【疑難突破】求拋物線的割線、切線的斜率

求拋物線的割線、切線的斜率求拋物線的割線、切線的斜率講解求二次函數(shù)y＝f（x）的圖象過點(diǎn)P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））的割線方程的步驟：利用點(diǎn)斜式求出割線方程．求割線的斜率：k＝求拋物線的割線、切線的斜率講解求二次函數(shù)y＝f（x）的圖象在點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線方程的步驟：利用點(diǎn)斜式求出切線方程．求切線的斜率：求拋物線的割線、切線的斜率例1已知拋物線y＝f（x）＝2x2＋1．（1）求拋物線在點(diǎn)P（1，3）處的切線方程；（2）若拋物線在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為45°，求該切點(diǎn)的坐標(biāo)．思路點(diǎn)撥：由“差、商、極限”求出拋物線在P點(diǎn)處切線的斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求出切線的方程．未知切點(diǎn)時(shí)可先設(shè)后求．解析：（1）∵Δy＝2（1＋Δx）2＋1－3＝4Δx＋2（Δx）2，∴切線的方程為y－3＝4（x－1），即4x－y－1＝0．∴

＝4＋2Δx，∴切線的斜率為求拋物線的割線、切線的斜率例1已知拋物線y＝f（x）＝2x2＋1．（1）求拋物線在點(diǎn)P（1，3）處的切線方程；（2）若拋物線在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為45°，求該切點(diǎn)的坐標(biāo)．解析：（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），則Δy＝2（x0＋Δx）2＋1－（2x02＋1）＝4x0·Δx＋2（Δx）2，又∵切線的斜率為k＝tan45°＝1，∴

＝4x0＋2Δx，∴切線的斜率為

＝4x0．∴y0＝

．∴切點(diǎn)坐標(biāo)為∴4x0＝1，即x0＝

，求拋物線的割線、切線的斜率例1已知拋物線y＝f（x）＝2x2＋1．（1）求拋物線在點(diǎn)P（1，3）處的切線方程；（2）若拋物線在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為45°，求該切點(diǎn)的坐標(biāo)．解題模板解決切線問題，應(yīng)當(dāng)從切點(diǎn)入手，在切點(diǎn)處當(dāng)Δx無限趨近于0時(shí)，割線的斜率就是切線的斜率，因此先求函數(shù)值之差，進(jìn)而求出割線的斜率，再將Δx無限趨近于0得到切線的斜率，最后得到切線方程．求拋物線的割線、切線的斜率例2過曲線y＝x2＋1上兩點(diǎn)P（1，2）和Q（1＋Δx，2＋Δy）作曲線的割線．（1）當(dāng)Δx＝1時(shí)，求割線的方程；（2）若割線的斜率為1，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．思路點(diǎn)撥：易知割線的斜率為

，因此可由Δx的值得到割線的斜率，進(jìn)而得到割線的方程；反過來，可由割線的斜率得到Δx的值，進(jìn)而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．求拋物線的割線、切線的斜率例2過曲線y＝x2＋1上兩點(diǎn)P（1，2）和Q（1＋Δx，2＋Δy）作曲線的割線．（1）當(dāng)Δx＝1時(shí)，求割線的方程；（2）若割線的斜率為1，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．解析：∵Δy＝（1＋Δx）2＋1－（12＋1）＝2Δx＋（Δx）2，（1）當(dāng)Δx＝1時(shí)，割線的斜率為2＋Δx＝3，∴割線的方程為y－2＝3（x－1），即3x－y－1＝0．∴

＝2＋Δx，∴割線的斜率為2＋Δx．求拋物線的割線、切線的斜率例2過曲線y＝x2＋1上兩點(diǎn)P（1，2）和Q（1＋Δx，2＋Δy）作曲線的割線．（1）當(dāng)Δx＝1時(shí)，求割線的方程；（2）若割線的斜率為1，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．解析：∵Δy＝（1＋Δx）2＋1－（12＋1）＝2Δx＋（Δx）2，（2）若割線的斜率為1，則2＋Δx＝1，解得Δx＝－1，∴Δy＝2Δx＋（Δx）2＝－1．∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，1）．∴

＝2＋Δx，∴割線的斜率為2＋Δx．求拋物線的割線、切線的斜率例2過曲線y＝x2＋1上兩點(diǎn)P（1，2）和Q（1＋Δx，2＋Δy）作曲線的割線．（1）當(dāng)Δx＝1時(shí)，