shù)學(xué)期望．XY 12 10.4 0.220.30.1解的取值及對應(yīng)的概率如下表:(X,Y) (1,1)(1,2)(2.1)(2,2) XY21428 X+Y2334

pk0.40.30.20.1 例8設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為求27例9

設(shè)(X,Y)服從G上的均勻分布（如圖）求X、Y及XY的數(shù)學(xué)期望012xyG解：由已知得例9設(shè)(X,Y)服從G上的均勻分布（如圖）012xyG解：28例12解例12解29因此所求數(shù)學(xué)期望為因此所求數(shù)學(xué)期望為30假設(shè)以下隨機變量的數(shù)學(xué)期望均存在．

1.E(C)=C,（C是常數(shù)）

2.E(CX)=CE(X),（C是常數(shù)）

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y),4.設(shè)X與Y相互獨立,則E(XY)=E(X)E(Y)三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)[注]

1）性質(zhì)3.4.可推廣到有限個的情況.2）對于性質(zhì)4來講反之不成立.假設(shè)以下隨機變量的數(shù)學(xué)期望均存在．三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)[注]31證

(僅對(X,Y)為連續(xù)型隨機變量證明性質(zhì)3,4)

設(shè)(X,Y)的概率密度為f（x,y），其邊緣概率密度分別為

fX（x,y），fY（x,y），則又若X與Y相互獨立，則證(僅對(X,Y)為連續(xù)型隨機變量證明性質(zhì)3,4)

32解:設(shè)則解:設(shè)則33由題意[注]

這種引進新的隨機變量，將原隨機變量分解成有限個隨機變量之和,再求數(shù)字特征的方法具有一定的普遍意義.稱為隨機變量的分解法（P114）例10

一民航機場的送客車，載有20名乘客自機場開出，旅客有10個車站可以下車，如到達一站沒旅客下車就不停車．假設(shè)每位旅客在各站下車是等可能的，且旅客之間在哪一站下車相互獨立．以X表示停車次數(shù)，求E(X)．解

引入隨機變量則由題意[注]這種引進新的隨機變量34解由于X與Y相互獨立，則與也相互獨立，例11設(shè)X,Y相互獨立,分別服從參數(shù)為,的指數(shù)分布試求解由于X與Y相互獨立，則與35概率論教學(xué)講解課件36性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定獨立反例1XYpij-101-1010p?jpi?附性質(zhì)4的逆命題不成立，即若E(XY)=E(X37XYP-101但XYP-1038作業(yè)第113-115第四章習(xí)題2；5；7；8；9(1)；11；15作業(yè)第113-115第四章習(xí)題2；5；7；39章隨機變量的數(shù)字特征節(jié)數(shù)學(xué)期望節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)節(jié)矩、協(xié)方差矩陣章隨機變量的數(shù)字特征節(jié)數(shù)學(xué)期望節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)節(jié)矩、協(xié)方差40§4.1數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望二、隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)§4.1數(shù)學(xué)期望一、數(shù)學(xué)期望二、隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望三41

在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.

然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，42隨機變量有關(guān)的某些數(shù)字特征，雖然不能完整地描述隨機變量但能清晰地描述隨機變量在某些方面的重要特征，在這些數(shù)字特征中，最常用的是

1.隨機變量的平均取值——數(shù)學(xué)期望2.隨機變量的取值偏離平均值的程度——方差3.描述兩個隨機變量之間的線性相關(guān)程度——協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)隨機變量有關(guān)的某些數(shù)字特征，雖然不能完整地描述隨機變量但能清43一.數(shù)學(xué)期望

例1設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計成績及得分人數(shù)如下表所示：分數(shù)4060708090100

人數(shù)1691572則學(xué)生的平均成績是總分÷總?cè)藬?shù)(分)。即1.數(shù)學(xué)期望的概念數(shù)學(xué)期望——描述隨機變量取值的平均特征11/15/202244一.數(shù)學(xué)期望

例1設(shè)某班40名學(xué)生的概率統(tǒng)計成績及得1.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望1.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望45例1

設(shè)甲、乙兩射手在同樣條件下進行射擊，其命中環(huán)數(shù)是一隨機變量，分別記為X、Y，并具有如下分布律

X10987 Y10987

Pk0.60.10.20.1 Pk0.40.30.10.2 試問甲、乙兩射手的射擊水平哪個較高？解由此可見，射手甲的射擊水平略高與射手乙的射擊水平。（環(huán)）例1設(shè)甲、乙兩射手在同樣條件下進行射擊，其命中環(huán)數(shù)是一解46關(guān)于定義的幾點說明

(1)E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量X

取可能值的真正的平均值,也稱均值.

(2)級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)和不隨級數(shù)中各項次序的改變而改變,之所以這樣要求是因為數(shù)學(xué)期望是反映隨機變量X

取可能值的平均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.(3)

數(shù)學(xué)期望完全由隨機變量的概率分布所確定.若服從某一分布也稱是這一分布的數(shù)學(xué)期望.關(guān)于定義的幾點說明(1)E(X)是一個實數(shù),而非變47例2

商店的銷售策略例2商店的銷售策略48解解49例3

設(shè)X~P(),求E(X).解

X的分布律為E(X)=例3設(shè)X~P(),求E(X).解X的分布律50例13.設(shè)某種疾病的發(fā)病率為1%，在1000個人中普查這種疾病,為此要化驗每個人的血.方法是，每100個人一組,把從100個人抽來的血混在一起化驗，如果混合血樣呈陰性，則通過；如果混合血樣呈陽性，則再分別化驗該組每個人的血樣.求平均化驗次數(shù).解:設(shè)Xj為第j組的化驗次數(shù)，XjPj1101X為1000人的化驗次數(shù)，則11/15/202251例13.設(shè)某種疾病的發(fā)病率為1%，在1000個人中普查這種（P106例4.5）11/15/202252（P106例4.5）11/10/2022132.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望

數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)——

加權(quán)平均它是一個數(shù)不再是隨機變量2.連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)——加權(quán)平均53例5

設(shè)X服從指數(shù)分布，其概率密度為求例4

設(shè)X~U(a,b),求E(X).解X的概率密度為E(X)=例5設(shè)X服從指數(shù)分布，其概率密度為求例4設(shè)X~U(54解因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù).實例

顧客平均等待多長時間?

設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X(以分計)服從指數(shù)分布,其概率密度為試求顧客等待服務(wù)的平均時間?解因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù).實例顧客平均等待55例5設(shè)有5個相互獨立的電子元件,其壽命Xk(k=1,2,..,5)均服從同一指數(shù)分布，其概率密度為

求將這5個元件串聯(lián)組成的系統(tǒng)的平均壽命．例5設(shè)有5個相互獨立的電子元件,其壽命Xk(k=1,2,56

(1)串聯(lián)時系統(tǒng)壽命，

其分布函數(shù)為解

Xk的分布函數(shù)為

(1)串聯(lián)時系統(tǒng)壽命57注意

不是所有的隨機變量都有數(shù)學(xué)期望例如：柯西(Cauchy)分布的密度函數(shù)為它的數(shù)學(xué)期望不存在!注意不是所有的隨機變量都有數(shù)學(xué)期望例如：柯西(Cauc58引例：設(shè)隨機變量X的分布律為解:求隨機變量Y=X2的數(shù)學(xué)期望Xpk-101Ypk01上式可見即一般的有二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望引例：設(shè)隨機變量X的分布律為解:求隨機變量Y=X2的數(shù)學(xué)期望59(1)X(離散型)的分布律為：

若級數(shù)絕對收斂，則

(2)X(連續(xù)型)的概率密度為f(x),若積分絕對收斂，則定理1

設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)：Y=g(X)(g為連續(xù)函數(shù))(1)X(離散型)的分布律為：

若級數(shù)60Y=g(X)證

（1）由離散型隨機變量的函數(shù)的分布，有（2）設(shè)X是連續(xù)離散型隨機變量，Y=g(X)的概率密度為

Y=g(X)證（1）由離散型隨機變量的函數(shù)的分布，有（2）61例6

設(shè)風(fēng)速V在(0,a)上服從均勻分布，飛機機翼受到的壓力W=kV2,(k為常數(shù)),求W的數(shù)學(xué)期望．解

風(fēng)速V的概率密度為例6設(shè)風(fēng)速V在(0,a)上服從均勻分布，飛機機翼受到的壓62例7

國際市場每年對我國某種商品的需求量X（噸）是一隨機變量，它服從(a,b)上的均勻分布．設(shè)每售出該商品一噸可以為國家創(chuàng)匯s萬元，但若銷不出去而壓于倉庫，則每噸虧損l萬元，問應(yīng)組織多少貨源才使國家收益的期望值最大？解

設(shè)組織貨源為t（噸）,由題意收益Y是X的函數(shù)：令得:例7國際市場每年對我國某種商品的需求量X（噸）是一隨機變63(1)若(X,Y)是離散型，其分布律為(2)若(X,Y)是連續(xù)型，其概率密度為f(x,y)，則定理推廣：則定理推廣：

設(shè)Z=g(X,Y)（g為二元連續(xù)函數(shù)),(1)若(X,Y)是離散型，其分布律為(2)若(X,Y64(1)若(X,Y)是離散型，其分布律為則結(jié)論：(2)若(X,Y)是連續(xù)型，其概率密度為f(x,y)，則(1)若(X,Y)是離散型，其分布律為則結(jié)論：(2)若65求的數(shù)學(xué)期望．XY 12 10.4 0.220.30.1解的取值及對應(yīng)的概率如下表:(X,Y) (1,1)(1,2)(2.1)(2,2) XY21428 X+Y2334

pk0.40.30.20.1 例8設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為求66例9

設(shè)(X,Y)服從G上的均勻分布（如圖）求X、Y及XY的數(shù)學(xué)期望012xyG解：由已知得例9設(shè)(X,Y)服從G上的均勻分布（如圖）012xyG解：67例12解例12解68因此所求數(shù)學(xué)期望為因此所求數(shù)學(xué)期望為69假設(shè)以下隨機變量的數(shù)學(xué)期望均存在．

1.E(C)=C,（C是常數(shù)）

2.E(CX)=CE(X),（C是常數(shù)）

3.E(X+Y)=E(X)+E